В треугольнике четыре угла

Треугольники

Видео:Что такое угол? Виды углов: прямой, острый, тупой, развернутый уголСкачать

Что такое угол? Виды углов: прямой, острый, тупой,  развернутый угол

Определение

Треугольник — это геометрическая фигура, которая состоит из
трех точек, не лежащих на одной прямой и трех отрезков,
соединяющих эти точки.

Точки называются вершинами треугольника.
Отрезки называются сторонами треугольника.

  • три угла
  • три вершины
  • три стороны

Видео:В треугольнике ABC AC=4, BC=3, угол C равен 90° ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

В треугольнике ABC AC=4, BC=3, угол C равен 90° ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Виды углов в треугольнике:

Чтобы лучше понять какие бывают треугольники узнаем
какие бывают углы в треугольниках.

  • Острый угол
    Это любой угол меньше 90°.

В треугольнике четыре угла

  • Тупой угол
    Это любой угол больше 90°, но меньше 180°.

В треугольнике четыре угла

  • Прямой угол
    Это угол 90°.

В треугольнике четыре угла

  • Развернутый угол
    Это угол 180°.

В треугольнике четыре угла

Видео:Геометрия В треугольнике ABC AC=BC=4, угол C равен 30°. Найдите высоту AH.Скачать

Геометрия В треугольнике ABC AC=BC=4, угол C равен 30°. Найдите высоту AH.

Виды треугольников:

  • Острый треугольник
    Это треугольник в котором все углы острые.

В треугольнике четыре угла

  • Тупоугольный треугольник
    Это треугольник в котором один из углов тупой.

В треугольнике четыре угла

  • Прямоугольный треугольник
    Это треугольник в котором один из углов прямой.

В треугольнике четыре угла

  • Равнобедренный треугольник
    Это треугольник в котором две боковые стороны равны.
    В треугольнике четыре угла
  • Равносторонний треугольник
    Это треугольник в котором все стороны равны.
    В треугольнике четыре угла

Видео:№224. Найдите углы треугольника ABC, если ∠A:∠B:∠C= 2:3:4.Скачать

№224. Найдите углы треугольника ABC, если ∠A:∠B:∠C= 2:3:4.

Признаки равенства треугольников

С помощью признаков равенства треугольников можно
доказать что те или иные треугольники равны между собой.

Видео:Задача № 27933 ЕГЭ по математике. Урок 147Скачать

Задача № 27933 ЕГЭ по математике. Урок 147

math4school.ru

В треугольнике четыре угла

В треугольнике четыре угла

В треугольнике четыре угла

В треугольнике четыре угла

В треугольнике четыре угла

В треугольнике четыре угла

В треугольнике четыре угла

В треугольнике четыре угла

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№9 - Треугольник.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№9 - Треугольник.)

Треугольники

Видео:Задача 6 №27350 ЕГЭ по математике. Урок 42Скачать

Задача 6 №27350 ЕГЭ по математике. Урок 42

Основные свойства

В треугольнике четыре угла

Треугольник – это геометрическая фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой (вершин треугольника) и трёх отрезков с концами в этих точках (сторон треугольника).

Углами (внутренними углами) треугольника называются три угла, каждый из которых образован тремя лучами, выходящими из вершин треугольника и проходящими через две другие вершины.

Внешним углом треугольника называется угол, смежный внутреннему углы треугольника.

Сумма углов треугольника равна 180°:

В треугольнике четыре угла

Внешний угол равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним, и больше любого внутреннего, с ним не смежного:

В треугольнике четыре угла

Длина каждой стороны треугольника больше разности и меньше суммы длин двух других сторон:

В треугольнике четыре угла

В треугольнике против большего угла лежит большая сторона, против большей стороны лежит больший угол:

В треугольнике четыре угла

В треугольнике четыре угла

Средней линией треугольника называется отрезок, который соединяет середины двух его сторон.

Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна её половине:

В треугольнике четыре угла

Видео:Сумма углов треугольника. Геометрия 7 класс | МатематикаСкачать

Сумма углов треугольника. Геометрия 7 класс | Математика

Равенство треугольников

В треугольнике четыре угла

Треугольники называются равными, если у них соответствующие стороны равны и соответствующие углы равны:

В треугольнике четыре угла

У равных треугольников все соответствующие элементы равны (стороны, углы, высоты, медианы, биссектрисы, средние линии и т.д.)

В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, а против равных углов – равные стороны.

В треугольнике четыре угла

Первый признак равенства треугольников.

Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны:

В треугольнике четыре угла

В треугольнике четыре угла

Второй признак равенства треугольников.

Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны:

В треугольнике четыре угла

В треугольнике четыре угла

Третий признак равенства треугольников.

Если три стороны одного треугольника равны соответственно трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны:

В треугольнике четыре угла

Видео:Виды треугольниковСкачать

Виды треугольников

Подобие треугольников

В треугольнике четыре угла

Подобными называются треугольники, у которых соответствующие стороны пропорциональны.

Коэффициент пропорциональности называется коэффициентом подобия:

В треугольнике четыре угла

Два треугольника подобны, если:

  • Два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника.
  • Две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого, и углы, образованные этими сторонами, равны.
  • Стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого.

У подобных треугольников соответствующие углы равны, а соответствующие отрезки пропорциональны:

В треугольнике четыре угла

Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

В треугольнике четыре угла

Прямая, пересекающая две стороны треугольника, и параллельная третьей, отсекает треугольник, подобный данному:

В треугольнике четыре угла

В треугольнике четыре угла

Три средние линии треугольника делят его на четыре равных треугольника, подобные данному, с коэффициентом подобия ½:

В треугольнике четыре угла

Видео:В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC = 4,8, синус A = 7/25. Найдите AB.Скачать

В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC = 4,8,  синус A = 7/25. Найдите AB.

Медианы треугольника

В треугольнике четыре угла

Медианой треугольника называется отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

Три медианы треугольника пересекаются в одной точке, делящей медианы в отношении 2:1, считая от вершины:

В треугольнике четыре угла

  • Медиана делит треугольник на два равновеликих (с равными площадями) треугольника.
  • Три медианы треугольника делят его на шесть равновеликих треугольников:

В треугольнике четыре угла

В треугольнике четыре угла

Длины медиан, проведённых к соответствующим сторонам треугольника, равны:

В треугольнике четыре угла

Видео:Углы треугольника с площадью 2 и гипотенузой 4Скачать

Углы треугольника с площадью 2 и гипотенузой 4

Биссектрисы треугольника

В треугольнике четыре угла

Биссектрисой треугольника, проведённой из данной вершины, называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий эту вершину с точкой на противолежащей стороне.

Биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке, находящейся внутри треугольника, равноудалённой от трёх его сторон, которая является центром окружности, вписанной в данный треугольник.

Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую углу сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам:

В треугольнике четыре угла

Длина биссектрисы угла А :

В треугольнике четыре угла

В треугольнике четыре угла

Биссектрисы внутреннего и смежного с ним внешнего угла перпендикулярны.

Биссектриса внешнего угла треугольника делит (внешне) противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.

BL – биссектриса угла В ;

ВЕ – биссектриса внешнего угла СВК :

В треугольнике четыре угла

Видео:Геометрия за 6 минут — Сумма углов треугольника и Внешний УголСкачать

Геометрия за 6 минут — Сумма углов треугольника и Внешний Угол

Высоты треугольника

В треугольнике четыре угла

Высотой треугольника называется перпендикуляр, опущенный из любой вершины треугольника на противолежащую сторону или на продолжение стороны.

Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется ортоцентром треугольника.

Высоты треугольника обратно пропорциональны его сторонам:

В треугольнике четыре угла

Длина высоты, проведённой к стороне а :

В треугольнике четыре угла

Видео:Урок по теме ЧЕТЫРЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ТОЧКИ ТРЕУГОЛЬНИКА ГЕОМЕТРИЯ 8 КЛАСССкачать

Урок по теме ЧЕТЫРЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ТОЧКИ ТРЕУГОЛЬНИКА ГЕОМЕТРИЯ 8 КЛАСС

Серединные перпендикуляры

В треугольнике четыре угла

Серединный перпендикуляр – это прямая, которая проходит через середину стороны треугольника перпендикулярно к ней.

Три серединных перпендикуляра треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром окружности, описанной около данного треугольника.

Точка пересечения биссектрисы угла треугольника с серединным перпендикуляром противолежащей стороны лежит на окружности, описанной около данного треугольника.

Видео:№256. Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, а сумма гипотенузы и меньшего из катетовСкачать

№256. Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, а сумма гипотенузы и меньшего из катетов

Окружность, вписанная в треугольник

В треугольнике четыре угла

Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон.

Точки касания вписанной окружности сторон треугольника отсекают от его сторон три пары равных между собой отрезков:

В треугольнике четыре угла

Радиус вписанной в треугольник окружности – расстояние от её центра до сторон треугольника:

В треугольнике четыре угла

Видео:Соотношения между сторонами и углами треугольника. 7 класс.Скачать

Соотношения между сторонами и углами треугольника. 7 класс.

Окружность, описанная около треугольника

В треугольнике четыре угла

Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все его вершины.

Радиус описанной окружности:

В треугольнике четыре угла

Видео:Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnlineСкачать

Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnline

Расположение центра описанной окружности

В треугольнике четыре углаВ треугольнике четыре углаВ треугольнике четыре углаЦентр описанной окружности остроугольного треугольника расположен внутри треугольника.Центр описанной окружности прямоугольного треугольника совпадает с серединой его гипотенузы.Центр описанной окружности тупоугольного треугольника расположен вне треугольника.

Видео:Виды треугольниковСкачать

Виды треугольников

Равнобедренный треугольник

В треугольнике четыре угла

Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны. Равные стороны называют боковыми сторонами, а третью – основанием равнобедренного треугольника.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: ∠ A = ∠ C.

В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является и биссектрисой, и высотой: BL – медиана, биссектриса, высота.

В треугольнике четыре угла

Основные формулы для равнобедренного треугольника:

В треугольнике четыре угла

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллельные прямые | Математика | TutorOnline

Равносторонний треугольник

В треугольнике четыре угла

Треугольник у которого все стороны равны называется равносторонним или правильным треугольником.

Центры вписанной и описанной окружностей правильного треугольника совпадают.

Все углы равностороннего треугольника равны:

В треугольнике четыре угла

Каждая медиана равностороннего треугольника совпадает с биссектрисой и высотой, которые проведены из той же вершины:

В треугольнике четыре угла

Основные соотношения для элементов равностороннего треугольника

В треугольнике четыре угла

Видео:Найдите углы четырёхугольникаСкачать

Найдите углы четырёхугольника

Прямоугольный треугольник

В треугольнике четыре угла

Треугольник называется прямоугольным, если у него есть прямой угол.

Стороны, прилежащие к прямому углу, называются катетами, противолежащая прямому углу – гипотенузой.

Прямоугольные треугольники равны если у них равны:

  • два катета;
  • катет и гипотенуза;
  • катет и прилежащий острый угол;
  • катет и противолежащий острый угол;
  • гипотенуза и острый угол.
  • одному острому углу;
  • из пропорциональности двух катетов;
  • из пропорциональности катета и гипотенузы.

В треугольнике четыре угла

В треугольнике четыре угла

В треугольнике четыре угла

В треугольнике четыре угла

В треугольнике четыре угла

В треугольнике четыре угла

Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу:

В треугольнике четыре угла

Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу:

В треугольнике четыре угла

Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, может быть определена через катеты и их проекции на гипотенузу:

В треугольнике четыре угла

Медиана, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы:

В треугольнике четыре угла

Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, делит данный треугольник на два треугольника, подобные данному:

В треугольнике четыре угла

Площадь прямоугольного треугольника можно определить

через катеты: В треугольнике четыре угла

через катет и острый угол: В треугольнике четыре угла

через гипотенузу и острый угол: В треугольнике четыре угла

В треугольнике четыре угла

Центр описанной окружности совпадает с серединой гипотенузы.

Радиус описанной окружности:

В треугольнике четыре угла

В треугольнике четыре угла

Радиус вписанной окружности:

В треугольнике четыре угла

Видео:2077 В треугольнике ABC AC равно 7,5 BC равно 4 угол C равен 90 найдите радиус вписанной окружностиСкачать

2077 В треугольнике ABC AC равно 7,5 BC равно 4 угол C равен 90 найдите радиус вписанной окружности

Вневписанные окружности

В треугольнике четыре угла

Три окружности, каждая из которых касается одной стороны (снаружи) и продолжений двух других сторон треугольника, называются вневписанными.

Центр вневписанной окружности лежит не пересечении биссектрисы одного внутреннего угла и биссектрис внешних углов при двух других вершинах.

Так точка О1 , центр одной из вневписанных окружностей Δ ABC , лежит на пересечении биссектрисы ∠ A треугольника ABC и биссектрис BО1 и C О1 внешних углов Δ ABC при вершинах B и C .

Таким образом, шесть биссектрис треугольника – три внутренние и три внешние – пересекаются по три в четырёх точках – центрах вписанной и трёх вневписанных окружностей.

Δ ABC является ортоцентричным в Δ О1О2О3 (точки A , B и C – основания высот в Δ О1О2О3 ).

В Δ ABC углы равны 180°–2 О1 , 180°–2 О2 , 180°–2 О3 .

Радиус окружности, описанной около Δ О1О2О3 , равен 2 R , где R – радиус окружности, описанной около Δ ABC .

Δ ABC имеет наименьший периметр среди всех треугольников, вписанных в Δ О1О2О3 .

Если ra , rb , rс – радиусы вневписанных окружностей в Δ ABC , то в Δ ABC верно:

для rВ треугольнике четыре угла

для R – В треугольнике четыре угла

для S – В треугольнике четыре угла

для самих ra , rb , rсВ треугольнике четыре угла

Теоремы синусов, косинусов, тангенсов; формулы Мольвейде

В треугольнике четыре угла

Теорема косинусов. Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними:

В треугольнике четыре угла

В треугольнике четыре угла

  • если c 2 > a 2 +b 2 , то угол γ – тупой ( cos γ
  • если c 2 2 +b 2 , то угол γ – острый ( cos γ > 0 );
  • если c 2 = a 2 +b 2 , то угол γ – прямой ( cos γ = 0 ).

В треугольнике четыре угла

Теорема синусов. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Коэффициент пропорциональности равен диаметру описанной окружности:

В треугольнике четыре угла

Теорема тангенсов (формула Региомонтана):

Геометрия. Урок 3. Треугольники

Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно.

В треугольнике четыре угла

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

  • Определение треугольника
  • Виды треугольников
  • Отрезки в треугольнике

Определение треугольника

Треугольник – многоугольник с тремя сторонами и тремя углами.

В треугольнике четыре угла

Угол ∠ A – угол, образованный сторонами A B и A C и противолежащий стороне B C .

Угол ∠ B – угол, образованный сторонами B A и B C и противолежащий стороне A C .

Угол ∠ C – угол, образованный сторонами C B и C A и противолежащий стороне A B .

Виды треугольников

Треугольник остроугольный , если все три угла в треугольнике острые.

Треугольник прямоугольный , если у него один из углов прямой ( = 90 ° ) .

Треугольник тупоугольный , если у него один из углов тупой.

В треугольнике четыре угла В треугольнике четыре углаВ треугольнике четыре угла

Основные свойства треугольника:

  • Против большей стороны лежит больший угол.
  • Против равных сторон лежат равные углы.
  • Сумма углов в треугольнике равна 180 ° .
  • Если продолжить одну из сторон треугольника, например, A C , и взять на продолжении стороны точку D , образуется внешний угол ∠ B C D к исходному углу ∠ A C B .

Отрезки в треугольнике

Биссектриса угла – луч, выходящий из вершины угла и делящий его пополам.

Биссектриса треугольника – отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противолежащей стороне.

Свойства биссектрис треугольника:

  • Биссектриса угла – геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла.
  • Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам:

Замечание: биссектриса угла – это луч, а биссектриса треугольника – отрезок.

Медиана треугольника – отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

Свойства медиан треугольника:

  • Медиана разбивает треугольник на два равновеликих треугольника (два треугольника, имеющих одинаковую площадь).
  • Медианы треугольника пересекаются в одной точке. Точка пересечения медиан делит их в отношении 2:1, считая от вершины.

Высота треугольника – это перпендикуляр, проведенный из вершины угла треугольника к прямой, содержащей противолежащую сторону этого треугольника.

Если треугольник остроугольный, то все три высоты будут лежать внутри треугольника. Если треугольник тупоугольный, то высоты, проведенные из вершин острых углов будут лежать вне треугольника, а высота, проведенная из вершины тупого угла будет лежать внутри треугольника.

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

Свойство средней линии треугольника: средняя линия параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

Всего в треугольнике можно провести три средние линии. Три средние линии разбивают исходный треугольник на четыре равных треугольника. Площадь каждого маленького треугольника будет равна четверти площади большого треугольника.

Площадь треугольника

Площадь произвольного треугольника можно найти следующими способами:

    Полупроизведение стороны на высоту, проведенную к этой стороне.

В треугольнике четыре угла

В треугольнике четыре угла

В треугольнике четыре угла

Равнобедренный треугольник

Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны.

Равнобедренный треугольник может быть остроугольным, прямоугольным и тупоугольным.

В треугольнике четыре угла В треугольнике четыре углаВ треугольнике четыре угла

Свойства равноберенного треугольника:

  • В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
  • В равнобедренном треугольнике медиана, высота и биссектриса, проведенные к основанию, совпадают.

Равносторонний треугольник

Равносторонним называется треугольник, у которого все стороны и все углы равны.

Площадь равностороннего треугольника находится по формуле S = a 2 3 4

Высота равностороннего треугольника находится по формуле h = a 3 2

Прямоугольный треугольник

Треугольник называется прямоугольным, если у него один из углов равен 90 ° .

Свойства прямоугольного треугольника:

  • Сумма двух острых углов треугольника равна 90 ° .
  • Катет, лежащий напротив угла в 30 ° , равен половине гипотенузы.
  • Если катет равен половине гипотенузы, он лежит напротив угла в 30 ° .

Теорема Пифагора

Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

У прямоугольного треугольника катеты перпендикулярны друг другу, следовательно, площадь можно найти по формуле:

Примеры решений заданий из ОГЭ

Модуль геометрия: задания, связанные с треугольниками

Поделиться или сохранить к себе: