В правильной треугольной пирамиде радиус описанной окружности равен 6 см (6 видео)

В правильной четырехугольной пирамиде радиус описанной около основания окружности равен 6 см. Боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 60°. Вычислите площадь сферы, описанной около пирамиды.

Содержание

Ваш ответ
решение вопроса
Похожие вопросы
Нахождение радиуса шара (сферы), вписанного в правильную пирамиду
Формулы расчета радиуса шара (сферы)
Правильная треугольная пирамида
Правильная четырехугольная пирамида
Правильная шестиугольная пирамида
В правильной треугольной пирамиде радиус описанной окружности равен 6 см
Определение
Свойства правильной треугольной пирамиды:
Формулы для правильной треугольной пирамиды
Тетраэдр
🌟 Видео

Видео:Самый сложный пример 5 задание проф. ЕГЭ (часть III)Скачать

Ваш ответ

Видео:Задача 6 №27926 ЕГЭ по математике. Урок 141Скачать

решение вопроса

Видео:№259. В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна 6 см, а угол наклона боковойСкачать

Нахождение радиуса шара (сферы), вписанного в правильную пирамиду

В данной публикации представлены формулы, с помощью которых можно найти радиус шара (сферы), вписанного в правильную пирамиду: треугольную, четырехугольную, шестиугольную и тетраэдр.

Видео:Задача 6 №27913 ЕГЭ по математике. Урок 131Скачать

Формулы расчета радиуса шара (сферы)

Приведенная ниже информация применима только к правильным пирамидам. Формула для нахождения радиуса зависит от вида фигуры, рассмотрим самые распространенные варианты.

Правильная треугольная пирамида

Если известны значения этих величин, то найти радиус (r) вписанного шара/сферы можно по формуле:

Частный случай правильной треугольной пирамиды – это правильный тетраэдр. Для него формула нахождения радиуса выглядит следующим образом:

Правильная четырехугольная пирамида

a – ребро основания пирамиды, т.е. AB, BC, CD и AD;
EF – высота пирамиды (h).

Радиус (r) вписанного шара/сферы рассчитывается так:

Правильная шестиугольная пирамида

a – ребро основания пирамиды, т.е. AB, BC, CD, DE, EF, AF;
GL – высота пирамиды (h).

Радиус (r) вписанного шара/сферы вычисляется по формуле:

Видео:Все Задания 3 ЕГЭ 2024 ПРОФИЛЬ из Банка ФИПИ (Математика Школа Пифагора)Скачать

В правильной треугольной пирамиде радиус описанной окружности равен 6 см

Учебный курс

Решаем задачи по геометрии

В этом уроке приведены определение и свойства правильной треугольной пирамиды и ее частного случая — тетраэдра (см. ниже). Ссылки на примеры решения задач приведены в конце урока.

Видео:В Правильн треугольной пирамиде радиус Описанной окружности равен 4 а высота пирамиды 2 корня из 3Скачать

Определение

Правильная треугольная пирамида — это пирамида, основанием которой является правильный треугольник, а вершина проецируется в центр основания.

На рисунке обозначены:
ABC — Основание пирамиды
OS — Высота
KS — Апофема
OK — радиус окружности, вписанной в основание
AO — радиус окружности, описанной вокруг основания правильной треугольной пирамиды
SKO — двугранный угол между основанием и гранью пирамиды (в правильной пирамиде они равны)

Важно. В правильной треугольной пирамиде длина ребра (на рисунке AS, BS, CS ) может быть не равна длине стороны основания (на рисунке AB, AC, BC). Если длина ребра правильной треугольной пирамиды равна длине стороны основания, то такая пирамида называется тетраэдром (см. ниже).

Видео:Задача 6 №27932 ЕГЭ по математике. Урок 146Скачать

Свойства правильной треугольной пирамиды:

боковые ребра правильной пирамиды равны
все боковые грани правильной пирамиды являются равнобедренными треугольниками
в правильную треугольную пирамиду можно как вписать, так и описать вокруг неё сферу
если центры вписанной и описанной вокруг правильной треугольной пирамиды, сферы совпадают, то сумма плоских углов при вершине пирамиды равна π (180 градусов) , а каждый из них соответственно равен π / 3 (пи делить на 3 или 60 градусов ).
площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему
вершина пирамиды проецируется на основание в центр правильного равностороннего треугольника,, который является центром вписанной окружности и точкой пересечения медиан

Формулы для правильной треугольной пирамиды

Формула объема правильной треугольной пирамиды:

V — объем правильной пирамиды, имеющей в основании правильный (равносторонний) треугольник
h — высота пирамиды
a — длина стороны основания пирамиды
R — радиус описанной окружности
r — радиус вписанной окружности

Поскольку правильная треугольная пирамида является частным случаем правильной пирамиды, то формулы, которые верны для правильной пирамиды, верны и для правильной треугольной — см. формулы для правильной пирамиды.

Примеры решения задач:

Видео:Задача 6 №27900 ЕГЭ по математике. Урок 128Скачать

Тетраэдр

Частным случаем правильной треугольной пирамиды является тетраэдр.

Тетраэдр — это правильный многогранник (правильная треугольная пирамида) у которой все грани являются правильными треугольниками.

Все грани равны
4 грани, 4 вершины и 6 ребер
Все двугранные углы при рёбрах и все трёхгранные углы при вершинах равны

Медиана тетраэдра — это отрезок, соединяющий вершину с точкой пересечения медиан противоположной грани (медиан равностороннего треугольника, противолежащего вершине)

Бимедиана тетраэдра — это отрезок, соединяющий середины скрещивающихся рёбер (соединяющий середины сторон треугольника, являющегося одной из граней тетраэдра)

Высота тетраэдра — это отрезок, соединяющий вершину с точкой противоположной грани и перпендикулярный этой грани (то есть является высотой, проведенной от любой грани, также совпадает с центром описанной окружности).

Тетраэдр обладает следующими свойствами: