В верный треугольник со стороной а вписана окружность. Найдите ее радиус.
- Тер-Агапова Лилия
- Алгебра 2019-06-25 08:38:07 131 1
Как знаменито, центр окружности, вписанной в треугольник, лежит на скрещении биссектрис. Так как наш треугольник равносторонний, то медианы и биссектрисы совпадают, а значит центр окружности разделяет каждую из их в отношении 2:1. Отсюда делаем вывод, что радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности равен трети медианы этого треугольника.
Найдем медиану. Так как треугольник равносторонний, то все углы одинаковы 60. Получаем, что синус хоть какого из углов равен 3/2.
В правильный треугольник со стороной a
В этой публикации для вас очередная задача по планиметрии. Она относится к заданиям повышенной сложности (профильный уровень). Но, как вы увидите, никакой особой трудности на самом деле процесс решения не представляет. Такую задачу можно считать подарком на экзамене. Итак, приступим!
В правильный треугольник со стороной «a» вписан круг. В этот круг вписан правильный треугольник, в который вписан круг и так далее.
а) Доказать, что площади кругов образуют геометрическую прогрессию.
б) Найдите сумму площадей всех кругов.
*Справка! Что такое геометрическая прогрессия? Это такая последовательность, когда каждый следующий её член равен предыдущему умноженному на одно и тоже число. Простой пример: 3, 6, 12, 24, 48 …. Предыдущий член последовательности умножен на 2 и получен следующий. Число «2» называется знаменателем геометрической прогрессии.
а) Построим правильный треугольник, впишем окружность, в неё впишем треугольник и в него ещё окружность (на этом остановимся):
Давайте назовём окружности (от большей к меньшей) просто «первая» и «вторая». Отметим, что радиус первой (большей) окружности будет вдвое больше радиуса второй (в прямоугольном треугольник катет лежащий против угла 30 градусов равен половине гипотенузы).
Что получается с площадями окружностей? Имеем:
То есть площадь второй окружности в четыре раза меньше площади первой. Если далее рассматривать вписанные окружности относительно друг друга, то получим такую же связь (зависимость) их площадей относительно друг друга, то есть площадь каждой последующей будет в 4 раза меньше площади предыдущей. Запишем подробнее:
И так далее. В общем виде получается:
*Общая формула геометрической прогрессии имеет вид:
Таким образом, мы мы получили геометрическую прогрессию. Знаменатель её равен ¼. Доказано!
б) Формула бесконечной геометрической прогрессии имеет вид:
Значит сумма площадей всех кругов будет равна:
Теперь выразим радиус первой окружности через сторону треугольника равную «а». Имеем (если сторона равна «а», то половина стороны равна 0,5а):
Таким образом, получим: 
Второй подход к решению.
а) Так как радиусы соседних окружностей отличаются в два раза, то получается что коэффициент подобия равен 0,5 (окружности всегда подобны). Можем записать:
Далее для каждой следующей вписанной окружности:
И так далее. Получили, что каждый последующий член прогрессии равен произведению предыдущего и одной четвёртой. В общем виде получается:
Это есть геометрическая прогрессия.
б) Теперь вычислим сумму площадей кругов. Пусть
Известно, что в равностороннем треугольнике радиус вписанной окружности равен трети его высоты, то есть: 
Значит площадь круга будет равна: 
Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле: 
В нашем случае: 
Нам необходимо найти сумму площадей всех кругов. Их будет бесконечное число. Теперь представим, что n стремится к бесконечности. Получается, что выражение стоящее в числителе (в скобках) будет стремиться к минус единице, а весь числитель будет стремиться к величине равной:
Таким образом, сумма площадей всех кругов будет равна:
Материал разработан совместно с Евгением Масловым, репетитором по математике (учебный центр «Методист» город Челябинск).
В равносторонний треугольник со стороной а вписана окружность и около него описана окружность. Найдите площадь кольца, ограниченного этими окружностями.
Ваш ответ
Похожие вопросы
- Все категории
- экономические 43,282
- гуманитарные 33,619
- юридические 17,900
- школьный раздел 607,044
- разное 16,829
Популярное на сайте:
Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.
Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.
Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.
Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.