Задание. В прямоугольной трапеции ABCD с прямым углом при вершине А расположены две окружности. Одна из них касается боковых сторон и большего основания AD, вторая – боковых сторон, меньшего основания ВС и первой окружности.
а) Прямая, проходящая через центры окружностей, пересекает основание AD в точке P. Докажите, что AP/PD = sinD.
б) Найдите площадь трапеции, если радиусы окружностей равны 4/3 и 1/3.
Решение:
а) Прямая, проходящая через центры окружностей, пересекает основание AD в точке P. Докажите, что AP/PD = sinD.
Пусть точка Q – точка пересечения продолжений боковых сторон CD и АВ прямоугольной трапеции ABCD. Так как стороны угла ∠AQD являются касательными к окружностям, то прямая QP, проходящая через центры окружностей, является биссектрисой угла ∠AQD и треугольника ∆ AQD.
По свойству биссектрисы треугольника
Так как треугольник ∆ AQD – прямоугольный, то
б) Найдите площадь трапеции, если радиусы окружностей равны 4/3 и 1/3.
Площадь трапеции равна
Окружность с центром О1 радиуса R = 4/3 касается боковой стороны АВ в точке Е, а основание AD касается в точке М. Тогда R = O1E = AE = AM = O1M = 4/3.
Окружность с центром О2 радиуса r = 1/3 касается боковой стороны АВ в точке F, а основание BC касается в точке N. Тогда r = O2N = NB = BF = O2F = 1/3.
Так как линия центров окружностей проходит через их точку касания, то
Из прямоугольного треугольника ∆O1O2H по теореме Пифагора найдем О2Н:
О2Н 2 = (5/3) 2 – 1 2 = 16/9
AB = AE + FE + BF = r + FE + R
AB = 1/3 + 4/3 + 4/3 = 9/3 = 3
Из прямоугольного треугольника ∆O1O2H найдем тангенс угла α:
Рассмотрим прямоугольный треугольник ∆BQC, угол ∠BQC = 2α, тогда внешний угол ∠BCD треугольника ∆BQC равен:
Так как СО2 – биссектриса угла ∠BCD, то ∠О2CN половине угла ∠BCD:
Из прямоугольного треугольника ∆O2CN найдем тангенс угла ∠O2CN:
Рассмотрим прямоугольный треугольник ∆ADQ, угол ∠AQD = 2α, тогда угол ∠ADQ
Так как DО1 – биссектриса угла ∠ADQ, то ∠О1DM половине угла ∠ADQ:
Из прямоугольного треугольника ∆O1DM найдем тангенс угла ∠O1DM:
Подставим полученные данные в формулу (1), получим:
Ответ: 
Видео:Две окружности | Резерв досрока ЕГЭ-2019. Задание 16. Профильный уровень | Борис Трушин |Скачать
Задание №193
Видео:Задание 16 ЕГЭ по математикеСкачать
Условие
В прямоугольной трапеции ABCD c прямым углом А расположены две касающиеся внешним образом окружности. Первая касается боковых сторон и большего основания AD , вторая — боковых сторон и меньшего основания ВС и первой окружности. Прямая проходящая через центры указанных окружностей O_1 и O_2 , пересекает большее основание AD в точке P .
а) Докажите, что frac=sin D .
б) Найдте площадь трапеции, если радиусы окружностей равны frac и frac .
Видео:В прямоугольной трапеции ABCD с прямым углом при вершине A расположены две окружности Одна из них кСкачать
Решение
а) Пусть Q — точка пересечения продолжений боковых сторон трапеции. Точка Q , центры окружностей и точка P лежат на одной прямой, причем QP — биссектриса прямоугольного треугольника AQD .
По свойству биссектрисы треугольника имеем: frac=frac=sin D .
б) Пусть окружность с центром в точке O_ и радиусом R=frac касается боковой стороны AB в точке E , а основания AD в точке M ; окружность с центром в точке O_ и радиусом r=frac касается боковой стороны AB в точке F , а основания BC в точке N . Опустим перпендикуляр O_H из центра меньшей окружности на отрезок O_E . Тогда O_H= O_E-HE= O_E-O_F= R-r= frac-frac= 2 . Так как прямая, соединяющая центры двух окружностей, проходит через точку касания этих окружностей, то O_O_=R+r=frac+frac=3 . Значит, по теореме Пифагора, EF= O_H= sqrt<O_O_^2-O_1H^2>= sqrt .
Пусть angle AQP=angle HO_O_= alpha . Тогда tg alpha= frac= frac и angle BQC=2 alpha, angle BCD=90^+2alpha, angle O_2CN =fracangle BCD=45^+alpha .
Из треугольника O_2CN находим:
Аналогично, angle O_1DM=45^-alpha .
Поскольку AB= AE+EF+FB= R+O_2H+r= frac+sqrt+frac= 3+sqrt ,
получаем: S_= frac(AD+BC)cdot AB= frac(30+8sqrt)cdot (3+sqrt)= 65+27sqrt .
Видео:ЕГЭ Задание 16 Две касающиеся окружностиСкачать
16. Планиметрия
Формат ответа: цифра или несколько цифр, слово или несколько слов. Вопросы на соответствие «буква» — «цифра» должны записываться как несколько цифр. Между словами и цифрами не должно быть пробелов или других знаков.
Примеры ответов: 7 или здесьисейчас или 3514
В треугольнике ABC угол ABC равен 60°. Окружность, вписанная в треугольник, касается стороны AC в точке M.
а) Докажите, что отрезок BM не больше утроенного радиуса вписанной в треугольник окружности.
б) Найдите sin∠BMC, если известно, что отрезок BM в 2,5 раза больше радиуса вписанной в треугольник окружности.
а) Проведем радиусы $OHperp BC$ и $OMperp AC$ с длинной $R.$ Так как центр вписанной окружности находится в точке пересечения биссектрис, то $angle OBH=30^.$ Катет, лежащий против угла в $30^$ равен половине гипотенузы $Rightarrow OB=2OH=2R.$ По неравенству треугольника для $OBM$ имеем $BM < OM+OB=3R.$
б) Запишем теорему косинусов для треугольника $OBM:$
$OB^=OM^-2OMcdot BMcos angle BMO,$
cos$angle BMO=displaystyle frac=0,65.$
Так как $angle OMC=90^,$ то $sin angle BMC=sin (90^+angle BMO)=cos angle BMO=0,65.$
Точка B лежит на отрезке AC. Прямая, проходящая через точку A, касается окружности с диаметром BC в точке M и второй раз пересекает окружность с диаметром AB в точке K. Продолжение отрезка MB пересекает окружность с диаметром AB в точке D.
а) Докажите, что прямые AD и MC параллельны.
б) Найдите площадь треугольника DBC, если AK=3 и MK=12.
а) Треугольники $ABD$ и $BMC$ — прямоугольные, так как опираются на диаметры окружностей. Тогда $AD$ и $CM$ перпендикулярны одной и той же прямой $DM$. Следовательно, $ADparallel MC.$
б) Пусть $O$ — центр окружности с диаметром $AB.$ Тогда отрезок $OM$ перпендикулярен $AM.$
Так как угол $AKB$ — вписанный, опирающийся на диаметр, то отрезок $KB$ перпендикулярен $AM.$ Значит, $ KBparallel OM $ и треугольники $AKB$ и $AOM$ подобны по двум углам:
$displaystyle frac=displaystyle frac=displaystyle frac=displaystyle frac,$
Проведем высоту $BP$ в треугольнике $BOP:$
Рассмотрим треугольники $ACM$ и $DCM.$ Они имеют одинаковые основания $MC$ и высоту $DM,$ а, значит, и равные площадию
Окружность проходит через вершины В и С треугольника АВС и пересекает АВ и АС в точках C1 и В1 соответственно.
а) Докажите, что треугольник АВC подобен треугольнику АВ1С1.
б) Вычислите длину стороны ВС и радиус данной окружности, если ∠ А = 45∘, В1С1 = 6 и площадь треугольника АВ1С1 в восемь раз меньше площади четырёхугольника ВСВ1С1.
a) В треугольниках $ABC$ и $AB_C_$ $angle A$ — общий. $AC$ и $AB$ — секущие, проведениные из одной точки, следовательно, $displaystyle frac<AB_>=displaystyle frac<AC_>.$ Тогда треугольники $ABC$ и $ AB_C_$ подобны по двум сторонам и углу между ними.
б) Отношение площадей подобных фигур равно квадрату линейного отношения соответсвенных элементов данных фигур:
$displaystyle frac<S_<AB_C_>><S_>=left( displaystyle frac<B_C_>right)^=left( displaystyle frac<AC_>right) ^=left( displaystyle frac<AB_>right)^=displaystyle fracRightarrow BC=3B_C_=18.$
По теореме косинусов в треугольнике $ACC_:$
По теореме синусов $ACC_:$
Искомый радиус совпадает с радиусом окружности, описанной около треугольника $BCC_.$ по теореме синусов из треугольника $BCC_:$
В прямоугольной трапеции ABCD с прямым углом при вершине A расположены две окружности. Одна из них касается боковых сторон и большего основания AD, вторая — боковых сторон, меньшего основания BC и первой окружности.
а) Прямая, проходящая через центры окружностей, пересекает основание AD в точке P. Докажите, что $displaystyle frac=sin angle D$.
б) Найдите площадь трапеции, если радиусы окружностей равны $displaystyle frac$ и $displaystyle frac$ .
а) Продолжим стороны $AB$ и $CD$ до пересечения в точки $R$. Окружности вписаны в угол, следовательно, их центры лежат на биссектрисе этого угла. Точка $P$ лежит на одной прямой с центрами окружности, значит, $RP$ — биссектриса треугольника $ARP.$
По теореме о биссектрисе угла треугольника $displaystyle frac=displaystyle frac=sin angle D.$
б) Введем обозначения. Пусть окружность с центром $O_$ и радиусом $displaystyle frac$ касается сторон $AB$ и $AD$ в точках $E$ и $M,$ а окружность в цетре $O_$ и радиусом $displaystyle frac$ касается сторон $AB$ и $BC$ в точках $F$ и $N.$ Проведем перпендикуляр $O_H$ к отрезку $O_E.$ Так как радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной, то $HO_FE$ — прямоугольник, а $AEO_M$ и $BNO_F$ — квадраты. Получим:
$O_H=O_E-HE=O_E-O_F=displaystyle frac-displaystyle frac=1,$
$O_O_=displaystyle frac+displaystyle frac=displaystyle frac.$
По теореме Пифагора из трегугольника $O_O_H:$
Прямые $O_H$ и $EF$ параллельны, значит треугольники $O_O_H$ и $O_RE$ подобны по признаку подобия по двум углам ($angle REO_=angle O_HO_=90^,$ $angle RO_E$ — общий). Тогда обозначим $angle O_O_H=angle O_RE=alpha .$
Из прямоугольного треугольника $O_O_H:$
$tg alpha =displaystyle frac<O_H><O_H>=displaystyle frac.$
Тогда $angle BRC=2alpha ,$ $angle BCD=angle CRB+angle RBC=90^+2alpha $ как внешний угол треугольника и $angle O_CN=displaystyle fracangle BCD=45^+2alpha $ так как центр вписанной в угол окружности лежит на биссектрисе этого угла.
Из треугольника $O_CN$ находим:
Значит, $BC=BN+NC=displaystyle frac+displaystyle frac=displaystyle frac.$
Аналоично, $angle O_DM=tg(45^-alpha )$ и
$AD=AM+MD=displaystyle frac+displaystyle frac=displaystyle frac.$
Так как $AB=AE+EF+FB=displaystyle frac+displaystyle frac+displaystyle frac=3,$ то $S_=displaystyle fraccdot AB=displaystyle frac<displaystyle frac+displaystyle frac>cdot 3=displaystyle frac.$
Диагонали равнобедренной трапеции ABCD с основаниями BC и AD перпендикулярны. Окружность с диаметром AD пересекает боковую сторону CD в точке M, а окружность с диаметром CD пересекает основание AD в точке N. Отрезки AM и CN пересекаются в точке P.
а) Докажите, что в четырёхугольник ABCP можно вписать окружность.
б) Найдите радиус этой окружности, если BC = 7, AD = 23.
а) Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей трапеции. Так как $AD$ и $CD$ — диаметры окружностей, то $angle AMD=angle CND=90^.$ По условию $ACperp BDRightarrow ACperp BO,$ следовательно , $CN,$ $AM$ и $DO$ — высоты треугольноки $ACD.$ Они пересекаются в одной точке $P.$
Трапеция равнобедренная, а ее диагонали перпендикулярны, поэтому треугольник $BOC$ и $AOD$ — равнобедренные и прямоугольные, следовательно, $angle CBD=angle CAD=45^.$ Так как $ADperp CN,$ то $BCperp CN.$ Значит, в прямоугольных треугольниках $BCP$ и $CAN$ углы при основании равны $45^$ и треугольники являются равнобедренными, поэтому $BC=CP$ и $AN=CN.$
Прямая $CO$ является серединным перпендикуляром к отрезку $BD$. Точка $A$ принадлежит этой прямой, поэтому $AB=AP.$
Тогда верно, что $BC+AP=AB+CP$ (то есть суммы противоположных сторон равны), следовательно, в четырехугольнике $ABCP$ можно вписать окружностью.
б) Так как $N$ — основание высоты в равнобедренной трапеции, то
$DN=displaystyle frac=displaystyle frac=8,$
По теореме Пифагора из треугольника $ACN$ $AC=sqrt<CN^+AN^>=23sqrt.$
Аналогично из треугольника $BCP$ $BP=7sqrt,$ из треугольника $CND$
Выразим площадь четырехугольника $ABCP$ двумя способами:
$S_=displaystyle fracACcdot BPcdot sin 90^=displaystyle fracP_cdot r,$
Диагонали AC и BD четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, пересекаются в точке P, причём BC = CD.
а) Докажите, что $displaystyle frac=displaystyle frac$.
б) Найдите площадь треугольника COD, где O — центр окружности, вписанной в треугольник ABD, если дополнительно известно, что BD — диаметр описанной около четырёхугольника ABCD окружности, AB = 5, а BC = 5√2.
а) Вписанные углы $BAC$ и $DAC$ равны, как опирающиеся на равные хорды, значит, $AC$ — биссектриса угла $BAD. $
Вписанные углы $ADB$ и $ACB$ опираются на одну и ту же дугу, поэтому они тоже равны. Значит, треугольники $ADP$ и $ACB$ подобные по двум углам. Следовательно, $displaystyle frac=displaystyle frac.$
б) Точки $A$ и $C$ принадлежит окружности с диаметром $BD$, значит, треугольники $ABD$ и $BCD$ прямоугольные. По условию треугольник $BCD$ равнобедренный, поэтому $BD=BCsqrt=10$ и углы при основании равны $45^.$
Катет $AB$ прямоугольного треугольника $ABD$ равен половине гипотенузы $BD,$ следовательно, $angle ADB=30^,angle ABD=60^.$
Так ка центр окружности, вписанной в треугольник, — точка пересечения его биссектрис, то точка $O$ лежит на биссектрисе $AC$ угла $BAD$ и на биссектрисе угла $ADB.$ Тогда $angle ACD=angle ABD=60^$ (как опирающиеся на одну хорду) и $angle ODB=displaystyle fracangle ADB=15^. $ Получаем, что $angle ODC=angle ODB+angle BDC=15^+45^=60^.$
Значит, треугольник $COD$ — равностронний со стороной $5sqrt.$
В ответе необходимо записать полученное значение пункта б), умноженное на √3, то есть 37,5.
🎥 Видео
ЕГЭ задание 16 Площадь трапецииСкачать
ЕГЭ | №16. Прямоугольная трапеция | Математика от #МансурабыйСкачать
ТРАПЕЦИЯ — Что такое трапеция, Виды Трапеций, Площадь Трапеции // Геометрия 8 классСкачать
🔴 В прямоугольной трапеции ABCD с основаниями ... | ЕГЭ БАЗА 2018 | ЗАДАНИЕ 15 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать
Упражнения на Верх Грудных - от Худших до КосмическихСкачать
КАК найти площадь трапеции? Геометрия 8 класс | МатематикаСкачать
ВСЯ ГЕОМЕТРИЯ ЗА 30 МИНУТСкачать
SOS-ГЕОМЕТРИЯ! Отрезки и углы, смежные и вертикальные углы | Математика TutorOnlineСкачать
№481. Найдите площадь прямоугольной трапеции, у которой две меньшие стороны равны 6 смСкачать
Планиметрия. №7. (16 задача ЕГЭ).Скачать
Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать
Вся геометрия за 45 минут | Геометрия 7-9 классыСкачать
ОГЭ. Математика. Задание 26 | Прямоугольная трапеция и окружность | Борис Трушин |Скачать
№746. Основание AD прямоугольной трапеции ABCD с прямым углом A равно 12 смСкачать
9.56.1. Планиметрия. Гордин Р.К.Скачать
8 класс, 6 урок, ТрапецияСкачать
