В прямоугольник можно вписать окружность или нет

В прямоугольник можно вписать окружность или нет

Какое из следующих утверждений верно?

1) Любой прямоугольник можно вписать в окружность.

2) Все углы ромба равны.

3) Треугольник со сторонами 1, 2, 4 существует.

Проверим каждое из утверждений.

1) « Любой прямоугольник можно вписать в окружность.» — верно, выпуклый четырёхугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда сумма противоположныхх углов этого четырёхугольника равна 180°.

2) «Все углы ромба равны.» — неверно, противоположные углы ромба равны.

3) «Треугольник со сторонами 1, 2, 4 существует.» — неверно, для того, чтобы существовал треугольник, сумма любых его двух сторон должна быть больше третьей стороны.

Видео:В любой прямоугольник можно вписать окружность. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

В любой прямоугольник можно вписать окружность. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Вписанная окружность

В прямоугольник можно вписать окружность или нет

Вписанная окружность — это окружность, которая вписана
в геометрическую фигуру и касается всех его сторон.

Окружность, точно можно вписать в такие геометрические фигуры, как:

  • Треугольник
  • Выпуклый, правильный многоугольник
  • Квадрат
  • Равнобедренная трапеция
  • Ромб

В четырехугольник, можно вписать окружность,
только при условии, что суммы длин
противоположных сторон равны.

Во все вышеперечисленные фигуры
окружность, может быть вписана, только один раз.

Окружность невозможно вписать в прямоугольник
и параллелограмм, так как окружность не будет
соприкасаться со всеми сторонам этих фигур.

Геометрические фигуры, в которые вписана окружность,
называются описанными около окружности.

Описанный треугольник — это треугольник, который описан
около окружности и все три его стороны соприкасаются с окружностью.

Описанный четырехугольник — это четырехугольник, который описан
около окружности и все четыре его стороны соприкасаются с окружностью.

Свойства вписанной окружности

В треугольник

  1. В любой треугольник может быть вписана окружность, причем только один раз.
  2. Центр вписанной окружности — точка пересечения биссектрис треугольника.
  3. Вписанная окружность касается всех сторон треугольника.
  4. Площадь треугольника, в который вписана окружность, можно рассчитать по такой формуле:

[ S = frac(a+b+c) cdot r = pr ]

p — полупериметр четырехугольника.
r — радиус вписанной окружности четырехугольника.

  • Центр окружности вписанной в треугольник равноудален от всех сторон.
  • Точка касания — это точка, в которой соприкасается
    окружность и любая из сторон треугольника.
  • От центра вписанной окружности можно провести
    перпендикуляры к любой точке касания.
  • Вписанная в треугольник окружность делит стороны
    треугольника на 3 пары равных отрезков.
  • Вписанная и описанная около треугольника окружность тесно взаимосвязаны.
    Поэтому, расстояние между центрами этих окружностей можно найти с помощью формулы Эйлера:

    с — расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника.
    R — радиус описанной около треугольника.
    r — радиус вписанной окружности треугольника.

    В четырехугольник

    1. Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность.
    2. Если у четырехугольника суммы длин его противолежащих
      сторон равны, то окружность, может быть, вписана (Теорема Пито).
    3. Центр вписанной окружности и середины двух
      диагоналей лежат на одной прямой (Теорема Ньютона, прямая Ньютона).
    4. Точка пересечения биссектрис — это центр вписанной окружности.
    5. Точка касания — это точка, в которой соприкасается
      окружность и любая из сторон четырехугольника.
    6. Площадь четырехугольника, в который вписана окружность, можно рассчитать по такой формуле:

    [ S = frac(a+b+c+d)cdot r = pr ]

    p — полупериметр четырехугольника.
    r — радиус вписанной окружности четырехугольника.

  • Точка касания вписанной окружности, которая лежит на любой из сторон,
    равноудалены от этой конца и начала этой стороны, то есть от его вершин.
  • Примеры вписанной окружности

    • Треугольник
      В прямоугольник можно вписать окружность или нет
    • Четырехугольник
      В прямоугольник можно вписать окружность или нет
    • Многоугольник
      В прямоугольник можно вписать окружность или нет

    Примеры описанного четырехугольника:
    равнобедренная трапеция, ромб, квадрат.

    Примеры описанного треугольника:
    равносторонний
    , равнобедренный,
    прямоугольный треугольники.

    Верные и неверные утверждения

    1. Радиус вписанной окружности в треугольник и радиус вписанной
      в четырехугольник вычисляется по одной и той же формуле. Верное утверждение.
    2. Любой параллелограмм можно вписать в окружность. Неверное утверждение.
    3. В любой четырехугольник можно вписать окружность. Неверное утверждение.
    4. В любой ромб можно вписать окружность. Верное утверждение.
    5. Центр вписанной окружности треугольника это точка пересечения биссектрис. Верное утверждение.
    6. Окружность вписанная в треугольник касается всех его сторон. Верное утверждение.
    7. Угол вписанный в окружность равен соответствующему центральному
      углу опирающемуся на ту же дугу. Неверное утверждение.
    8. Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник равен
      половине разности суммы катетов и гипотенузы. Верное утверждение.
    9. Вписанные углы опирающиеся на одну и ту же хорду окружности равны. Неверное утверждение.
    10. Вписанная окружность в треугольник имеет в общем
      три общие точки со всеми сторонами треугольника. Верное утверждение.

    Окружность вписанная в угол

    Окружность вписанная в угол — это окружность, которая
    лежит внутри этого угла и касается его сторон.

    Центр окружности, которая вписана в угол,
    расположен на биссектрисе этого угла.

    К центру окружности вписанной в угол, можно провести,
    в общей сложности два перпендикуляра со смежных сторон.

    Длина диаметра, радиуса, хорды, дуги вписанной окружности
    измеряется в км, м, см, мм и других единицах измерения.

    Видео:Если в четырёхугольник можно вписать окружностьСкачать

    Если в четырёхугольник можно вписать окружность

    Прямоугольник. Онлайн калькулятор

    С помощю этого онлайн калькулятора можно найти сторону, периметр, диагональ прямоугольника, радиус описанной вокруг прямоугольника окружности и т.д.. Для нахождения незвестных элементов, введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

    Определение 1. Прямоугольник − это параллелограмм, у которого все углы прямые (Рис.1).

    В прямоугольник можно вписать окружность или нет

    Можно дать и другое определение прямоугольника.

    Определение 2. Прямоугольник − это четырехугольник, у которого все углы прямые.

    Видео:Геометрия Докажите, что если в прямоугольник можно вписать окружность, то этот прямоугольникСкачать

    Геометрия Докажите, что если в прямоугольник можно вписать окружность, то этот прямоугольник

    Свойства прямоугольника

    Так как прямоугольник является параллелограммом, то все свойства параллелограмма верны и для прямоугольника.

    • 1. Стороны прямоугольника являются его высотами.
    • 2. Все углы прямоугольника прямые.
    • 3. Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов его соседних двух сторон.
    • 4. Диагонали прямоугольника равны.
    • 5. Около любого прямоугольника можно описать окружность, при этом диаметр описанной окружности равна диагонали прямоугольника.

    Длиной прямоугольника называется более длинная пара его сторон.

    Шириной прямоугольника называется более короткая пара его сторон.

    Видео:Задача.Окружность и прямоугольник вписаны в квадрат.Скачать

    Задача.Окружность и прямоугольник вписаны в квадрат.

    Диагональ прямоугольника

    Определение 3. Диагональ прямоугольника − это отрезок, соединяющий две несмежные вершины прямоугольника.

    В прямоугольник можно вписать окружность или нет

    На рисунке 2 изображен диагональ d, который является отрезком, соединяющим несмежные вершины A и C. Прямоугольник имеет две диагонали.

    Для вычисления длины диагонали воспользуемся теоремой Пифагора:

    В прямоугольник можно вписать окружность или нет
    В прямоугольник можно вписать окружность или нет.(1)

    Из равенства (1) найдем d:

    В прямоугольник можно вписать окружность или нет.(2)

    Пример 1. Стороны прямоугольника равны В прямоугольник можно вписать окружность или нет. Найти диагональ прямоугольника.

    Решение. Для нахождения диаметра прямоугольника воспользуемся формулой (2). Подставляя В прямоугольник можно вписать окружность или нетв (2), получим:

    В прямоугольник можно вписать окружность или нет

    Ответ: В прямоугольник можно вписать окружность или нет

    Видео:№700. Докажите, что в любой ромб можно вписать окружность.Скачать

    №700. Докажите, что в любой ромб можно вписать окружность.

    Окружность, описанная около прямоугольника

    Определение 4. Окружность называется описанной около прямоугольника, если все вершины прямоугольника находятся на этой окружности (Рис.3):

    В прямоугольник можно вписать окружность или нет

    Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

    Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

    Формула радиуса окружности описанной около прямоугольника

    Выведем формулу вычисления радиуса окружности, описанной около прямоугольника через стороны прямоугольника.

    Нетрудно заметить, что радиус описанной около прямоугольника окружности равна половине диагонали (Рис.3). То есть

    ( small R=frac )(3)

    Подставляя (3) в (2), получим:

    ( small R=frac<large sqrt> )(4)

    Пример 2. Стороны прямоугольника равны В прямоугольник можно вписать окружность или нет. Найти радиус окружности, описанной вокруг прямоугольника.

    Решение. Для нахождения радиуса окружности описанной вокруг прямоугольника воспользуемся формулой (4). Подставляя В прямоугольник можно вписать окружность или нетв (4), получим:

    В прямоугольник можно вписать окружность или нет
    В прямоугольник можно вписать окружность или нет

    Ответ: В прямоугольник можно вписать окружность или нет

    Видео:В любой четырёхугольник можно вписать окружность. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

    В любой четырёхугольник можно вписать окружность. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

    Периметр прямоугольника

    Определение 5. Периметр прямоугольника − это сумма всех его сторон. Обозначается периметр латинской буквой P.

    Периметр прямоугольника вычисляется формулой:

    В прямоугольник можно вписать окружность или нет(5)

    где ( small a ) и ( small b ) − стороны прямоугольника.

    Пример 3. Стороны прямоугольника равны В прямоугольник можно вписать окружность или нет. Найти периметр прямоугольника.

    Решение. Для нахождения периметра прямоугольника воспользуемся формулой (5). Подставляя В прямоугольник можно вписать окружность или нетв (5), получим:

    В прямоугольник можно вписать окружность или нет

    Ответ: В прямоугольник можно вписать окружность или нет

    Видео:В любой ромб можно вписать окружность. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

    В любой ромб можно вписать окружность. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

    Формулы сторон прямоугольника через его диагональ и периметр

    Выведем формулу вычисления сторон прямоугольника, если известны диагональ ( small d ) и периметр ( small P ) прямоугольника. Заметим: чтобы прямоугольник существовал, должно удовлетворяться условие ( small frac P2>d ) (это следует из неравенства треугольника).

    Чтобы найти стороны прямоугольника запишем формулу Пифагора и формулу периметра прямоугольника:

    В прямоугольник можно вписать окружность или нет(6)
    В прямоугольник можно вписать окружность или нет(7)

    Из формулы (7) найдем ( small b ) и подставим в (6):

    В прямоугольник можно вписать окружность или нет(8)
    В прямоугольник можно вписать окружность или нет(9)

    Упростив (4), получим квадратное уравнение относительно неизвестной ( small a ):

    В прямоугольник можно вписать окружность или нет(10)

    Вычислим дискриминант квадратного уравнения (10):

    В прямоугольник можно вписать окружность или нетВ прямоугольник можно вписать окружность или нет(11)

    Сторона прямоугольника вычисляется из следующих формул:

    В прямоугольник можно вписать окружность или нет(12)

    После вычисления ( small a ), сторона ( small b ) вычисляется или из формулы (12), или из (8).

    Примечание. Легко можно доказать, что

    ( frac

    >d ; ⇒ ; P>2cdot d ; ⇒ ) ( small P^2>4 cdot d^2 ; ⇒ ; 4d^2-P^2 2d .) Следовательно выполняется неравенство (*).

    Пример 4. Диагональ прямоугольника равна В прямоугольник можно вписать окружность или нет, а периметр равен В прямоугольник можно вписать окружность или нет. Найти стороны прямоугольника.

    Решение. Для нахождения сторон прямоугольника воспользуемся формулами (11), (12) и (8). Найдем сначала дискриминант ( small D ) из формулы (11). Для этого подставим В прямоугольник можно вписать окружность или нет, В прямоугольник можно вписать окружность или нетв (11):

    В прямоугольник можно вписать окружность или нет

    Подставляя значения В прямоугольник можно вписать окружность или нети В прямоугольник можно вписать окружность или нетв первую формулу (12), получим:

    В прямоугольник можно вписать окружность или нет

    Найдем другую сторону ( small b ) из формулы (8). Подставляя значения В прямоугольник можно вписать окружность или нети В прямоугольник можно вписать окружность или нетв формулу, получим:

    В прямоугольник можно вписать окружность или нет

    Ответ: В прямоугольник можно вписать окружность или нет, В прямоугольник можно вписать окружность или нет

    Видео:SOS-ГЕОМЕТРИЯ! Отрезки и углы, смежные и вертикальные углы | Математика TutorOnlineСкачать

    SOS-ГЕОМЕТРИЯ! Отрезки и углы, смежные и вертикальные углы | Математика TutorOnline

    Признаки прямоугольника

    Признак 1. Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм является прямоугольником.

    Признак 2. Если квадрат диагонали параллелограмма равен сумме квадратов его смежных сторон, то этот параллелограмм является прямоугольником.

    Признак 3. Если углы параллелограмма равны, то этот параллелограмм является прямоугольником.

    📹 Видео

    ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК и ОКРУЖНОСТЬ | ЕГЭ Математика | @matematikajСкачать

    ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК и ОКРУЖНОСТЬ | ЕГЭ Математика | @matematikaj

    Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

    Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

    Как вязать простые плечевые изделия | Творческая средаСкачать

    Как вязать простые плечевые изделия | Творческая среда

    Свойство четырехугольника, в который можно вписать окружностьСкачать

    Свойство четырехугольника, в который можно вписать окружность

    ВСЯ ГЕОМЕТРИЯ ЗА 30 МИНУТСкачать

    ВСЯ ГЕОМЕТРИЯ ЗА 30 МИНУТ

    Строим вписанную в данный треугольник окружность (Задача 2).Скачать

    Строим вписанную в данный треугольник окружность (Задача 2).

    Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать

    Вписанные  и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.

    Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

    Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

    №696. Докажите, что если в параллелограмм можно вписать окружность, то этот параллелограмм — ромб.Скачать

    №696. Докажите, что если в параллелограмм можно вписать окружность, то этот параллелограмм — ромб.

    Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

    Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

    Окружность №16 из ОГЭ. Вписанные и описанные многоугольники. Квадрат и окружность.Скачать

    Окружность №16 из ОГЭ. Вписанные и описанные многоугольники. Квадрат и окружность.
    Поделиться или сохранить к себе: