В треугольнику через вершину а проведена окружность (4 видео)

Задача 16902 Через вершины А и В треугольника АВС.

Содержание

Условие
Решение
Через вершины А и В треугольника АВС проведена окружность, пересекающая стороны АС и ВС в точках D и Е соответственно. Докажите
Ваш ответ
Похожие вопросы
Задание №16 ЕГЭ (профильный уровень)
🔍 Видео

Условие

Через вершины А и В треугольника АВС проведена окружность, касающаяся прямых АС и ВС. На этой окружности выбрана точка D (внутри треугольника), лежащая на расстоянии sqrt(2) от прямой АВ и на расстоянии sqrt(5) от прямой ВС. Найдите угол DBC, если известно, что угол ABD = углу BCD.

Решение

Обозначим
∠ ABD= ∠ BCD = альфа
∠ ABD вписанный в окружность, опирается на дугу AD.
∠ ABD=(1/2) ∪ AD

∠ DAC =(1/2) ∪ AD как угол между касательной и хордой.

∠ ABD= ∠ BCD = ∠ DAC= альфа

Обозначим
∠ DВС = бета
Это угол между касательной ВС и хордой BD,
∠ DВC =(1/2) ∪ ВD .
∠ BАD вписанный в окружность, опирается на дугу ВD.
∠ BАD=(1/2) ∪ ВD
∠ DBC= ∠ BAD = бета

Из прямоугольного треугольника ВКD
KB=sqrt(2) ctg альфа
Из прямоугольного треугольника AКD
AK=sqrt(2) ctg бета
AB=AK+KB=sqrt(2)*(ctg альфа +ctg бета)

[b]AB=sqrt(2)*(ctg альфа +ctg бета)[/b]

Аналогично.
Из прямоугольного треугольника ВМD
BМ=sqrt(5) ctg бета
Из прямоугольного треугольника СМD
СМ=sqrt(5) ctg альфа
BС=ВМ+МС=sqrt(5)*(ctg альфа +ctg бета)

[b]BС=sqrt(5)*(ctg альфа +ctg бета)[/b]

Δ BDC подобен Δ ABD по двум углам.
Из подобия
[b]ВС:АВ=BD:AD[/b]

По теореме синусов:
BD:sin бета =AD:sin альфа ⇒
[b] BD:AD=sin бета : sin альфа [/b]

и
из ВС:АВ=BD:AD получаем
[b] sin бета : sin альфа =sqrt(5):sqrt(2) [/b]

Δ АВС — равнобедренный (ВС=АС по свойству касательных к окружности, проведенных из одной точки С).

ΔАОВ — равнобедренный (ОА=ОВ=R)
CO ⊥ AB
BP=PA
В равнобедренном треугольнике высота СР является одновременно и медианой и биссектрисой.

Δ ОВР — прямоугольный ( ∠ OBC= 90 градусов, значит
∠ ОВР=90 градусов — альфа — бета, ∠ BOP= альфа + бета)

Из прямоугольного треугольника ВРС
ВР=ВС*cos( альфа + бета )
ВР=1/2 АB

АB=2ВС*cos( альфа + бета )
sqrt(2)*(ctg альфа +ctg бета)=2sqrt(5)*(ctg альфа +ctg бета)*cos( альфа + бета ) ⇒

[b] cos( альфа + бета)=(sqrt(10))/10 [/b] ⇒

Планиметрия закончилась.
Тригонометрия:

Обозначим.
sin бета = x, тогда сos бета = sqrt(1-x^2).
sin альфа=sqrt((2/5))x и cos альфа=sqrt(1-(2/5)x^2)

Так как
cos( альфа + бета)=cos альфа * cos бета — sin альфа * sin бета, то

Возводим обе части уравнения в квадрат.

sin бета = sqrt(2)/2

бета = 45 градусов.

О т в е т. 45 градусов.

Видео:№150. Через вершину А прямоугольника ABCD проведена прямая АК, перпендикулярная к плоскостиСкачать

Через вершины А и В треугольника АВС проведена окружность, пересекающая стороны АС и ВС в точках D и Е соответственно. Докажите

Видео:Через середину К медианы ВМ треугольника АВС и вершину А проведена прямая пересекающая сторону ВС вСкачать

Ваш ответ

Видео:Через вершины А и В треугольника АВС проведена окружность, касающаяся прямыхСкачать

Задание №16 ЕГЭ (профильный уровень)

В прямоугольный треугольник АВС с прямым углом А

и катетами АВ = 3; АС = 5 вписан квадрат ADEF.
а) Докажите, что треугольники BDE и EFC подобны.
б) Найдите отношение площади треугольника EFC к площади квадрата ADEF.

2. Вневписанная в треугольник АВС окружность касается его боковой стороны и продолжения основания АС.

а) Докажите, что радиус этой окружности равен высоте ВН треугольника АВС.

б) Найдите площадь треугольника АВС, если радиус окружности равен 8, а АС·АВ = 120.

3. Две окружности касаются внешним образом в точке L. Прямая AB касается первой окружности в точке A, а второй — в точке B. Прямая BK пересекает первую окружность в точке D, прямая AK пересекает вторую окружность в точке C.

а) Докажите, что прямые AD и BC параллельны.

б) Найдите площадь треугольника ALB, если известно, что радиусы окружностей равны 8 и 2.

4. В треугольник ABC вписана окружность радиуса R, касающаяся стороны AC в точке D, причём AD= r.

а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.

б) Вписанная окружность касается сторон AB и BC в точках M и N. Найдите площадь треугольника BMN, если известно, что r= 1 и CD =3.

5. Дан треугольник АВС. Серединный перпендикуляр к стороне АВ пересекается с биссектрисой угла ВАС в точке К, лежащей на стороне ВС.

а) Докажите, что АС2 =ВС·СК.

б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник АКС, если sinВ = 0,8 и сторона АС= 30.

🔍 Видео

№206. Стороны треугольника равны 17 см, 15 см и 8 см. Через вершину A меньшего угла треугольника проСкачать

№205. Через вершину С прямого угла прямоугольного треугольника ABC проведена прямая CD, перпендикуляСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

№145. Через вершину А прямоугольного треугольника ABC с прямым углом С проведена прямая AD,Скачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

№194. Начертите треугольник. Через каждую вершину этого треугольника с помощью чертежногоСкачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

№155. Через вершину прямого угла С равнобедренного прямоугольного треугольника ABCСкачать

№152. Через вершину В квадрата ABCD проведена прямая BF, перпендикулярная к его плоскости. НайдитеСкачать

№121. В треугольнике ABC дано: ∠C = 90°, AC = 6 см, ВС = 8 см, СМ — медиана. Через вершину ССкачать

Геометрия Окружность проходит через вершины А и С треугольника АВС и пересекает его стороны АВ и ВССкачать

В треугольнике АВС угол А равен 40, внешний угол при вершине В равен 102Скачать

Задача 6 №27879 ЕГЭ по математике. Урок 120Скачать

№130. Через вершину В квадрата ABCD проведена прямая ВМ. Известно, что ∠MBA = ∠MBC=90°, МВ =m, АВСкачать

Окружность с центром на стороне AС треугольника ABC проходит через вершину С и касается прямой AB вСкачать

Геометрия В прямоугольном треугольнике ABC проведена высота CH из вершины прямого углаСкачать

В треугольнику через вершину а проведена окружность