Условие
В треугольник ABC вписана окружность, которая касается сторон AB,
BC и CA в точках P,Q и R
Найдите BQ, если AB=66 см, BC=115 см, CA=87 см.
Решение
Cвойство касательной к окружности, проведенной из одной точки.
Отрезки касательных равны.
Обозначены на рисунке одинаковым цветом и одной переменной.
х+у=115
х+z=66
z+y=87
Система трех уравнений с тремя неизвестными.
Складываем все три уравнения
2х+2у+2z=268 ⇒
x+y+z=134
О т в е т. BQ=x=47 см
откуда получилось 134
Складываем все три уравнения 2х+2у+2z=268 делим на 2 ⇒ x+y+z=134
В треугольник ABC вписана окружность, которая касается сторон AB, BC, AC соответственно в точках M, D, N. Найдите MD, если известно, что NA = 2, NC = 3, 
BCA = 60 o .
BCA = 60 o . Обозначим BM = BD = x. Тогда
По теореме косинусов
AB 2 = AC 2 + BC 2 — 2AC . BC cos
C, или (x + 2) 2 = 25 + (x + 3) 2 — 5(x + 3).
Из этого уравнения находим, что x = 5. Тогда AB = 7, BC = 8.
Еще раз применяя теорему косинусов к треугольнику ABC, находим, что
cos
B = 
= 
= 
.
Искомый отрезок MD находим по теореме косинусов из равнобедренного треугольника MBD:
MD = 
= 
= 
.
Ответ
.
В треугольнике abc вписана окружность которая касается сторон ab
Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается сторон AB, BC и CA в точках K, M и N соответственно.
а) Докажите, что 
б) Найдите отношение AK : KB, если известно, что AN : NC = 4 : 3 и 
а) Отрезки AK и AN, BK и BM, CN и CM попарно равны, так как это отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки (см. рисунок). Тогда:
откуда 
что и требовалось доказать.
Согласно теореме косинусов получаем:
откуда x = 
BK = 
Таким образом, AK : KB = 5 : 7.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Не доказано утверждения пункта а), но обоснованно получен верный ответ в пункте б) без использования утверждения пункта а) Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ в результате арифметической ошибки (описки) Имеется верное доказательство утверждения пункта а), получен верный ответ в пункте б), но решение недостаточно обоснованно, либо обоснования содержат неточности. | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) при неверном доказательстве утверждения пункта а) и обоснованном решении пункта б) без использования утверждения пункта а) получен неверный ответ в результате арифметической ошибки (описки) обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен или выполнен неверно |