В треугольник ABC, в котором длина стороны AC меньше длины стороны BC, вписана окружность с центром O. Точка B1 симметрична точке B относительно CO.
а) Докажите, что A, B, O и B1 лежат на одной окружности.
б) Найдите площадь четырёхугольника AOBB1, если AB = 10, AC = 6 и BC = 8.
а) Пусть CO пересекает AB в точке F, OB1 пересекает AB в точке E, CO пересекает BB1 в точке G, а углы A, B и C соответственно α, β и γ. Покажем, что отрезок AB1 виден из точек O и B под одним и тем же углом — это будет означать, что точки A, B1, B, O лежат на одной окружности.
В треугольнике CGB имеем:
Тогда 
В треугольнике OGB имеем: 
тогда 
Треугольник B1OB равнобедренный, так как GO — серединный перпендикуляр к BB1. Поэтому 
В треугольнике ABC точка O — инцентр, поэтому 
Следовательно, 
б) Площадь четырехугольника AOBB1 найдем по формуле 
Заметим, что B1O = OB, так как треугольник B1OB равнобедренный, и что 
из треугольника EOB.
Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, в нем 
Далее опустим перпендикуляр OH на сторону BC. Тогда 
как радиус вписанной окружности. Тогда 
откуда 
Тогда 
Приведем другое решение.
а) Пусть CO пересекает BB1 в точке G, а угол C равен γ. В треугольнике B1CB отрезок CG является высотой и медианой, тогда треугольник B1CB равнобедренный, отрезок CG является биссектрисой, следовательно, луч CB1 совпадает с лучом CA, и точка A лежит на отрезке CB1. В треугольнике CGB1 имеем:
В треугольнике ABC точка O — инцентр, поэтому
Следовательно, в четырехугольнике B1AOB имеем:
а потому четырехугольник B1AOB — вписанный, и точки B1, A, O, B лежат на одной окружности.
б) Площадь четырехугольника AOBB1 найдем как сумму площадей треугольников: 
Причём 
где r — радиус окружности, вписанный в треугольник ABC. Для сторон треугольника ABC выполнено соотношение 
следовательно, угол C прямой. Тогда
откуда 
Площадь треугольника ABB1 найдем как разность площадей треугольников BCB1 и ABC:
В результате получим 
Приведем решение пункта б) Натальи Лесниченко.
Заметим, что 
Высоты треугольников AOC и AOB равны радиусу окружности, вписанный в треугольник ABC.
Для сторон треугольника ABC выполнено соотношение следовательно, угол C прямой. Тогда
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы | ||||||||||||||||||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 | ||||||||||||||||||||||||||||||
| Получен обоснованный ответ в пункте б) имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 | ||||||||||||||||||||||||||||||
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, Содержание
Решение треугольников онлайнС помощю этого онлайн калькулятора можно решить треугольники, т.е. найти неизвестные элементы (стороны, углы) треугольника. Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже. Решение треугольников − это нахождение всех его элементов (трех сторон и трех углов) по трем известным элементам (сторонам и углам). В статье Треугольники. Признаки равенства треугольников рассматриваются условия, при которых два треугольника оказываются равными друг друга. Как следует из статьи, треугольник однозначно определяется тремя элементами. Это:
Заметим, что если у треугольника известны два угла, то легко найти третий угол, т.к. сумма всех углов треугольника равна 180°. Решение треугольника по трем сторонамПусть известны три стороны треугольника a, b, c (Рис.1). Найдем
Из (1) и (2) находим cosA, cosB и углы A и B (используя калькулятор). Далее, угол C находим из выражения
Пример 1. Известны стороны треугольника ABC: Решение. Из формул (1) и (2) находим:
И, наконец, находим угол C:
Решение треугольника по двум сторонам и углу между нимиПусть известны стороны треугольника a и b и угол между ними C (Рис.2). Найдем сторону c и углы A и B.
Найдем сторону c используя теорему косинусов:
Далее, из формулы
Далее из (3) с помощью калькулятора находим угол A. Поскольку уже нам известны два угла то находим третий:
Пример 2. Известны две стороны треугольника ABC: Решение. Иcпользуя теорму косинусов найдем сторону c:
Из формулы (3) найдем cosA:
Поскольку уже нам известны два угла то находим третий:
Решение треугольника по стороне и любым двум угламПусть известна сторона треугольника a и углы A и B (Рис.4). Найдем стороны b и c и угол C.
Так как, уже известны два угла, то можно найти третий:
Далее, для находждения сторон b и c воспользуемся тероемой синусов:
Пример 3. Известна одна сторона треугольника ABC: Решение. Поскольку известны два угла, то легко можно найти третий угол С:
Найдем сторону b. Из теоремы синусов имеем:
Найдем сторону с. Из теоремы синусов имеем: В треугольнике ABC длина стороны AB равна 5 сантиметров сторона BC длиннее стороны AB B на 8 см а длина стороны AC и меньше суммы длин его сторон A B и C на 6 сантиметров Найдите периметр треугольника?Математика | 5 — 9 классы В треугольнике ABC длина стороны AB равна 5 сантиметров сторона BC длиннее стороны AB B на 8 см а длина стороны AC и меньше суммы длин его сторон A B и C на 6 сантиметров Найдите периметр треугольника ответ.
5см + 8см = 13см — ВС (5см + 13см) — 6см = 12см — АС 5см(АВ) + 13см(ВС) + 12см(АС) = 30см — Р.
Периметр треугольника ABC равен 50 сантиметрам?Периметр треугольника ABC равен 50 сантиметрам. Сторона AB равна 12 сантиметрам. Сторона AC больше стороны AB на 10 сантиметров. Найдите длину стороны BC.
Периметр треугольника abc равен 36 сантиметров?Периметр треугольника abc равен 36 сантиметров. Длина стороны ab равна 10 сантиметров, длина стороны bc на 4 сантиметра больше. Чему равна длина стороны ac?
В треугольнике ABC длина стороны AB равна 5 см а сторона BC длинее стороны AB на 8 сантиметров, а длина стороны AC меньше суммы длин сторон AB и CD и на 6 см Найдите периметр треугольника?В треугольнике ABC длина стороны AB равна 5 см а сторона BC длинее стороны AB на 8 сантиметров, а длина стороны AC меньше суммы длин сторон AB и CD и на 6 см Найдите периметр треугольника.
Составьте выражение для решения задачи и найдите его значение : «В треугольнике ABC длина стороны AB равна 5 сантиметров, сторона BC длиннее стороныABна 8 сантиметров, а длина стороны AC меньше суммы ?Составьте выражение для решения задачи и найдите его значение : «В треугольнике ABC длина стороны AB равна 5 сантиметров, сторона BC длиннее стороныABна 8 сантиметров, а длина стороны AC меньше суммы длин сторон AB и BCа 6 сантиметров. Найдите периметр треугольника.
Длина одной стороны треугольника равна 36 сантиметров что составляет 6 седьмых длины его 2 стороны длина третьей стороны равна 5 тринадцатых от суммы длин и первых двух сторон Найди периметр треугольн?Длина одной стороны треугольника равна 36 сантиметров что составляет 6 седьмых длины его 2 стороны длина третьей стороны равна 5 тринадцатых от суммы длин и первых двух сторон Найди периметр треугольника.
Треугольник длина первой стороны треугольника равна 10 длина второй стороны на 2 сантиметра больше 11 стороны на 9 сантиметров меньше суммы длин первой и второй сторон Найдите длины сторон треугольник?Треугольник длина первой стороны треугольника равна 10 длина второй стороны на 2 сантиметра бо льше 11 стороны на 9 сантиметров меньше суммы длин первой и второй сторон Найдите длины сторон треугольника.
Периметр треугольника 20 сантиметров длины двух сторон 7 сантиметра и 8 сантиметра найди длина третьей стороны?Периметр треугольника 20 сантиметров длины двух сторон 7 сантиметра и 8 сантиметра найди длина третьей стороны.
Составьте выражение для решения задачи и найдите его значение?Составьте выражение для решения задачи и найдите его значение! Треугольник ABC, длина стороны AB равна 5 сантиметров, сторона BC длиннее стороны AB на 8 сантиметров, а длина стороны АС меньше суммы длин сторон AB и BC 6 на сантиметров. Найдите периметр треугольника.
В треугольнике a b c длины сторон a b равна 5 сантиметров сторона BC длиннее стороны AB 8 сантиметров а длина стороны АС и меньше суммы длин сторон AB и BC на 6 сантиметров Найди периметр треугольника?В треугольнике a b c длины сторон a b равна 5 сантиметров сторона BC длиннее стороны AB 8 сантиметров а длина стороны АС и меньше суммы длин сторон AB и BC на 6 сантиметров Найди периметр треугольника.
В треугольнике a b c длины сторон a b равна 5 сантиметров сторона ABCD сторона BC 8 см а длина стороны AC меньше суммы длин сторон AB и BC на 6 сантиметров Найди периметр треугольника?В треугольнике a b c длины сторон a b равна 5 сантиметров сторона ABCD сторона BC 8 см а длина стороны AC меньше суммы длин сторон AB и BC на 6 сантиметров Найди периметр треугольника. На этой странице сайта размещен вопрос В треугольнике ABC длина стороны AB равна 5 сантиметров сторона BC длиннее стороны AB B на 8 см а длина стороны AC и меньше суммы длин его сторон A B и C на 6 сантиметров Найдите периметр треугольника? из категории Математика с правильным ответом на него. Уровень сложности вопроса соответствует знаниям учеников 5 — 9 классов. Здесь же находятся ответы по заданному поиску, которые вы найдете с помощью автоматической системы. Одновременно с ответом на ваш вопрос показаны другие, похожие варианты по заданной теме. На этой странице можно обсудить все варианты ответов с другими пользователями сайта и получить от них наиболее полную подсказку.
1. тен — 9дм — 6дм 4см + 24см = 50см 2. Тен — 1м 8дм + 42дм — 2 м 7дм = 330см 3. Тен — 3дм 5см + 4дм 7см — 69см = 13см 4. Тен — 7м 2дм — 58дм + 1м 7дм = 310см.
1) 2÷ 250 = 0. 008 ( манат за 1 грамм) 2) 0. 008× 200 = 1. 6( манат за 200 грамм).
A_______C___O_____B. Отрезок : АВ и СD АВ или DC DO и CD или DO или DC.
3 умножить на 125 = 375 — первые 3 дня 915 — 375 = 540 — всего зделали за остальные 4 дня 540 : 4 = 135 — делали каждый из 4 дней.
Х = 6 ^ 3 / 4 + 2 ^ 1 / 3 Х = 8 ^ 4 / 5 — 2 ^ 1 / 6 Х = 5 ^ 3 / 9 ОТВЕТ 5 ^ 3 / 9.
Приклад число 300000050 300000005 уменьшиться на 45.
А) 135 + х + 65 = 200 + х б) 48 + n — 27 = 21 + n в) х — 45 — 27 = х — 72 г) 48 — а + 35 = 83 — а.
Привет, 17 — 12х — 12 = 9 — 3х — 9х = 4 х = — 4 / 9. |
.
.
Найти 
.
.
, 
.
.
.
.
и 
(Рис.2). Найти сторону c и углы A и B.
.
.
.
.
, 
.
, 
.
и углы 
(Рис.3). Найти стороны b и c и угол С.
