В правильный треугольник со стороной равной а вписана окружность

В правильный треугольник со стороной а вписана окружность. Найдите ее радиус.

В верный треугольник со стороной а вписана окружность. Найдите ее радиус.

  • Тер-Агапова Лилия
  • Алгебра 2019-06-25 08:38:07 131 1

В правильный треугольник со стороной равной а вписана окружность

Как знаменито, центр окружности, вписанной в треугольник, лежит на скрещении биссектрис. Так как наш треугольник равносторонний, то медианы и биссектрисы совпадают, а значит центр окружности разделяет каждую из их в отношении 2:1. Отсюда делаем вывод, что радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности равен трети медианы этого треугольника.

Найдем медиану. Так как треугольник равносторонний, то все углы одинаковы 60. Получаем, что синус хоть какого из углов равен 3/2.

Видео:Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.Скачать

Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.

В правильный треугольник со стороной a

В правильный треугольник со стороной равной а вписана окружность

В этой публикации для вас очередная задача по планиметрии. Она относится к заданиям повышенной сложности (профильный уровень). Но, как вы увидите, никакой особой трудности на самом деле процесс решения не представляет. Такую задачу можно считать подарком на экзамене. Итак, приступим!

В правильный треугольник со стороной равной а вписана окружность

В правильный треугольник со стороной «a» вписан круг. В этот круг вписан правильный треугольник, в который вписан круг и так далее.
а) Доказать, что площади кругов образуют геометрическую прогрессию.
б) Найдите сумму площадей всех кругов.

*Справка! Что такое геометрическая прогрессия? Это такая последовательность, когда каждый следующий её член равен предыдущему умноженному на одно и тоже число. Простой пример: 3, 6, 12, 24, 48 …. Предыдущий член последовательности умножен на 2 и получен следующий. Число «2» называется знаменателем геометрической прогрессии.

а) Построим правильный треугольник, впишем окружность, в неё впишем треугольник и в него ещё окружность (на этом остановимся):

В правильный треугольник со стороной равной а вписана окружность

Давайте назовём окружности (от большей к меньшей) просто «первая» и «вторая». Отметим, что радиус первой (большей) окружности будет вдвое больше радиуса второй (в прямоугольном треугольник катет лежащий против угла 30 градусов равен половине гипотенузы).

Что получается с площадями окружностей? Имеем:

В правильный треугольник со стороной равной а вписана окружность

То есть площадь второй окружности в четыре раза меньше площади первой. Если далее рассматривать вписанные окружности относительно друг друга, то получим такую же связь (зависимость) их площадей относительно друг друга, то есть площадь каждой последующей будет в 4 раза меньше площади предыдущей. Запишем подробнее:

В правильный треугольник со стороной равной а вписана окружность

И так далее. В общем виде получается:

В правильный треугольник со стороной равной а вписана окружность

*Общая формула геометрической прогрессии имеет вид:

В правильный треугольник со стороной равной а вписана окружность

Таким образом, мы мы получили геометрическую прогрессию. Знаменатель её равен ¼. Доказано!

б) Формула бесконечной геометрической прогрессии имеет вид:

В правильный треугольник со стороной равной а вписана окружность

Значит сумма площадей всех кругов будет равна:

В правильный треугольник со стороной равной а вписана окружность

Теперь выразим радиус первой окружности через сторону треугольника равную «а». Имеем (если сторона равна «а», то половина стороны равна 0,5а):

В правильный треугольник со стороной равной а вписана окружность

В правильный треугольник со стороной равной а вписана окружность

Таким образом, получим: В правильный треугольник со стороной равной а вписана окружность

Второй подход к решению.

а) Так как радиусы соседних окружностей отличаются в два раза, то получается что коэффициент подобия равен 0,5 (окружности всегда подобны). Можем записать:

В правильный треугольник со стороной равной а вписана окружность

Далее для каждой следующей вписанной окружности:

В правильный треугольник со стороной равной а вписана окружность

И так далее. Получили, что каждый последующий член прогрессии равен произведению предыдущего и одной четвёртой. В общем виде получается:

В правильный треугольник со стороной равной а вписана окружность

Это есть геометрическая прогрессия.

б) Теперь вычислим сумму площадей кругов. Пусть

В правильный треугольник со стороной равной а вписана окружность

Известно, что в равностороннем треугольнике радиус вписанной окружности равен трети его высоты, то есть: В правильный треугольник со стороной равной а вписана окружность

Значит площадь круга будет равна: В правильный треугольник со стороной равной а вписана окружность

Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле: В правильный треугольник со стороной равной а вписана окружность

В нашем случае: В правильный треугольник со стороной равной а вписана окружность

Нам необходимо найти сумму площадей всех кругов. Их будет бесконечное число. Теперь представим, что n стремится к бесконечности. Получается, что выражение стоящее в числителе (в скобках) будет стремиться к минус единице, а весь числитель будет стремиться к величине равной:

В правильный треугольник со стороной равной а вписана окружность

Таким образом, сумма площадей всех кругов будет равна:

В правильный треугольник со стороной равной а вписана окружность

Материал разработан совместно с Евгением Масловым, репетитором по математике (учебный центр «Методист» город Челябинск).

Видео:Задание 16 ОГЭ по математике. Окружность вписана в равносторонний треугольник.Скачать

Задание 16 ОГЭ по математике. Окружность вписана в  равносторонний  треугольник.

В равносторонний треугольник со стороной а вписана окружность и около него описана окружность. Найдите площадь кольца, ограниченного этими окружностями.

Видео:Геометрия В правильный треугольник со стороной, равной a, вписана окружность, в которую вписанСкачать

Геометрия В правильный треугольник со стороной, равной a, вписана окружность, в которую вписан

Ваш ответ

Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

Похожие вопросы

  • Все категории
  • экономические 43,282
  • гуманитарные 33,619
  • юридические 17,900
  • школьный раздел 607,044
  • разное 16,829

Популярное на сайте:

Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.

Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.

Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.

Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.

📺 Видео

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Задача 6 №27909 ЕГЭ по математике. Урок 129Скачать

Задача 6 №27909 ЕГЭ по математике. Урок 129

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Геометрия В правильный треугольник вписана окружность и около него описана окружность Найти площадьСкачать

Геометрия В правильный треугольник вписана окружность и около него описана окружность Найти площадь

№1117. Найдите площадь круга, вписанного: а) в равносторонний треугольник со стороной а;Скачать

№1117. Найдите площадь круга, вписанного: а) в равносторонний треугольник со стороной а;

Окружность вписана в равносторонний треугольник, найти радиусСкачать

Окружность вписана в равносторонний треугольник, найти радиус

Шестнадцатое задание ОГЭ по математике (1) #огэ #огэ2023 #огэматематика #огэпоматематике #математикаСкачать

Шестнадцатое задание ОГЭ по математике (1) #огэ #огэ2023 #огэматематика #огэпоматематике #математика

Задача 6 №27917 ЕГЭ по математике. Урок 134Скачать

Задача 6 №27917 ЕГЭ по математике. Урок 134

Геометрия. ОГЭ по математике. Задание 16Скачать

Геометрия. ОГЭ по математике. Задание 16

Задача 6 №27624 ЕГЭ по математике. Урок 71Скачать

Задача 6 №27624 ЕГЭ по математике. Урок 71

№1104. Найдите длину окружности, описанной около: а) правильного треугольника со стороной аСкачать

№1104. Найдите длину окружности, описанной около: а) правильного треугольника со стороной а

Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Задача 6 №27910 ЕГЭ по математике. Урок 130Скачать

Задача 6 №27910 ЕГЭ по математике. Урок 130

ЕГЭ профиль #3 / Радиус описанной окружности / Равносторонний треугольник / решу егэСкачать

ЕГЭ профиль #3 / Радиус описанной окружности / Равносторонний треугольник / решу егэ

ОГЭ ЗАДАНИЕ 16 РАЗДЕЛ ГЕОМЕТРИЯ ПРАВИЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК И ОКРУЖНОСТЬСкачать

ОГЭ ЗАДАНИЕ 16 РАЗДЕЛ ГЕОМЕТРИЯ ПРАВИЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК И ОКРУЖНОСТЬ
Поделиться или сохранить к себе: