В треугольнике два угла равны

Если в треугольнике два угла равны

Теорема (Признак равнобедренного треугольника)

Если в треугольнике два угла равны, то этот треугольник — равнобедренный.

В треугольнике два угла равны

В треугольнике два угла равны

В треугольнике два угла равны

Рассмотрим треугольники ACF и BCF.

1) ∠ ACF= ∠ BCF (так как CF — биссектриса (по построению))

2) CF — общая сторона

∠ A= ∠ B (по условию)

Сумма углов треугольника равна 180º.

В треугольнике ACF

∠ AFC=180º — ( ∠ A+ ∠ ACF).

В треугольнике BCF

∠ BCF =180º — ( ∠ B+ ∠ BCF).

Из 180º вычли сумму равных углов. Получили равные углы:

В треугольнике два угла равны

Таким образом, имеем:

Следовательно, ∆ACF = ∆BCF (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AC=BC.

Значит, треугольник ABC — равнобедренный с основанием AB (по определению равнобедренного треугольника).

Что и требовалось доказать.

Данный признак равнобедренного треугольника можно доказать другими способами.

Рассмотрим треугольники ABC и BAC.

(это — два разных треугольника. Подробнее — смотрите «Два треугольника равны«)

1) AB=BA (по условию)

2) ∠ A= ∠ B (по условию)

3) ∠ B = ∠ A (по условию)

Следовательно, ∆ACF = ∆BCF (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AC=BC.

Вывод: ∆ ABC — равнобедренный с основанием AB.

По соотношениям между углами треугольника и противолежащими сторонами, в треугольнике против б’ольшего угла лежит б’ольшая сторона. Следствие: против равных углов лежат равные стороны. Таким образом, если в треугольнике два угла равны, то лежащие напротив этих углов стороны тоже равны, а значит, треугольник — равнобедренный.

Видео:15) В треугольнике два угла равны 68° и 42°. Найдите его третий угол. Ответ дайте в градусах.огэ2023Скачать

15) В треугольнике два угла равны 68° и 42°. Найдите его третий угол. Ответ дайте в градусах.огэ2023

Равнобедренный треугольник

Равнобедренный треугольник – треугольник, у которого две стороны равны между собой.

Равные стороны называются боковыми , третья сторона называется основанием .

В треугольнике два угла равны

Свойства равнобедренного треугольника

1. Углы при основании равны

В треугольнике два угла равны

2. Биссектриса, медиана и высота, проведенные к основанию совпадают между собой

В треугольнике два угла равны

3. Углы при основании равнобедренного треугольника вычисляются по следующей формуле:

В треугольнике два угла равны,

где В треугольнике два угла равны– угол напротив основания.

В треугольнике два угла равны

4. Биссектрисы, медианы и высоты, проведённые из углов при основании равны между собой

В треугольнике два угла равны

5. Центры вписанной и описанной окружностей лежат на медиане=высоте=биссектрисе, проведенной к основанию

В треугольнике два угла равны

Признаки равнобедренного треугольника

1. Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.

2. Если в треугольнике медиана является и высотой (биссектрисой), то такой треугольник равнобедренный.

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

Видео:1695 В треугольнике два угла равны 36 и 73 градуса Найдите его третий уголСкачать

1695 В треугольнике два угла равны 36 и 73 градуса Найдите его третий угол

Равнобедренный треугольник: свойства, признаки и формулы

В треугольнике два угла равны

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Видео:№252. Два внешних угла треугольника при разных вершинах равны. Периметр треугольника равен 74 смСкачать

№252. Два внешних угла треугольника при разных вершинах равны. Периметр треугольника равен 74 см

Определение равнобедренного треугольника

Какой треугольник называется равнобедренным?

Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны.

Давайте посмотрим на такой треугольник:

В треугольнике два угла равны

На рисунке хорошо видно, что боковые стороны равны. Это равенство и делает треугольник равнобедренным.

А вот как называются стороны равнобедренного треугольника:

AB и BC — боковые стороны,

AC — основание треугольника.

Для понимания материала нам придется вспомнить, что такое биссектриса, медиана и высота, если вы вдруг забыли.

Биссектриса — луч, который исходит из вершины угла и делит этот угол на два равных угла.

Даже если вы не знаете определения, то про крысу, бегающую по углам и делящую их пополам, наверняка слышали. Она не даст вам забыть, что такое биссектриса. А если вам не очень приятны крысы, то вместо нее бегать может кто угодно. Биссектриса — это киса. Биссектриса — это лИса. Никаких правил для воображения нет. Все правила — для геометрии.

Обратите внимание на рисунок. В представленном равнобедренном треугольнике биссектрисой будет отрезок BH.

В треугольнике два угла равны

Медиана — отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

Для медианы не придумали веселого правила, как с биссектрисой, но можно его придумать. Например, буддийская запоминалка: «Медиана — это Лама, бредущий из вершины треугольника к середине его основания и обратно».

В данном треугольнике медианой является отрезок BH.

Высота треугольника — перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону или на прямую, содержащую сторону треугольника.

Высотой в представленном равнобедренном треугольнике является отрезок BH.

В треугольнике два угла равны

Видео:Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnlineСкачать

Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnline

Признаки равнобедренного треугольника

Вот несколько нехитрых правил, по которым легко определить, что перед вами не что иное, как его величество равнобедренный треугольник.

  1. Если у треугольника два угла равны, то этот треугольник — равнобедренный.
  2. Если высота треугольника совпадает с его медианой, проведенной из того же угла, то такой треугольник — равнобедренный.
  3. Если высота треугольника совпадает с его биссектрисой, проведенной из того же угла, то такой треугольник — равнобедренный.
  4. Если биссектриса треугольника совпадает с его медианой, проведенной из того же угла, то такой треугольник снова равнобедренный!

Видео:№63. Даны два равных угла. Равны ли смежные с ними углы?Скачать

№63. Даны два равных угла. Равны ли смежные с ними углы?

Свойства равнобедренного треугольника

Чтобы понять суть равнобедренного треугольника, нужно думать как равнобедренный треугольник, стать равнобедренным треугольником — и выучить 4 теоремы о его свойствах.

Теорема 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

В треугольнике два угла равны

Пусть AС — основание равнобедренного треугольника. Проведем биссектрису DK. Треугольник ADK равен треугольнику CDK по двум сторонам и углу между ними (AD = DC, DK — общая, а так как DK — биссектриса, то угол ADK равен углу CDK). Из равенства треугольников следует равенство всех соответствующих элементов, значит угол A равен углу C. Изи!

Теорема 2: В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

Δ ABH = Δ CBH по двум сторонам и углу между ними (углы ABH и CBH равны, потому что BH биссектриса, AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).

Значит, во-первых, AH = HC и BH — медиана.

Во-вторых, углы BHA и BHC равны, а ещё они смежные, т. е. в сумме дают 180 градусов. Значит, они равны по 90 градусов и BH — высота.

В треугольнике два угла равны

Теорема 3: В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.

Δ ABH = Δ CBH по трём сторонам (AH = CH равны, потому что BH медиана, AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).

Значит, во-первых, углы ABH и CBH равны и BH — биссектриса.

Во-вторых, углы BHA и BHC равны, а ещё они смежные, т. е. в сумме дают 180 градусов. Значит они равны по 90 градусов и BH — высота.

В треугольнике два угла равны

Теорема 4: В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.

Δ ABH = Δ CBH по признаку прямоугольных треугольников, равенство гипотенуз и соответствующих катетов (AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).

Значит, во-первых, углы ABH и CBH равны и BH — биссектриса.

Во-вторых, AH = HC и BH — медиана.

Видео:ОГЭ ЗАДАНИЕ 15 В ТРЕУГОЛЬНИКЕ ДВА УГЛА ОАВНЫ 72 и 42. НАЙДИТЕ ТРЕТИЙ УГОЛСкачать

ОГЭ ЗАДАНИЕ 15 В ТРЕУГОЛЬНИКЕ ДВА УГЛА ОАВНЫ 72 и 42. НАЙДИТЕ ТРЕТИЙ УГОЛ

Примеры решения задач

Нет ничего приятнее, чем поупражняться и поискать углы и стороны в равнобедренном треугольнике. Ну… почти ничего.

В треугольнике два угла равны

Задачка раз. Дан ΔABC с основанием AC: ∠C = 80°, AB = BC. Найдите ∠B.

Поскольку вы уже знакомы с различными теоремами, то для вас не секрет, что углы при основании в равнобедренном треугольнике равны, а треугольник ABC — равнобедренный, так как AB = BC.

Значит, ∠A = ∠C = 80°.

Не должно вас удивить и то, что сумма углов треугольника равна 180°.

∠B = 180° − 80° − 80° = 20°.

Задачка два. В треугольнике ABC провели высоту BH, угол CAB равен 50°, угол HBC равен 40°. Найдите сторону BC, если BA = 5 см.

Сумма углов треугольника равна 180°, а значит в Δ ABH мы можем узнать угол ABH, который будет равен 180° − 50° − 90° = 40°.

А ведь получается, что углы ABH и HBC оба равны по 40° и BH — биссектриса.

Ну и раз уж BH является и биссектрисой, и высотой, то Δ ABC — равнобедренный, а значит BC = BA = 5 см.

Изучать свойства и признаки равнобедренного треугольника лучше всего на курсах по математике с опытными преподавателями в Skysmart.

🔍 Видео

Геометрия ОГЭ задача Теорема синусовСкачать

Геометрия ОГЭ задача Теорема синусов

7 класс, 15 урок, Первый признак равенства треугольниковСкачать

7 класс, 15 урок, Первый признак равенства треугольников

Первый признак равенства треугольников. 7 класс.Скачать

Первый признак равенства треугольников. 7 класс.

Задача 6 №27357 ЕГЭ по математике. Урок 46Скачать

Задача 6 №27357 ЕГЭ по математике. Урок 46

7 класс, 18 урок, Свойства равнобедренного треугольникаСкачать

7 класс, 18 урок, Свойства равнобедренного треугольника

Задача, которую боятсяСкачать

Задача, которую боятся

ОГЭ. Геометрия. 1 часть. Теорема синусов.Скачать

ОГЭ. Геометрия.  1 часть. Теорема синусов.

Второй признак равенства треугольников. 7 класс.Скачать

Второй признак равенства треугольников. 7 класс.

Теперь ты будешь находить углы за секунды. Как найти внешний угол треугольника? #математика #углыСкачать

Теперь ты будешь находить углы за секунды. Как найти внешний угол треугольника? #математика #углы

Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллельные прямые | Математика | TutorOnline

Признаки равенства треугольников. 7 класс.Скачать

Признаки равенства треугольников. 7 класс.

7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построениеСкачать

7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построение

Сможешь найти третий угол треугольника? Два угла известныСкачать

Сможешь найти третий угол треугольника? Два угла известны

7 класс, 31 урок, Теорема о сумме углов треугольникаСкачать

7 класс, 31 урок, Теорема о сумме углов треугольника
Поделиться или сохранить к себе: