В правильной пирамиде высота проходит через центр окружности

Рис.3 Теорема. Окружность, вписанная в треугольник.

Видео:№246. Высота треугольной пирамиды равна 40 см, а высота каждой боковой грани, проведеннаяСкачать

4.Геометрическое место точек

Геометрическое место точек это фигура, которая представляет собой совокупность точек на плоскости, подчиняющихся определенному закону или обладающих определенным свойством.

Теорема. Геометрическим местом точек называется прямая, все точки которой равноудалены от двух данных точек, перпендикулярная отрезку, соединяющему эти точки и проходящая через его середину.

Доказательство. Пусть дан отрезок АС. Прямая А проходит через середину этого отрезка и перпендикулярна ему.(Рис. 4).

Тогда треугольники Δ АМВ и Δ СМВ равны. Так как сторона ВМ у них обшая, а стороны АМ и МС равны по условию. Следовательно точка В равноудалена от точек А и С.
Возьмем другую точку, например D, не лежащую на прямой а. Тогда сторона MD не принадлежит прямой а. А следовательно, углы AMD и DMC не равны т.к. не равны треугольники. Данное утверждение основано на том, что через точку, лежащую на прямой, можно провести только одну перпендикулярную ей прямую. И следовательно, расстояния от точки D до точек А и С не равны. Поэтому, для того чтобы расстояния от некой точки Х до двух данных точек были равны, необходимо чтобы она лежала на прямой а, которая перпендикулярна отрезку, соединяющего эти точки, и которая проходит через его середину.

Рис.4 Теорема. Геометрическое место точек.

Рис.5 Задача. Дана окружность с центром О.

Пример 2

Докажите, что касательная к окружности не имеет с ней других общих точек, кроме точки касания. (Рис.6)

Доказательство:

Пусть дана окружность с центром в точке О. И прямая а, которая касается окружности в точке А. Допустим, что прямая а имеет еще одну точку касаная — точку В. Тогда радиус окружности, проведенный к точкам А и В образует угол с прямой а равный 90°.

Таким образом, в равнобедренном треугольнике АОВ углы при вершинах А и В равны 90°. А это невозможно. Следовательно, мы пришли к противоречию и прямая а не может касаться окружности в двух точках.

Рис.6 Задача. Касательная к окружности.

Пример 3

Точки А,В,С лежат на одной прямой, а точка О лежит вне этой прямой. Докажите, что треугольники АОВ и ВОС не могут быть равнобедренными с основаниями АВ и ВС. (Рис.7)

Доказательство:

Допустим, что треугольники АОВ и ВОС равнобедренные с основаниями АВ и ВС. Тогда Стороны АО, ВО и СО равны. Отсюда следует, что углы ОАВ, АВО, ОВС и ОСВ равны. И ∠АВО = ∠ОВС = 90°, так как эти углы являются смежными, а их сумма равна 180°.

Таким образом, в равнобедренных треугольниках АОВ и ВОС углы при вершинах А и С равны 90°. А это невозможно, потому, что тогда стороны АО, ВО и СО были бы параллельны, так как они перпендикулярны одной прямой АС. Следовательно, мы пришли к противоречию, и треугольники АОВ и ВОС не могут быть равнобедренными с основаниями АВ и ВС.

Рис.7 Задача. Даны три точки на прямой.

Пример 4

Окружности с центрами О и О₁ пересекаются в точках А и В. Докажите, что прямая АВ перпендикулярна прямой ОО₁ (Рис.8)

Доказательство:

Так как окружности пересекаются в точках А и В, то эти две точки принадлежат обеим окружностям. Следовательно, отрезок ОА = ОВ, как радиусы окружности с центром в точке О. А отрезок О₁А = О₁В, как радиусы окружности с центром в точке О₁.

Таким образом, треугольники ОАО₁ и ОВО₁ равны по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам). А следовательно отрезки АС и ВС равны. И прямая ОО₁ является геометрическим местом точек для двух данных точек А и В. Т.е. любая точка прямой ОО₁ равноудалена от двух данных точек А и В. Следовательно, треугольники ОАС и ОВС равны, также как и треугольники АСО₁ и ВСО₁ по трем сторонам. А отсюда следует равенство углов при вершине С. Т.е. ∠ОСА = ∠ОСВ = ∠АСО₁ = ∠ВСО₁ = 90°.

Следовательно, можно сделать вывод, что прямая АВ перпендикулярна прямой ОО₁.

Рис.8 Задача. Окружности с центрами О и О₁.

Пример 5

Отрезок ВС пересекает прямую а в точке О. Расстояние от точек В и С до прямой а равны. Докажите, что точка О является серединой отрезка ВС (Рис.9)

Доказательство:

По условию задачи, расстояния от точек В и С до прямой а равны. Т.е. РС = BQ. Так как расстояние от точки до прямой представляет собой перпендикуляр, то два треугольника РОС и ВОQ, образованные двумя пересекающимися прямыми ВС и а, и перпендикулярами, опущенными на одну из них, равны по второму признаку равенства треугольников ( по стороне и двум прилегающим к ней углам: РС = BQ, углы при вершинах В и С равны как внутренние накрест лежащие, а углы при вершинах Р и Q прямые).

Из равенства треугольников РОС и ВОQ следует, что ВО = ОС.

Рис.9 Задача. Отрезок ВС пересекает прямую а .

Видео:11 класс. Геометрия. Объём пирамиды. 28.04.2020.Скачать

Пирамида

Определение

Пирамида – это многогранник, составленный из многоугольника (A_1A_2. A_n) и (n) треугольников с общей вершиной (P) (не лежащей в плоскости многоугольника) и противолежащими ей сторонами, совпадающими со сторонами многоугольника.
Обозначение: (PA_1A_2. A_n) .
Пример: пятиугольная пирамида (PA_1A_2A_3A_4A_5) .

Треугольники (PA_1A_2, PA_2A_3) и т.д. называются боковыми гранями пирамиды, отрезки (PA_1, PA_2) и т.д. – боковыми ребрами, многоугольник (A_1A_2A_3A_4A_5) – основанием, точка (P) – вершиной.

Высота пирамиды – это перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания.

Пирамида, в основании которой лежит треугольник, называется тетраэдром.

Пирамида называется правильной, если в ее основании лежит правильный многоугольник и выполнено одно из условий:

((a)) боковые ребра пирамиды равны;

((b)) высота пирамиды проходит через центр описанной около основания окружности;

((c)) боковые ребра наклонены к плоскости основания под одинаковым углом.

((d)) боковые грани наклонены к плоскости основания под одинаковым углом.

Правильный тетраэдр – это треугольная пирамида, все грани которой – равные равносторонние треугольники.

Теорема

Условия ((a), (b), (c), (d)) эквивалентны.

Доказательство

Проведем высоту пирамиды (PH) . Пусть (alpha) – плоскость основания пирамиды.

1) Докажем, что из ((a)) следует ((b)) . Пусть (PA_1=PA_2=PA_3=. =PA_n) .

Т.к. (PHperp alpha) , то (PH) перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, значит, треугольники (PA_1H, PA_2H, PA_3H. PA_nH) – прямоугольные. Значит, эти треугольники равны по общему катету (PH) и гипотенузам (PA_1=PA_2=PA_3=. =PA_n) . Значит, (A_1H=A_2H=. =A_nH) . Значит, точки (A_1, A_2, . A_n) находятся на одинаковом расстоянии от точки (H) , следовательно, лежат на одной окружности с радиусом (A_1H) . Эта окружность по определению и есть описанная около многоугольника (A_1A_2. A_n) .

2) Докажем, что из ((b)) следует ((c)) .

Аналогично первому пункту треугольники (PA_1H, PA_2H, PA_3H. PA_nH) прямоугольные и равны по двум катетам. Значит, равны и их углы, следовательно, (angle PA_1H=angle PA_2H=. =angle PA_nH) .

3) Докажем, что из ((c)) следует ((a)) .

Аналогично первому пункту треугольники (PA_1H, PA_2H, PA_3H. PA_nH) прямоугольные и по катету и острому углу. Значит, равны и их гипотенузы, то есть (PA_1=PA_2=PA_3=. =PA_n) .

4) Докажем, что из ((b)) следует ((d)) .

Т.к. в правильном многоугольнике совпадают центры описанной и вписанной окружности (вообще говоря, эта точка называется центром правильного многоугольника), то (H) – центр вписанной окружности. Проведем перпендикуляры из точки (H) на стороны основания: (HK_1, HK_2) и т.д. Это – радиусы вписанной окружности (по определению). Тогда по ТТП ( (PH) – перпендикуляр на плоскость, (HK_1, HK_2) и т.д. – проекции, перпендикулярные сторонам) наклонные (PK_1, PK_2) и т.д. перпендикулярны сторонам (A_1A_2, A_2A_3) и т.д. соответственно. Значит, по определению (angle PK_1H, angle PK_2H) равны углам между боковыми гранями и основанием. Т.к. треугольники (PK_1H, PK_2H, . ) равны (как прямоугольные по двум катетам), то и углы (angle PK_1H, angle PK_2H, . ) равны.

5) Докажем, что из ((d)) следует ((b)) .

Аналогично четвертому пункту треугольники (PK_1H, PK_2H, . ) равны (как прямоугольные по катету и острому углу), значит, равны отрезки (HK_1=HK_2=. =HK_n) . Значит, по определению, (H) – центр вписанной в основание окружности. Но т.к. у правильных многоугольников центры вписанной и описанной окружности совпадают, то (H) – центр описанной окружности. Чтд.

Следствие

Боковые грани правильной пирамиды – равные равнобедренные треугольники.

Определение

Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой.
Апофемы всех боковых граней правильной пирамиды равны между собой и являются также медианами и биссектрисами.

Важные замечания

1. Высота правильной треугольной пирамиды падает в точку пересечения высот (или биссектрис, или медиан) основания (основание – правильный треугольник).

2. Высота правильной четырехугольной пирамиды падает в точку пересечения диагоналей основания (основание – квадрат).

3. Высота правильной шестиугольной пирамиды падает в точку пересечения диагоналей основания (основание – правильный шестиугольник).

4. Высота пирамиды перпендикулярна любой прямой, лежащей в основании.

Определение

Пирамида называется прямоугольной, если одно ее боковое ребро перпендикулярно плоскости основания.

Важные замечания

1. У прямоугольной пирамиды ребро, перпендикулярное основанию, является высотой пирамиды. То есть (SR) – высота.

2. Т.к. (SR) перпендикулярно любой прямой из основания, то (triangle SRM, triangle SRP) – прямоугольные треугольники.

3. Треугольники (triangle SRN, triangle SRK) – тоже прямоугольные.
То есть любой треугольник, образованный этим ребром и диагональю, выходящей из вершины этого ребра, лежащей в основании, будет прямоугольным.

Теорема

Объем пирамиды равен трети произведения площади основания на высоту пирамиды: [V_<text>=dfrac13 S_<text>cdot h]

Следствия

Пусть (a) – сторона основания, (h) – высота пирамиды.

1. Объем правильной треугольной пирамиды равен (V_<text>=dfraca^2h) ,

2. Объем правильной четырехугольной пирамиды равен (V_<text>=dfrac13a^2h) .

3. Объем правильной шестиугольной пирамиды равен (V_<text>=dfraca^2h) .

4. Объем правильного тетраэдра равен (V_<text>=dfraca^3) .

Теорема

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна полупроизведению периметра основания на апофему.

Определение

Рассмотрим произвольную пирамиду (PA_1A_2A_3. A_n) . Проведем через некоторую точку, лежащую на боковом ребре пирамиды, плоскость параллельно основанию пирамиды. Данная плоскость разобьет пирамиду на два многогранника, один из которых – пирамида ( (PB_1B_2. B_n) ), а другой называется усеченная пирамида ( (A_1A_2. A_nB_1B_2. B_n) ).

Усеченная пирамида имеет два основания – многоугольники (A_1A_2. A_n) и (B_1B_2. B_n) , которые подобны друг другу.

Высота усеченной пирамиды – это перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки верхнего основания к плоскости нижнего основания.

Важные замечания

1. Все боковые грани усеченной пирамиды – трапеции.

2. Отрезок, соединяющий центры оснований правильной усеченной пирамиды (то есть пирамиды, полученной сечением правильной пирамиды), является высотой.

Видео:№247. Двугранные углы при основании пирамиды равны. Докажите, что: а) высота пирамидыСкачать

Инфорационный блок по теме проекта «Пирамида»

Инфорационный блок по теме проекта «Пирамида»

Выполнили: Хухоров Александр,11б класс

Андрийченко Александр, 11б класс

Определение пирамиды и ее элементов:

Пирамидой называется многогранник, составленный из n-угольника А1А2…Аn и n треугольников РА1А2, РА2А3,…..РАnА1.

А1А2…Аn- основание пирамиды.

Треугольники РА1А2, РА2А3,…, РАnА1- боковые грани пирамиды.

Р — вершина пирамиды.

РА1, РА2, …, РАn — боковые ребра пирамиды.

Замечание: Треугольную пирамиду иначе называют тетраэдром.

Обозначение. При обозначении пирамиды первой указывают ее вершину, а затем – многоугольник, лежащий в основании: РА1А2…Аn.

Высотой пирамиды называют перпендикуляр, проведенный из ее вершины к плоскости основания.

РH –высота пирамиды.

Определение площади полной и боковой поверхности пирамиды.

Площадью полной поверхности пирамиды называется сумма площадей всех ее граней.

Площадью боковой поверхности пирамиды называется сумма площадей ее боковых граней.

Sполн. = Sбок. + Sосн., где

Sполн.- площадь полной поверхности пирамиды

Sбок – площадь боковой поверхности пирамиды

Sосн.- площадь основания пирамиды

Определение правильной пирамиды

Правильной пирамидой называется пирамида, основание которой – правильный многоугольник, а отрезок соединяющий вершину пирамиды с центром этого многоугольника, является высотой пирамиды.

Свойства правильной пирамиды (опорная задача):

1. Боковые ребра правильной пирамиды равны.

2. Боковые грани правильной пирамиды являются равными равнобедренными треугольниками.

Апофемой называется высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины.

Замечание: Понятие апофемы вводится только для правильных пирамид. Очевидно, что все апофемы правильной пирамиды равны.

Теорема (формула площади боковой поверхности правильной пирамиды)

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему:

Cледствие: для правильной n — угольной пирамиды со стороной основания а и апофемой d n

Типовая задача: Двугранный угол при основании правильной треугольной пирамиды равен 60°. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, если ее высота равна 4√3 см.

Решение:

В пирамиде построим апофему SM. Зная формулу для вычисления площади боковой поверхности, заметим, что необходимо найти сторону основания. ▲SMO – прямоугольный,

📹 Видео

Как Фалес Милетский измерял высоту пирамидыСкачать

Вычисление радиуса сферы, описанной около правильной треугольной пирамидыСкачать

№240. Основанием пирамиды является параллелограмм, стороны которого равны 20 см и 36 см,Скачать

Задание 2 Как найти высоту в треугольной пирамидеСкачать

Как связаны египетские пирамиды и планеты Солнечной системы? Космические тайны пирамидСкачать

26. Стереометрия на ЕГЭ по математике. Задача на вычисление объема пирамиды.Скачать

№241. Основанием пирамиды является параллелограмм со сторонами 5 м и 4 м и меньшей диагональю 3 мСкачать

Построение проекции пирамиды. Метод прямого треугольника.Скачать