В прямоугольную трапецию вписаны две окружности

Задание 16. Математика ЕГЭ. В прямоугольной трапеции ABCD с прямым углом при вершине А расположены две окружности. Найдите площадь трапеции

Задание. В прямоугольной трапеции ABCD с прямым углом при вершине А расположены две окружности. Одна из них касается боковых сторон и большего основания AD, вторая – боковых сторон, меньшего основания ВС и первой окружности.

а) Прямая, проходящая через центры окружностей, пересекает основание AD в точке P. Докажите, что AP/PD = sinD.

б) Найдите площадь трапеции, если радиусы окружностей равны 4/3 и 1/3.

В прямоугольную трапецию вписаны две окружности

Решение:

а) Прямая, проходящая через центры окружностей, пересекает основание AD в точке P. Докажите, что AP/PD = sinD.

Пусть точка Q – точка пересечения продолжений боковых сторон CD и АВ прямоугольной трапеции ABCD. Так как стороны угла ∠AQD являются касательными к окружностям, то прямая QP, проходящая через центры окружностей, является биссектрисой угла ∠AQD и треугольника ∆ AQD.

По свойству биссектрисы треугольника

В прямоугольную трапецию вписаны две окружности

Так как треугольник ∆ AQD – прямоугольный, то

В прямоугольную трапецию вписаны две окружности

В прямоугольную трапецию вписаны две окружности

б) Найдите площадь трапеции, если радиусы окружностей равны 4/3 и 1/3.

Площадь трапеции равна

Окружность с центром О1 радиуса R = 4/3 касается боковой стороны АВ в точке Е, а основание AD касается в точке М. Тогда R = O1E = AE = AM = O1M = 4/3.

Окружность с центром О2 радиуса r = 1/3 касается боковой стороны АВ в точке F, а основание BC касается в точке N. Тогда r = O2N = NB = BF = O2F = 1/3.

Так как линия центров окружностей проходит через их точку касания, то

Из прямоугольного треугольника ∆O1O2H по теореме Пифагора найдем О2Н:

О2Н 2 = (5/3) 2 – 1 2 = 16/9

AB = AE + FE + BF = r + FE + R

AB = 1/3 + 4/3 + 4/3 = 9/3 = 3

Из прямоугольного треугольника ∆O1O2H найдем тангенс угла α:

В прямоугольную трапецию вписаны две окружности

Рассмотрим прямоугольный треугольник ∆BQC, угол ∠BQC = 2α, тогда внешний угол ∠BCD треугольника ∆BQC равен:

Так как СО2 – биссектриса угла ∠BCD, то ∠О2CN половине угла ∠BCD:

В прямоугольную трапецию вписаны две окружности

Из прямоугольного треугольника ∆O2CN найдем тангенс угла ∠O2CN:

В прямоугольную трапецию вписаны две окружности

Рассмотрим прямоугольный треугольник ∆ADQ, угол ∠AQD = 2α, тогда угол ∠ADQ

Так как DО1 – биссектриса угла ∠ADQ, то ∠О1DM половине угла ∠ADQ:

В прямоугольную трапецию вписаны две окружности

Из прямоугольного треугольника ∆O1DM найдем тангенс угла ∠O1DM:

В прямоугольную трапецию вписаны две окружности

Подставим полученные данные в формулу (1), получим:

В прямоугольную трапецию вписаны две окружности

Ответ: В прямоугольную трапецию вписаны две окружности

Содержание
  1. Трапеция. Свойства трапеции
  2. Свойства трапеции
  3. Свойства и признаки равнобедренной трапеции
  4. Вписанная окружность
  5. Площадь
  6. Две окружности вписанной в трапецию
  7. Трапеция. Формулы, признаки и свойства трапеции
  8. Основные свойства трапеции
  9. Сторона трапеции
  10. Формулы определения длин сторон трапеции:
  11. Средняя линия трапеции
  12. Формулы определения длины средней линии трапеции:
  13. Высота трапеции
  14. Формулы определения длины высоты трапеции:
  15. Диагонали трапеции
  16. Формулы определения длины диагоналей трапеции:
  17. Площадь трапеции
  18. Формулы определения площади трапеции:
  19. Периметр трапеции
  20. Формула определения периметра трапеции:
  21. Окружность описанная вокруг трапеции
  22. Формула определения радиуса описанной вокруг трапеции окружности:
  23. Окружность вписанная в трапецию
  24. Формула определения радиуса вписанной в трапецию окружности
  25. Другие отрезки разносторонней трапеции
  26. Формулы определения длин отрезков проходящих через трапецию:
  27. Трапеция. Свойства трапеции
  28. Свойства трапеции
  29. Свойства и признаки равнобедренной трапеции
  30. Вписанная окружность
  31. Площадь
  32. Трапеция
  33. Элементы трапеции
  34. Виды трапеции

Видео:Геометрия В прямоугольную трапецию вписана окружность. Найдите её радиус, если основания трапецииСкачать

Геометрия В прямоугольную трапецию вписана окружность. Найдите её радиус, если основания трапеции

Трапеция. Свойства трапеции

Трапеция – четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна (а другая пара сторон не параллельна).

В прямоугольную трапецию вписаны две окружности

Параллельные стороны трапеции называются основаниями. Другие две — боковые стороны .
Если боковые стороны равны, трапеция называется равнобедренной .

В прямоугольную трапецию вписаны две окружности

Трапеция, у которой есть прямые углы при боковой стороне, называется прямоугольной .

В прямоугольную трапецию вписаны две окружности

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции .

В прямоугольную трапецию вписаны две окружности

Видео:Две окружности | Резерв досрока ЕГЭ-2019. Задание 16. Профильный уровень | Борис Трушин |Скачать

Две окружности | Резерв досрока ЕГЭ-2019. Задание 16. Профильный уровень | Борис Трушин |

Свойства трапеции

1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

В прямоугольную трапецию вписаны две окружности

2. Биссектриса любого угла трапеции отсекает на её основании (или продолжении) отрезок, равный боковой стороне.

В прямоугольную трапецию вписаны две окружности

3. Треугольники В прямоугольную трапецию вписаны две окружностии В прямоугольную трапецию вписаны две окружности, образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны.

Коэффициент подобия – В прямоугольную трапецию вписаны две окружности

Отношение площадей этих треугольников есть В прямоугольную трапецию вписаны две окружности.

В прямоугольную трапецию вписаны две окружности

4. Треугольники В прямоугольную трапецию вписаны две окружностии В прямоугольную трапецию вписаны две окружности, образованные отрезками диагоналей и боковыми сторонами трапеции, имеют одинаковую площадь.

В прямоугольную трапецию вписаны две окружности

5. В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований трапеции равна сумме её боковых сторон.

В прямоугольную трапецию вписаны две окружности

6. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований и лежит на средней линии.

В прямоугольную трапецию вписаны две окружности

7. Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.

В прямоугольную трапецию вписаны две окружности

8. Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности.

В прямоугольную трапецию вписаны две окружности

Видео:Геометрия В прямоугольную трапецию вписана окружность радиуса 12 см Большая из боковых сторон точкойСкачать

Геометрия В прямоугольную трапецию вписана окружность радиуса 12 см Большая из боковых сторон точкой

Свойства и признаки равнобедренной трапеции

1. В равнобедренной трапеции углы при любом основании равны.

В прямоугольную трапецию вписаны две окружности

2. В равнобедренной трапеции длины диагоналей равны.

3. Если трапецию можно вписать в окружность, то трапеция – равнобедренная.

В прямоугольную трапецию вписаны две окружности

4. Около равнобедренной трапеции можно описать окружность.

5. Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.

В прямоугольную трапецию вписаны две окружности

Видео:Геометрия В прямоугольную трапецию вписана окружность. Точка касания делит большую боковую сторонуСкачать

Геометрия В прямоугольную трапецию вписана окружность. Точка касания делит большую боковую сторону

Вписанная окружность

Если в трапецию вписана окружность с радиусом В прямоугольную трапецию вписаны две окружностии она делит боковую сторону точкой касания на два отрезка — В прямоугольную трапецию вписаны две окружностии В прямоугольную трапецию вписаны две окружности, то В прямоугольную трапецию вписаны две окружности

В прямоугольную трапецию вписаны две окружности

Видео:Геометрия Точка касания окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, делит ее меньшее основаниеСкачать

Геометрия Точка касания окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, делит ее меньшее основание

Площадь

В прямоугольную трапецию вписаны две окружностиили В прямоугольную трапецию вписаны две окружностигде В прямоугольную трапецию вписаны две окружности– средняя линия

В прямоугольную трапецию вписаны две окружности

Смотрите хорошую подборку задач с трапецией (входят в ГИА и часть В ЕГЭ) здесь и здесь.

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

Видео:ОГЭ. Математика. Задание 26 | Прямоугольная трапеция и окружность | Борис Трушин |Скачать

ОГЭ. Математика. Задание 26 | Прямоугольная трапеция и окружность | Борис Трушин |

Две окружности вписанной в трапецию

Видео:Как найти сторону квадрата в который вписаны 2 окружностиСкачать

Как найти сторону квадрата в который вписаны 2 окружности

Трапеция. Формулы, признаки и свойства трапеции

Параллельные стороны называются основами трапеции, а две другие боковыми сторонами

Так же, трапецией называется четырехугольник, у которого одна пара противоположных сторон параллельна, и стороны не равны между собой.

  • Основы трапеции — параллельные стороны
  • Боковые стороны — две другие стороны
  • Средняя линия — отрезок, соединяющий середины боковых сторон.
  • Равнобедренная трапеция — трапеция, у которой боковые стороны равны
  • Прямоугольная трапеция — трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основам
В прямоугольную трапецию вписаны две окружностиВ прямоугольную трапецию вписаны две окружности
Рис.1Рис.2

Видео:Геометрия В острый угол, равный 60, вписаны две окружности, извне касающиеся друг друга. РадиусСкачать

Геометрия В острый угол, равный 60, вписаны две окружности, извне касающиеся друг друга. Радиус

Основные свойства трапеции

AK = KB, AM = MC, BN = ND, CL = LD

3. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме:

m =a + b
2

BC : AD = OC : AO = OB : DO

d 1 2 + d 2 2 = 2 a b + c 2 + d 2

Видео:ЕГЭ Задание 16 Две окружностиСкачать

ЕГЭ Задание 16 Две окружности

Сторона трапеции

Формулы определения длин сторон трапеции:

a = b + h · ( ctg α + ctg β )

b = a — h · ( ctg α + ctg β )

a = b + c· cos α + d· cos β

b = a — c· cos α — d· cos β

4. Формулы боковых сторон через высоту и углы при нижнем основании:

с =hd =h
sin αsin β

Видео:Задание 16 ЕГЭ по математикеСкачать

Задание 16 ЕГЭ по математике

Средняя линия трапеции

Формулы определения длины средней линии трапеции:

1. Формула определения длины средней линии через длины оснований:

m =a + b
2

2. Формула определения длины средней линии через площадь и высоту:

m =S
h

Видео:Геометрия В прямоугольную трапецию вписана окружность. Точка касания делит большую боковую сторонуСкачать

Геометрия В прямоугольную трапецию вписана окружность. Точка касания делит большую боковую сторону

Высота трапеции

Формулы определения длины высоты трапеции:

h = c· sin α = d· sin β

2. Формула высоты через диагонали и углы между ними:

h =sin γ ·d 1 d 2=sin δ ·d 1 d 2
a + ba + b

3. Формула высоты через диагонали, углы между ними и среднюю линию:

h =sin γ ·d 1 d 2=sin δ ·d 1 d 2
2 m2 m

4. Формула высоты трапеции через площадь и длины оснований:

h =2S
a + b

5. Формула высоты трапеции через площадь и длину средней линии:

h =S
m

Видео:Геометрия Задача № 26 Найти радиус вписанной в трапецию окружностиСкачать

Геометрия Задача № 26  Найти радиус вписанной в трапецию окружности

Диагонали трапеции

Формулы определения длины диагоналей трапеции:

d 1 = √ a 2 + d 2 — 2 ad· cos β

d 2 = √ a 2 + c 2 — 2 ac· cos β

2. Формулы диагоналей через четыре стороны:

d 1 =d 2 + ab —a ( d 2 — c 2 )
a — b
d 2 =c 2 + ab —a ( c 2 — d 2 )
a — b

d 1 = √ h 2 + ( a — h · ctg β ) 2 = √ h 2 + ( b + h · ctg α ) 2

d 2 = √ h 2 + ( a — h · ctg α ) 2 = √ h 2 + ( b + h · ctg β ) 2

d 1 = √ c 2 + d 2 + 2 ab — d 2 2

d 2 = √ c 2 + d 2 + 2 ab — d 1 2

Видео:№481. Найдите площадь прямоугольной трапеции, у которой две меньшие стороны равны 6 смСкачать

№481. Найдите площадь прямоугольной трапеции, у которой две меньшие стороны равны 6 см

Площадь трапеции

Формулы определения площади трапеции:

1. Формула площади через основания и высоту:

S =( a + b )· h
2

3. Формула площади через диагонали и угол между ними:

S =d 1 d 2· sin γ=d 1 d 2· sin δ
22

4. Формула площади через четыре стороны:

S =a + bc 2 —(( a — b ) 2 + c 2 — d 2)2
22( a — b )

5. Формула Герона для трапеции

S =a + b√ ( p — a )( p — b )( p — a — c )( p — a — d )
| a — b |
p =a + b + c + d— полупериметр трапеции.
2

Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

Периметр трапеции

Формула определения периметра трапеции:

1. Формула периметра через основания:

Видео:Геометрия 11-3. Трапеции, вписанные в окружность и описанные около окружности. Задача 3Скачать

Геометрия 11-3. Трапеции, вписанные в окружность и описанные около окружности. Задача 3

Окружность описанная вокруг трапеции

Формула определения радиуса описанной вокруг трапеции окружности:

1. Формула радиуса через стороны и диагональ:

R =a·c·d 1
4√ p ( p — a )( p — c )( p — d 1)
p =a + c + d 1
2

a — большее основание

Видео:Планиметрия 27 | mathus.ru | окружность, касающаяся основания трапеции и вписанной в нее окружностиСкачать

Планиметрия 27 | mathus.ru | окружность, касающаяся основания трапеции и вписанной в нее окружности

Окружность вписанная в трапецию

Формула определения радиуса вписанной в трапецию окружности

1. Формула радиуса вписанной окружности через высоту:

r =h
2

Видео:Радиус описанной окружности трапецииСкачать

Радиус описанной окружности трапеции

Другие отрезки разносторонней трапеции

Формулы определения длин отрезков проходящих через трапецию:

1. Формула определения длин отрезков проходящих через трапецию:

KM = NL =bKN = ML =aTO = OQ =a · b
22a + b

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Видео:Задача про трапецию, описанную около окружностиСкачать

Задача про трапецию, описанную около окружности

Трапеция. Свойства трапеции

Трапеция – четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна (а другая пара сторон не параллельна).

В прямоугольную трапецию вписаны две окружности

Параллельные стороны трапеции называются основаниями. Другие две — боковые стороны .
Если боковые стороны равны, трапеция называется равнобедренной .

В прямоугольную трапецию вписаны две окружности

Трапеция, у которой есть прямые углы при боковой стороне, называется прямоугольной .

В прямоугольную трапецию вписаны две окружности

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции .

В прямоугольную трапецию вписаны две окружности

Видео:Геометрия Равнобокая трапеция вписана в окружность, центр которой принадлежит одному из основанияСкачать

Геометрия Равнобокая трапеция вписана в окружность, центр которой принадлежит одному из основания

Свойства трапеции

1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

В прямоугольную трапецию вписаны две окружности

2. Биссектриса любого угла трапеции отсекает на её основании (или продолжении) отрезок, равный боковой стороне.

В прямоугольную трапецию вписаны две окружности

3. Треугольники В прямоугольную трапецию вписаны две окружностии В прямоугольную трапецию вписаны две окружности, образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны.

Коэффициент подобия – В прямоугольную трапецию вписаны две окружности

Отношение площадей этих треугольников есть В прямоугольную трапецию вписаны две окружности.

В прямоугольную трапецию вписаны две окружности

4. Треугольники В прямоугольную трапецию вписаны две окружностии В прямоугольную трапецию вписаны две окружности, образованные отрезками диагоналей и боковыми сторонами трапеции, имеют одинаковую площадь.

В прямоугольную трапецию вписаны две окружности

5. В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований трапеции равна сумме её боковых сторон.

В прямоугольную трапецию вписаны две окружности

6. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований и лежит на средней линии.

В прямоугольную трапецию вписаны две окружности

7. Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.

В прямоугольную трапецию вписаны две окружности

8. Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности.

В прямоугольную трапецию вписаны две окружности

Видео:Простая, но очень противная задача на окружности из ЕГЭ | Планиметрия 83 | mathus.ru #егэ2024Скачать

Простая, но очень противная задача на окружности из ЕГЭ | Планиметрия 83 | mathus.ru #егэ2024

Свойства и признаки равнобедренной трапеции

1. В равнобедренной трапеции углы при любом основании равны.

В прямоугольную трапецию вписаны две окружности

2. В равнобедренной трапеции длины диагоналей равны.

3. Если трапецию можно вписать в окружность, то трапеция – равнобедренная.

В прямоугольную трапецию вписаны две окружности

4. Около равнобедренной трапеции можно описать окружность.

5. Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.

В прямоугольную трапецию вписаны две окружности

Вписанная окружность

Если в трапецию вписана окружность с радиусом В прямоугольную трапецию вписаны две окружностии она делит боковую сторону точкой касания на два отрезка — В прямоугольную трапецию вписаны две окружностии В прямоугольную трапецию вписаны две окружности, то В прямоугольную трапецию вписаны две окружности

В прямоугольную трапецию вписаны две окружности

Площадь

В прямоугольную трапецию вписаны две окружностиили В прямоугольную трапецию вписаны две окружностигде В прямоугольную трапецию вписаны две окружности– средняя линия

В прямоугольную трапецию вписаны две окружности

Смотрите хорошую подборку задач с трапецией (входят в ГИА и часть В ЕГЭ) здесь и здесь.

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

Трапеция

В прямоугольную трапецию вписаны две окружности

Трапеция — это четырехугольник, у которого только две стороны параллельны,
а две другие стороны нет.

Элементы трапеции

В прямоугольную трапецию вписаны две окружности

На рисунке 1 изображена трапеция MNPQ, с боковыми сторонами MN и PQ, с основаниями NP и MQ, а также со средней линией DF.

В трапеции две параллельные стороны называются основаниями. 0дна из параллельных сторон называется верхним основанием, а другая параллельная сторона называется нижним основанием. Но как определить, какая из параллельных сторон нижнее основание, а какая верхнее основание? Существует несколько способов это определить. Во-первых, как вы уже наверно догадались, нижнее основание расположено внизу трапеции, а верхнее основание расположено вверху трапеции. Во-вторых, верхнее основание меньше чем нижнее основание, и наоборот нижнее основание больше верхнего основания. C помощью этих двух способов вы можете
легко определить какое основание нижнее а какое верхнее. NP || MQ, NP — верхнее основание, MQ — нижнее основание.

Кроме оснований в трапеции, есть еще две не параллельные стороны. В трапеции эти две не параллельные стороны называются боковыми сторонами. Боковые стороны расположены сбоку от верхнего и нижнего оснований. MN и PQ — боковые стороны.

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон называется средней линией трапеции. С средней линией трапеции связано несколько важных формул. Например, достаточно знать длину средней трапеции и одну из сторон основания, чтобы найти другое основание. Средняя линия делит две боковые стороны трапеции на две равных части. DF — средняя линия трапеции, MD = DN, QF = FP.

Центром симметрии трапеции называется середина средней линии трапеции. Центр симметрии
является центром вписанной, и центром описанной окружностей.

Виды трапеции

Также существует несколько видов трапеции. Это равнобедренная и прямоугольная трапеции.

В прямоугольную трапецию вписаны две окружности

На рисунке 2 изображена равнобедренная трапеция KLMN, с боковыми сторонами KL и MN, с основаниями LM и KN, а также со средней линией HF.

В равнобедренной трапеции боковые стороны равны, углы при основаниях равны. KL = MN, ∠LKN = ∠MNK, ∠KLM = ∠NML.
Чтобы найти среднюю линию в равнобедренной трапеции достаточно знать только одну из боковых сторон.

В прямоугольную трапецию вписаны две окружности

На рисунке 3 изображена прямоугольная трапеция MNKP, с боковыми сторонами MN и KP, с основаниями NK и MP, а также с прямым углом ∠NMP .

В прямоугольной трапеции у одной из боковых сторон есть прямой угол, или же по другом сказать — только одна боковая сторона перпендикулярна одному из оснований.
∠NMP — прямой угол.

Поделиться или сохранить к себе: