В равнобедренном тупоугольном треугольнике

Задание.

В равнобедренном треугольнике ABC, где угол B – тупой, на продолжение стороны BC опущена высота AH. ИЗ точки H на стороны AB и AC опущены перпендикуляры HK и HM соответственно.

а) Докажите, что AM = MK.

б) Найдите MK, если AB = 13, AC = 24.

Решение:

а) Докажите, что AM = MK.

Так как, угол AKH = 90 0 , угол AMH = 90 0 , тогда отрезок AH виден из точек K и M под углом 90 0 . Поэтому точки A, M, K и H лежат на окружности, диаметром которой является отрезок AH (см. рис.1).

Угол AKM — вписанный в окружность угол, который опирается на дугу AM. Угол AHM — вписанный в окружность угол, который опирается на дугу AM. Следовательно, угол AKM равен углу AHM. Т.е.

Треугольник ΔAHC – прямоугольный, тогда

Треугольник ΔAHM – прямоугольный, тогда

Из (1) и (2) равенства имеем, что

Так как треугольник ΔABC – равнобедренный (AB = BC), то

Тогда в треугольнике ΔAKM:

Получаем, что треугольник ΔAKM – равнобедренный и AM = MK.

б) Найдите MK, если AB = 13, AC = 24.

Рассмотрим треугольник ΔAMH – прямоугольный, угол AHM = α, MK = AM

Рассмотрим треугольник ΔABP – прямоугольный:

BP 2 = AB 2 – AP 2

BP 2 = 13 2 – 12 2 = 25

Найдем площадь треугольника ΔABC:

С другой стороны, площадь треугольника ΔABC можно найти

Тогда, AH = 2· S_ABC/BC

AH = (2·60)/13 = 120/13

Подставим полученные значения в равенство (1), получаем:

Равнобедренный тупоугольный треугольник

Средняя оценка: 4.8

Всего получено оценок: 200.

Средняя оценка: 4.8

Всего получено оценок: 200.

Равнобедренный треугольник наиболее часто встречается в задачах по геометрии. Так сложилось, что равнобедренный треугольник не столь прост в решении, как правильный, но при этом обладает рядом интересных свойств, которые могут затруднить решение задачи.

Равнобедренный треугольник

Равнобедренным треугольником называется треугольник, две стороны которого равны между собой. Тогда третья сторона называется основанием, а равные стороны считаются боковыми.

Рис. 1. Равнобедренный треугольник.

Любой равнобедренный треугольник имеет ряд свойств:

• Углы при основании равнобедренного треугольника равны.
• Медиана, проведенная к основанию равнобедренного треугольника является биссектрисой и высотой.

Именно эти два свойства определяют специфические особенности равнобедренных треугольников. Как и произвольные треугольник, равнобедренные треугольники бывают 3 видов:

• Остроугольные
• Прямоугольные
• Тупоугольные.

Углы при основании равнобедренного треугольника равны, а сумма углов треугольника всегда равна 180 градусам. Поэтому в равнобедренном и тупоугольном треугольнике наибольший угол всегда лежит напротив основания. Если такой угол лежал бы при основании, то сумма углов превысила бы 180 градусов, а это невозможно.

Тупоугольный треугольник

Тупой угол это угол больше 90 градусов. Очень часто тупоугольный треугольник стараются изобразить так, чтобы тупой угол находился у основания треугольника. Такой подход облегчает восприятие фигуры.

Рис. 2. Тупоугольный треугольник.

В любой треугольник тупой угол добавляет несколько особенностей:

• Две высоты тупоугольного треугольника будут проходить вне треугольника. Они падают на продолжение одной из сторон.
• Ортоцентр, т.е. точка пересечения высот треугольника будет находится за пределами треугольника.
• Два других угла треугольника всегда будут острыми.

Равнобедренный тупоугольный треугольник

Равнобедренный треугольник – это треугольник, который с одной стороны содержит в себе тупой угол, а с другой стороны имеет две равные между собой стороны.

Такой равнобедренный треугольник сложно воспринимать визуально. Дело в том, что с одной стороны тупоугольные треугольники ученики часто изображают так, чтобы тупой угол был при основании.

Но если тупой угол начертить в основании, то реальное основание тупоугольного равнобедренного треугольника будет визуально совпадать с боковой стороной. Такой подход очень часто приводит к ошибкам. Поэтому равнобедренный тупоугольный треугольник лучше рисовать с тупым углом напротив основания, а сам угол подписывать прямо на чертеже.

Рис. 3. Равнобедренный тупоугольный треугольник.

С другой стороны, этот подход не всегда помогает воспринимать фигуру именно как тупоугольный треугольник. Поэтому и нужно подписывать углы, а при решении доказывать или проверять условие на наличие доказательств существования тупого угла в треугольнике.

Что мы узнали?

Мы узнали, что такое тупоугольный равнобедренный треугольник и какими особенностями он обладает. Поговорили о том, как лучше начертить тупоугольный треугольник и выделили проблемы, которые могут возникнуть с этим вопросом при решении задач.

16. Планиметрия

Формат ответа: цифра или несколько цифр, слово или несколько слов. Вопросы на соответствие «буква» — «цифра» должны записываться как несколько цифр. Между словами и цифрами не должно быть пробелов или других знаков.

Примеры ответов: 7 или здесьисейчас или 3514

В равнобедренном тупоугольном треугольнике ABC на продолжение боковой стороны BC опущена высота AH. Из точки H на сторону AB и основание AC опущены перпендикуляры HK и HM соответственно.

а) Докажите, что отрезки AM и MK равны.

б) Найдите MK, если AB=5, AC=8.

Пусть $angle BAC=angle BCA=alpha .$ Тогда $angle ABC=180^-2alpha .$

$angle HBA=180^-180^+2alpha =2alpha $ как смежный с $angle ABC.$

Так как треугольник $AHB$ — прямоугольный, то $angle HAB=90^-2alpha .$

$angle HAC=angle HAB+angle BAC=90^-alpha .$

Так как треугольник $AHM$ — прямоугольный, то $angle AHM=90^-90^+alpha =alpha .$

Аналогично из прямоугольго треугольника $HKB$ получаем, что $angle BHK=90^-2alpha .$

Рассмотрим $angle AHB=90^=angle AHM+angle THK+angle BHK=alpha +angle THK+90^-2alpha Rightarrow angle THK=alpha .$

В треугольниках $ATM$ и $HTK$ $angle TAM=angle THK$ по доказанному, $angle AMT=angle HKT=90^$ по условию. Значит, данные треугольники подобны по призкаку подобия по 2 углам. Следовательно,

$displaystyle frac=displaystyle fracRightarrow displaystyle frac=displaystyle frac.$

В треугольнике $ATH$ и $MTK$ $angle ATH=angle MTK$ как вертикальные, $displaystyle frac=displaystyle frac$ по доказанномую Значит, данные треугольники подобны по 2 пропорциональнымсторонам и углу между ними. Тогда, $angle AHT=angle TKM=alpha .$

Получили, что в треугольнике $AKM$ углы при стороне $AK$ равны, значит, треугольник — равнобедренный и $AM=KM.$

Проведем прямую $BP//HM.$ В равнобедренном треугольнике $ABC$ отрезок $BP$ будет являться высотой и медианой, поэтому $PC=4.$ По теорем е Пифагора $BP^=sqrt<BC^-PC^>=3.$

Прямая $BP$ отсекает от треугольника $HCM$ подобные ему треугольник $BCP,$ поэтому $displaystyle frac=displaystyle frac,$

$displaystyle frac=displaystyle fracRightarrow HC=displaystyle fracCM.$

Обозначим $CM=x,$ тогда $HC=displaystyle fracx,$ $BH=displaystyle fracx-5,$ $AM=8-x.$

Из треугольника $ABH$ по теореме Пифагора $AH^=AB^-BH^=25-(displaystyle fracx-5)^=displaystyle fracx-displaystyle fracx^.$

Аналогично из треугольника $AHC$ $AC^=AH^+HC^$

$64=displaystyle fracx-displaystyle fracx^+displaystyle fracx^$

Дана трапеция с диагоналями равными 6 и 8. Сумма оснований равна 10.

а) Докажите, что диагонали перпендикулярны.

б) Найдите высоту трапеции.

а) Проведем прямую CF//BD, тогда BCFD – параллелограмм и BC = DF, CF = BD.

В треугольнике ACF AC = 8, CF = 6, AF = AD + DF = 10.

Если диагонали перпендикулярны, то треугольник ACF – прямоугольный и выполняется теорема Пифагора:

Значит, угол между диагоналями равен 90⁰.

б) $S_=displaystyle fraccdot h=5h,$ , где h – длинна высоты.

С другой стороны $S_=displaystyle fraccdot BDcdot ACcdot sin 90^=24$

Дана равнобедренная трапеция, в которой AD = 3BC, CM — высота трапеции.

а) Доказать, что M делит AD в отношении 2:1.

б) Найдите расстояние от точки C до середины BD, если AD = 18, $AC=4sqrt.$.

а) Поскольку ABCD — равнобедренная трапеция, то

$MD=displaystyle frac=displaystyle frac=BC$

Тогда $AM=2BC$. Следовательно, $displaystyle frac=displaystyle frac$

Треугольник AMC прямоугольный. В нем $AM=displaystyle fracAD=12$ по доказанному в пункте а) и $AC=4sqrt$ по условию.

По теореме Пифагора $CM^+AM^=AC^$ , откуда $CM=8$ .

Треугольники BCO и MOD равны по катету и острому углу (BC=MD по доказанному в пункте а) , углы CBO и ADO равны как накрест лежащие). Тогда BO = OD и СO = OM как соответственные элементы равных треугольников. Значит, СO — искомое расстояние.

В остроугольном треугольнике ABC провели высоту BH из точки H на стороны AB и BC опустили перпендикуляры HK и HM соответственно.

а) Докажите, что треугольник MBK подобен треугольнику ABC.

б) Найдите отношение площади треугольника MBK к площади четырёхугольника AKMC, если BH = 2, а радиус окружности, описанной около треугольника ABC равен 4.

а) Обозначим $angle BAC=alpha .$. Треугольники AKH, CMH, ABH и BKH – прямоугольные. Тогда $angle KHA=angle ABH=90^-alpha .$. Аналогично $angle KHB=90^-(90^-alpha )=alpha .$. В четырехугольнике BKHM $angle BKH+angle BMH=90^+90^=180^,$, значит, вокруг этого четырехугольника можно описать окружность. Углы $angle KHB=angle KMB=alpha $ как опирающиеся на одну и ту же хорду.

В треугольниках ABC и MKB $angle KMB=angle BAC,angle ABC$ — совпадающий. Значит, они подобны по признаку подобия по 2 углам.

б) Обозначим k – коэффициент подобия треугольников ABC и MKB (k

Точки P, Q, W делят стороны выпуклого четырёхугольника ABCD в отношении AP:PB=CQ:QB=CW:WD=1:4, радиус окружности, описанной около треугольника PQW, равен 10, PQ=16, QW=12, угол PWQ — острый.

а) Докажите, что треугольник PQW — прямоугольный.

б) Найдите площадь четырёхугольника ABCD.

а) По теореме синусов из треугольника $PQW:$

$sin angle PWQ=displaystyle frac,sin angle QPW=displaystyle frac.$

Заметим, что $sin ^angle PWQ+sin ^angle QPW=displaystyle frac+displaystyle frac=1.$

$sin ^angle QPW=cos ^angle PWQ,$

$sin angle QPW=cos angle PWQ,$

так как угол $QWP$ — острый. Тогда $angle QPW+angle PWQ=90^$ и треугольник $PQW$ — прямоугольный.

б) Треугольник $PBQ$ и $ABC$ подобные по двум стронам и углу между ими ($angle B$ — общий, $displaystyle frac=displaystyle frac=displaystyle frac).$ Значит, $ACparallel PQ$ и $AC=displaystyle fracPQ=20.$

Аналогично, из подобия треугольников $QCW$ и $BCQ$ получаем, что $BDparallel QW$ и $BD=5QN=60$

Угол между прямыми $BD$ и $AC$ равен углу между прямыми $PQ$ и $QW,$ поэтому

$S_=displaystyle fracBDcdot ACcdot sin 90^=displaystyle frac60cdot 20=600.$