В трапеции авсд угол вад прямой окружность построенная

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

Видео:Геометрия В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основанию BC. Окружность проходит черезСкачать

Подготовка к ЕГЭ. Решение сложных заданий ЕГЭ-2017 по математике (профильный уровень)

Презентация к уроку

В данной работе предлагаются решения сложных заданий (№13 – №19) ЕГЭ-2017 по математике профильный уровень. Представленный здесь материал предназначен для подготовки к ЕГЭ учащихся, имеющих навык в решении заданий подобного уровня сложности. Задания №13, №14, №15 могут быть предложены сильным учащимся обычных классов, а вот задания №16, №17, №18, №19 целесообразно решать только с учащимися физико-математических классов, причем №19 под буквой «в» под силу только тем, кто имеет определенную подготовку в решении олимпиадных задач. В заданиях №18 и №19 предлагается по два способа решения.

Для оформления всех решений использована мультимедиа презентация, где материал представлен наглядно в ярком, интересном и доступном виде, что для учителя и учащихся будет ценно и полезно. Эту презентацию можно применять как на уроке, так и для индивидуальной работы.

Условия заданий.

№13.

№14.

Основание четырехугольной пирамиды SABCD является прямоугольник ABCD, причем Основанием высоты пирамиды является центр прямоугольника. Из вершины А и С опущены перпендикуляры AP и CQ на ребро SB.

а) Докажите, что Р-середина отрезка BQ.

б) Найдите угол между гранями SBA и SBC, если SD = 8.

№15.

№16.

В трапеции АВСD угол BAD прямой. Окружность, построенная на большем основании AD как на диаметре, пересекает меньшее основание ВС в точках С и М.

а) Докажите, что угол BAM равен углу CAD.

б) Диагонали трапеции ABCD пересекаются в точке О. Найдите площадь треугольника AOB, если AB =

№17

В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

– каждый январь долг увеличивается на 30% по сравнению с концом предыдущего года;

– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долг.

Сколько рублей будет выплачено банку, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за 3 года) и общая сумма выплат после полного погашения кредита на 78030 рублей больше суммы взятой в кредит.

№18.

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение имеет ровно один корень на отрезке [0; 1].

№19.

На доске написаны 100 различных натуральных чисел, сумма которых равна 5100.

а) Может ли оказаться, что на доске написано число 250?

б) ) Может ли оказаться, что на доске нет числа 11?

в) Какое наибольшее количество чисел, кратных 11, может быть на доске?

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

В трапеции авсд угол вад прямой окружность построенная

Напомним свойства трапеции, которые часто используются при решении задач. Некоторые из этих свойств были доказаны в заданиях для 9-го класса, другие попробуйте доказать самостоятельно. Приведённые рисунки напоминают ход доказательства.

$$ 4.^$$. Диагонали трапеции разбивают её на четыре треугольника с общей вершиной (рис. 20). Площади треугольников, прилежащих к боковым сторонам, равны, а треугольники прилежащие к основаниям — подобны.

$$ 4.^$$. В любой трапеции середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка пересечения продолжении боковых сторон, лежат на одной прямой (на рис. 21 точки `M`, `N`, `O` и `K`).

$$ 4.^$$. В равнобокой трапеции углы при основании равны (рис. 22).

$$ 4.^$$. В равнобокой трапеции прямая, проходящая через середины оснований, перпендикулярна основаниям и является осью симметрии трапеции (рис. 23).

$$ 4.^$$. В равнобокой трапеции диагонали равны (рис. 24).

$$ 4.^$$. В равнобокой трапеции высота, опущенная на большее основание из конца меньшего основания, делит его на два отрезка, один из которых равен полуразности оснований, а другой – их полусумме

(рис. 25, основания равны `a` и `b`, `a>b`).

$$ 4.^$$. Во всякой трапеции середины боковых сторон и середины диагоналей лежат на одной прямой (рис. 26).

$$ 4.^$$. Во всякой трапеции отрезок, соединяющий середины диагоналей, параллелен основаниям и равен полуразности оснований (рис. 27).

$$ 4.^$$.В равнобокой трапеции `d^2=c^2+ab`, где `d` — диагональ, `c` — боковая сторона, `a` и `b` основания.

Во всякой трапеции сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов боковых сторон и удвоенного произведения оснований, т. е. `d_1^2+d_2^2=c_1^2+c_2^2+2*ab`.

$$ 4.^$$. Во всякой трапеции с основаниями `a` и `b` отрезок с концами на боковых сторонах, проходящий через точку пересечения диагоналей параллельно основаниям, равен `(2ab)/(a+b)` (на рис. 28 отрезок `MN`).

$$ 4.^$$. Трапецию можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда она равнобокая.

Докажем, например, утверждение $$ 4.^$$ .

Применяем теорему косинусов (см. рис. 29а и б):

`ul(DeltaACD):` `d_1^2=a^2+c_2^2-2a*c_2*cos varphi`,

`ul(DeltaBCD):` `d_2^2=b^2+c_2^2+2b*c_2*cos varphi` (т. к. `cos(180^@-varphi)=-cos varphi`).

Проводим `CK«||«BA` (рис. 29в), рассматриваем треугольник `ul(KCD):` `c_1^2=c_2^2+(a-b)^2-2c_2*(a-b)*cos varphi`. Используя последнее равенство, заменяем выражение в скобках в (2), получаем:

В случае равнобокой трапеции `d_1=d_2`, `c_1=c_2=c`, поэтому получаем

Отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, равен `5`, одна из диагоналей равна `6`. Найти площадь трапеции, если её диагонали перпендикулярны.

`AC=6`, `BM=MC`, `AN=ND`, `MN=5` (рис. 30а). Во всякой трапеции середины оснований и точка пересечения диагоналей лежат на од-ной прямой (свойство $$ 4.^$$). Треугольник `BOC` прямоугольный (по условию `AC_|_BD`), `OM` — его медиана, проведённая из вершины прямого угла, она равна половине гипотенузы: `OM=1/2BC`. Аналогично устанавливается `ON=1/2AD`, поэтому `MN=1/2(BC+AD)`. Через точку `D` проведём прямую, параллельную диагонали `AC`, пусть `K` — её точка пересечения с прямой `BC` (рис. 30б).

По построению `ACKD` — параллелограмм, `DK=AC`, `CK=AD` и `/_BDK=90^@`

(т. к. угол `BDK` — это угол между диагоналями трапеции).

Прямоугольный треугольник `ul(BDK)` с гипотенузой `BK=BC+AD=2MN=10` и катетом `DK=6` имеет площадь `S=1/2DK*BD=1/2DKsqrt(BK^2-DK^2)=24`. Но площадь треугольника `BDK` равна площади трапеции, т. к. если `DP_|_BK`, то

Диагонали трапеции, пересекаясь, разбивают её на четыре треугольника с общей вершиной. Найти площадь трапеции, если площади треугольников, прилежащих к основаниям, равны `S_1` и `S_2`.

Пусть `BC=a`, `AD=b`, и пусть `h` — высота трапеции (рис. 31). По свойству $$ 4.^$$ `S_(ABO)=S_(CDO)`, обозначим эту площадь `S_0` (действительно, `S_(ABD)=S_(ACD)`, т. к. у них общие основания и равные высоты, т. е. `S_(AOB)+S_(AOD)=S_(COD)+S_(AOD)`, откуда следует `S_(AOB)=S_(COD)`). Так как `S_(ABC)=S_0 + S_1=1/2ah` и `S_(ACD)=S_0+S_2=1/2bh`, то `(S_0+S_1)/(S_0 + S_2)=a/b`.

Далее, треугольники `BOC` и `DOA` подобны, площади подобных треугольников относятся как квадраты соответствующих сторон, значит, `(S_1)/(S_2)=(a/b)^2`. Таким образом, `(S_0+S_1)/(S_0+S_2)=sqrt((S_1)/(S_2))`.Отсюда находим `S_0=sqrt(S_1S_2)`, и поэтому площадь трапеции будет равна

Основания равнобокой трапеции равны `8` и `10`, высота трапеции равна `3` (рис. 32).

Найти радиус окружности, описанной около этой трапеции.

Трапеция равнобокая, по свойству $$ 4.^$$ около этой трапеции можно описать окружность. Пусть `BK_|_AD`, по свойству $$ 4.^$$

Из прямоугольного треугольника `ABK` находим `AB=sqrt(1+9)=sqrt(10)` и `sinA=(BK)/(AB)=3/(sqrt10)`. Окружность, описанная около трапеции `ABCD`, описана и около треугольника `ABD`, значит (формула (1), § 1), `R=(BD)/(2sinA)`. Отрезок `BD` находим из прямоугольного треугольника `KDB:` `BD=sqrt(BK^2+KD^2)=3sqrt(10)` (или по формуле `d^2=c^2+ab`), тогда

$$ 4.^$$. Площадь трапеции равна площади треугольника, две стороны которого равны диагоналям трапеции, а третья равна сумме оснований.

$$ 4.^$$. Если `S_1` и `S_2` — площади треугольников, прилежащих к основаниям, то площади треугольников, прилежащих к боковым сторонам равны `sqrt(S_1S_2)`, а площадь всей трапеции равна `(sqrt(S_1) +sqrt(S_2))^2`.

$$ 4.^$$. Радиус окружности, описанной около трапеции, находится по формуле `R+a/(2sin alpha)`, где `a` — какая-то сторона (или диагональ трапеции), `alpha` — смотрящий на неё вписанный угол.

🔥 Видео

Геометрия В трапеции ABCD (ABllCD) угол ABC равен 130. Окружность с центром в точке B проходит черезСкачать

Геометрия Дана равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Окружность с центром OСкачать

Геометрия В трапеции ABCD известно, что AB = CD, AD = 24 см, угол ADB = углу CDB, а периметр равенСкачать

[ОГЭ] Найдите боковую сторону АВ трапеции ABCD, если углы ABC и BCD равны соответственно 45° и 120Скачать

ОГЭ-2020, математика, Ященко И.В. 36 вариант, задача№ 24.Скачать

ТРАПЕЦИЯ — Что такое трапеция, Виды Трапеций, Площадь Трапеции // Геометрия 8 классСкачать

Трапеция. Практическая часть - решение задачи. 8 класс.Скачать

🔴 В трапеции ABCD известно, что AB=CD ... | ЕГЭ БАЗА 2018 | ЗАДАНИЕ 15 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Окружность, вписанная в трапециюСкачать

8 класс, 6 урок, ТрапецияСкачать

Окружность и трапеция | ЕГЭ-2018. Задание 16. Математика. Профильный уровень | Борис Трушин +Скачать

Геометрия В трапеции ABCD основания AD и BC. Диагональ AC разбивает ее на два равнобедренныхСкачать

№746. Основание AD прямоугольной трапеции ABCD с прямым углом A равно 12 смСкачать

Решаем вместе 15 задание ЕГЭ (Н и НН в словах разных частей речи)Скачать

Геометрия Найдите углы трапеции ABCD, прилежащие к боковой стороне CD, если угол C : углу D = 8 : 7Скачать

ОГЭ по математике 2022. Геометрия. Решение задач 23-25Скачать

Углы, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать