Периметр треугольника равен 12, а радиус вписанной окружности равен 1. Найдите площадь этого треугольника.
Площадь треугольника равна произведению его полупериметра (p) на радиус вписанной окружности (r):
Площадь треугольника равна произведению ПЕРИМЕТРА на радиус!
Площадь треугольника равна произведению ПОЛУПЕРИМЕТРА на радиус вписанной окружности
Площадь треугольника равна 24, а радиус вписанной окружности равен 2. Найдите периметр этого треугольника.
Из формулы где p — полупериметр, находим, что периметр описанного многоугольника равен отношению удвоенной площади к радиусу вписанной окружности:
- Площадь круга, вписанного в равносторонний треугольник: решение
- Содержание:
- Особенности явления
- Способ вычислить площадь круга, вписанного в треугольник
- Задачи
- Треугольник вписанный в окружность
- Определение
- Формулы
- Радиус вписанной окружности в треугольник
- Радиус описанной окружности около треугольника
- Площадь треугольника
- Периметр треугольника
- Сторона треугольника
- Средняя линия треугольника
- Высота треугольника
- Свойства
- Доказательство
- 🔍 Видео
Видео:Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.Скачать
Площадь круга, вписанного в равносторонний треугольник: решение
Содержание:
В геометрии встречаются понятия описанной и вписанной геометрических фигур. Описанным будет треугольник, через вершины которого проходит окружность, вписанным – если его стороны соприкасаются с кругом. Такое построение в обоих случаях обладает рядом особенностей, которые применяются на практике и упрощают решение задач. Рассмотрим свойства и формулы для расчёта описанного 3-угольника.
Видео:Окружность вписана в равносторонний треугольник, найти радиусСкачать
Особенности явления
Окружность с центром O, проходящая через одну из точек: D, E либо F обязательно будет лежать и на двух остальных. Прямые, разделяющие углы пополам, или биссектрисы равностороннего треугольника пересекаются в общей точке – центре вписанной окружности, который находится на одинаковом удалении от сторон геометрической фигуры.
Из вышесказанного следуют свойства:
- В треугольник вписывается лишь один круг.
- Его центр находится на одинаковом расстоянии от ближайших точек на сторонах 3-угольника.
- Перпендикуляры, опущенные из центра O, и биссектрисы пересекаются в одной точке, называемой центром вписанной окружности.
Видео:15 задание треугольники огэ по математике / маттаймСкачать
Способ вычислить площадь круга, вписанного в треугольник
Для вычисления площади, если дан только размер стороны правильного треугольника, применяется ряд формул.
S=πr 2 .
a, где:
- a – длина стороны геометрической фигуры;
- r – радиус круга, расположенного внутри многоугольника с тремя равными сторонами.
После подстановки значения получается выражение для вычисления площади вписанной окружности:
.
В задачах могут давать длину сторон, тогда
Выражение для равностороннего треугольника можно записать в виде так как 3-угольник равносторонний. С иной стороны – это полупериметр рассматриваемой геометрической фигуры – p.
Зная это, формула записывается в виде: S = r * p.
Видео:№693. В прямоугольный треугольник вписана окружность радиуса r. Найдите периметр треугольника,Скачать
Задачи
В формулу подставим длину сторон треугольника, после вычислений получим результат.
Вычислить занимаемое вписанным в 3-угольник кругом пространство, если его сторона равна 10 см.
Для вычислений необходимо найти радиус r.
Известно, что он определяется по формуле:
После преобразований выражение упрощается до .
– полупериметр.
Начинаем проводить вычисления.
P = a + a + a = 10 +10 +10 или 10 * 3 = 30 см.
Видео:Задача 6 №27624 ЕГЭ по математике. Урок 71Скачать
Треугольник вписанный в окружность
Видео:Задание 16 ОГЭ по математике. Окружность вписана в равносторонний треугольник.Скачать
Определение
Треугольник, вписанный в окружность — это треугольник, который
находится внутри окружности и соприкасается с ней всеми тремя вершинами.
На рисунке 1 изображена окружность, описанная около
треугольника и окружность, вписанная в треугольник.
ВD = FC = AE — диаметры описанной около треугольника окружности.
O — центр вписанной в треугольник окружности.
Видео:Равносторонний треугольник в окружностиСкачать
Формулы
Радиус вписанной окружности в треугольник
r — радиус вписанной окружности.
- Радиус вписанной окружности в треугольник,
если известна площадь и все стороны:
Радиус вписанной окружности в треугольник,
если известны площадь и периметр:
Радиус вписанной окружности в треугольник,
если известны полупериметр и все стороны:
Радиус описанной окружности около треугольника
R — радиус описанной окружности.
- Радиус описанной окружности около треугольника,
если известна одна из сторон и синус противолежащего стороне угла:
Радиус описанной окружности около треугольника,
если известны все стороны и площадь:
Радиус описанной окружности около треугольника,
если известны все стороны и полупериметр:
Площадь треугольника
S — площадь треугольника.
- Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известен полупериметр и радиус вписанной окружности:
Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известен полупериметр:
Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известен высота и основание:
Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известна сторона и два прилежащих к ней угла:
Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известны две стороны и синус угла между ними:
[ S = fracab cdot sin angle C ]
Периметр треугольника
P — периметр треугольника.
- Периметр треугольника вписанного в окружность,
если известны все стороны:
Периметр треугольника вписанного в окружность,
если известна площадь и радиус вписанной окружности:
Периметр треугольника вписанного в окружность,
если известны две стороны и угол между ними:
Сторона треугольника
a — сторона треугольника.
- Сторона треугольника вписанного в окружность,
если известны две стороны и косинус угла между ними:
Сторона треугольника вписанного в
окружность, если известна сторона и два угла:
Средняя линия треугольника
l — средняя линия треугольника.
- Средняя линия треугольника вписанного
в окружность, если известно основание:
Средняя линия треугольника вписанного в окружность,
если известныдве стороны, ни одна из них не является
основанием, и косинус угламежду ними:
Высота треугольника
h — высота треугольника.
- Высота треугольника вписанного в окружность,
если известна площадь и основание:
Высота треугольника вписанного в окружность,
если известен сторона и синус угла прилежащего
к этой стороне, и находящегося напротив высоты:
[ h = b cdot sin alpha ]
Высота треугольника вписанного в окружность,
если известен радиус описанной окружности и
две стороны, ни одна из которых не является основанием:
Видео:Задача 6 №27910 ЕГЭ по математике. Урок 130Скачать
Свойства
- Центр вписанной в треугольник окружности
находится на пересечении биссектрис. - В треугольник, вписанный в окружность,
можно вписать окружность, причем только одну. - Для треугольника, вписанного в окружность,
справедлива Теорема Синусов, Теорема Косинусов
и Теорема Пифагора. - Центр описанной около треугольника окружности
находится на пересечении серединных перпендикуляров. - Все вершины треугольника, вписанного
в окружность, лежат на окружности. - Сумма всех углов треугольника — 180 градусов.
- Площадь треугольника вокруг которого описана окружность, и
треугольника, в который вписана окружность, можно найти по
формуле Герона.
Видео:№1117. Найдите площадь круга, вписанного: а) в равносторонний треугольник со стороной а;Скачать
Доказательство
Около любого треугольника, можно
описать окружность притом только одну.
окружность и треугольник,
которые изображены на рисунке 2.
окружность описана
около треугольника.
- Проведем серединные
перпендикуляры — HO, FO, EO. - O — точка пересечения серединных
перпендикуляров равноудалена от
всех вершин треугольника. - Центр окружности — точка пересечения
серединных перпендикуляров — около
треугольника описана окружность — O,
от центра окружности к вершинам можно
провести равные отрезки — радиусы — OB, OA, OC.
окружность описана около треугольника,
что и требовалось доказать.
Подводя итог, можно сказать, что треугольник,
вписанный в окружность — это треугольник,
в котором все серединные перпендикуляры
пересекаются в одной точке, и эта точка
равноудалена от всех вершин треугольника.
🔍 Видео
Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать
Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать
Шестнадцатое задание ОГЭ по математике (1) #огэ #огэ2023 #огэматематика #огэпоматематике #математикаСкачать
Геометрия. ОГЭ по математике. Задание 16Скачать
ЕГЭ профиль #3 / Радиус описанной окружности / Равносторонний треугольник / решу егэСкачать
Вписанная окружность в равностороннем треугольникеСкачать
№706. Найдите сторону равностороннего треугольника, если радиус описанной около него окружностиСкачать
Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать
Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать
Геометрия В правильный треугольник вписана окружность и около него описана окружность Найти площадьСкачать
Найти радиус равнобедренного прямоугольного треугольника 3 задание проф. ЕГЭ по математикеСкачать