Теорема (Признак равнобедренного треугольника)
Если в треугольнике два угла равны, то этот треугольник — равнобедренный.
Рассмотрим треугольники ACF и BCF.
1) ∠ ACF= ∠ BCF (так как CF — биссектриса (по построению))
2) CF — общая сторона
∠ A= ∠ B (по условию)
Сумма углов треугольника равна 180º.
В треугольнике ACF
∠ AFC=180º — ( ∠ A+ ∠ ACF).
В треугольнике BCF
∠ BCF =180º — ( ∠ B+ ∠ BCF).
Из 180º вычли сумму равных углов. Получили равные углы:
Таким образом, имеем:
Следовательно, ∆ACF = ∆BCF (по стороне и двум прилежащим к ней углам).
Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AC=BC.
Значит, треугольник ABC — равнобедренный с основанием AB (по определению равнобедренного треугольника).
Что и требовалось доказать.
Данный признак равнобедренного треугольника можно доказать другими способами.
Рассмотрим треугольники ABC и BAC.
(это — два разных треугольника. Подробнее — смотрите «Два треугольника равны«)
1) AB=BA (по условию)
2) ∠ A= ∠ B (по условию)
3) ∠ B = ∠ A (по условию)
Следовательно, ∆ACF = ∆BCF (по стороне и двум прилежащим к ней углам).
Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AC=BC.
Вывод: ∆ ABC — равнобедренный с основанием AB.
По соотношениям между углами треугольника и противолежащими сторонами, в треугольнике против б’ольшего угла лежит б’ольшая сторона. Следствие: против равных углов лежат равные стороны. Таким образом, если в треугольнике два угла равны, то лежащие напротив этих углов стороны тоже равны, а значит, треугольник — равнобедренный.
Видео:15) В треугольнике два угла равны 68° и 42°. Найдите его третий угол. Ответ дайте в градусах.огэ2023Скачать
Равнобедренный треугольник
Равнобедренный треугольник – треугольник, у которого две стороны равны между собой.
Равные стороны называются боковыми , третья сторона называется основанием .
Свойства равнобедренного треугольника
1. Углы при основании равны
2. Биссектриса, медиана и высота, проведенные к основанию совпадают между собой
3. Углы при основании равнобедренного треугольника вычисляются по следующей формуле:
,
где – угол напротив основания.
4. Биссектрисы, медианы и высоты, проведённые из углов при основании равны между собой
5. Центры вписанной и описанной окружностей лежат на медиане=высоте=биссектрисе, проведенной к основанию
Признаки равнобедренного треугольника
1. Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.
2. Если в треугольнике медиана является и высотой (биссектрисой), то такой треугольник равнобедренный.
Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:
Видео:1695 В треугольнике два угла равны 36 и 73 градуса Найдите его третий уголСкачать
Равнобедренный треугольник: свойства, признаки и формулы
О чем эта статья:
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Видео:№252. Два внешних угла треугольника при разных вершинах равны. Периметр треугольника равен 74 смСкачать
Определение равнобедренного треугольника
Какой треугольник называется равнобедренным?
Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны. |
Давайте посмотрим на такой треугольник:
На рисунке хорошо видно, что боковые стороны равны. Это равенство и делает треугольник равнобедренным.
А вот как называются стороны равнобедренного треугольника:
AB и BC — боковые стороны,
AC — основание треугольника.
Для понимания материала нам придется вспомнить, что такое биссектриса, медиана и высота, если вы вдруг забыли.
Биссектриса — луч, который исходит из вершины угла и делит этот угол на два равных угла.
Даже если вы не знаете определения, то про крысу, бегающую по углам и делящую их пополам, наверняка слышали. Она не даст вам забыть, что такое биссектриса. А если вам не очень приятны крысы, то вместо нее бегать может кто угодно. Биссектриса — это киса. Биссектриса — это лИса. Никаких правил для воображения нет. Все правила — для геометрии.
Обратите внимание на рисунок. В представленном равнобедренном треугольнике биссектрисой будет отрезок BH.
Медиана — отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.
Для медианы не придумали веселого правила, как с биссектрисой, но можно его придумать. Например, буддийская запоминалка: «Медиана — это Лама, бредущий из вершины треугольника к середине его основания и обратно».
В данном треугольнике медианой является отрезок BH.
Высота треугольника — перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону или на прямую, содержащую сторону треугольника.
Высотой в представленном равнобедренном треугольнике является отрезок BH.
Видео:Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnlineСкачать
Признаки равнобедренного треугольника
Вот несколько нехитрых правил, по которым легко определить, что перед вами не что иное, как его величество равнобедренный треугольник.
- Если у треугольника два угла равны, то этот треугольник — равнобедренный.
- Если высота треугольника совпадает с его медианой, проведенной из того же угла, то такой треугольник — равнобедренный.
- Если высота треугольника совпадает с его биссектрисой, проведенной из того же угла, то такой треугольник — равнобедренный.
- Если биссектриса треугольника совпадает с его медианой, проведенной из того же угла, то такой треугольник снова равнобедренный!
Видео:№63. Даны два равных угла. Равны ли смежные с ними углы?Скачать
Свойства равнобедренного треугольника
Чтобы понять суть равнобедренного треугольника, нужно думать как равнобедренный треугольник, стать равнобедренным треугольником — и выучить 4 теоремы о его свойствах.
Теорема 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Пусть AС — основание равнобедренного треугольника. Проведем биссектрису DK. Треугольник ADK равен треугольнику CDK по двум сторонам и углу между ними (AD = DC, DK — общая, а так как DK — биссектриса, то угол ADK равен углу CDK). Из равенства треугольников следует равенство всех соответствующих элементов, значит угол A равен углу C. Изи!
Теорема 2: В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.
Δ ABH = Δ CBH по двум сторонам и углу между ними (углы ABH и CBH равны, потому что BH биссектриса, AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).
Значит, во-первых, AH = HC и BH — медиана.
Во-вторых, углы BHA и BHC равны, а ещё они смежные, т. е. в сумме дают 180 градусов. Значит, они равны по 90 градусов и BH — высота.
Теорема 3: В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.
Δ ABH = Δ CBH по трём сторонам (AH = CH равны, потому что BH медиана, AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).
Значит, во-первых, углы ABH и CBH равны и BH — биссектриса.
Во-вторых, углы BHA и BHC равны, а ещё они смежные, т. е. в сумме дают 180 градусов. Значит они равны по 90 градусов и BH — высота.
Теорема 4: В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.
Δ ABH = Δ CBH по признаку прямоугольных треугольников, равенство гипотенуз и соответствующих катетов (AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).
Значит, во-первых, углы ABH и CBH равны и BH — биссектриса.
Во-вторых, AH = HC и BH — медиана.
Видео:ОГЭ ЗАДАНИЕ 15 В ТРЕУГОЛЬНИКЕ ДВА УГЛА ОАВНЫ 72 и 42. НАЙДИТЕ ТРЕТИЙ УГОЛСкачать
Примеры решения задач
Нет ничего приятнее, чем поупражняться и поискать углы и стороны в равнобедренном треугольнике. Ну… почти ничего.
Задачка раз. Дан ΔABC с основанием AC: ∠C = 80°, AB = BC. Найдите ∠B.
Поскольку вы уже знакомы с различными теоремами, то для вас не секрет, что углы при основании в равнобедренном треугольнике равны, а треугольник ABC — равнобедренный, так как AB = BC.
Значит, ∠A = ∠C = 80°.
Не должно вас удивить и то, что сумма углов треугольника равна 180°.
∠B = 180° − 80° − 80° = 20°.
Задачка два. В треугольнике ABC провели высоту BH, угол CAB равен 50°, угол HBC равен 40°. Найдите сторону BC, если BA = 5 см.
Сумма углов треугольника равна 180°, а значит в Δ ABH мы можем узнать угол ABH, который будет равен 180° − 50° − 90° = 40°.
А ведь получается, что углы ABH и HBC оба равны по 40° и BH — биссектриса.
Ну и раз уж BH является и биссектрисой, и высотой, то Δ ABC — равнобедренный, а значит BC = BA = 5 см.
Изучать свойства и признаки равнобедренного треугольника лучше всего на курсах по математике с опытными преподавателями в Skysmart.
🔍 Видео
Геометрия ОГЭ задача Теорема синусовСкачать
7 класс, 15 урок, Первый признак равенства треугольниковСкачать
Первый признак равенства треугольников. 7 класс.Скачать
Задача 6 №27357 ЕГЭ по математике. Урок 46Скачать
7 класс, 18 урок, Свойства равнобедренного треугольникаСкачать
Задача, которую боятсяСкачать
ОГЭ. Геометрия. 1 часть. Теорема синусов.Скачать
Второй признак равенства треугольников. 7 класс.Скачать
Теперь ты будешь находить углы за секунды. Как найти внешний угол треугольника? #математика #углыСкачать
Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать
Признаки равенства треугольников. 7 класс.Скачать
7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построениеСкачать
Сможешь найти третий угол треугольника? Два угла известныСкачать
7 класс, 31 урок, Теорема о сумме углов треугольникаСкачать