В полуокружность вписан треугольник

2021-11-23
В полуокружности расположены две окружности, касающиеся друг друга, полуокружности и её диаметра.
а) Докажите, что периметр треугольника с вершинами в центрах окружностей и полуокружности равен диаметру полуокружности.
б) Известно, что радиус полуокружности равен 8, а радиус одной из окружностей равен 4. Найдите радиус другой.

а) Пусть $AB$ — диаметр полуокружности, $O$ — её центр, $O_$ — центр окружности радиуса $r$, $C$ — точка её касания с полуокружностью, $O_$ — центр окружности радиуса $R$, $D$ — точка её касания с полуокружностью, $E$ — точка касания окружностей с центрами $O_$ и $O_$.
Точки $O$, $O_$ и $C$ лежат на одной прямой, поэтому $OO_=OC-O_C=OC-r$. Аналогично $OO_=OD-O_D=OD-R$ и $O_O_=O_E+O_E=r+R$. Следовательно, периметр треугольника $OO_O_$ равен

б) Пусть $R=4$, $OC=OD=8$. Тогда диаметр окружности с центром $O_$ равен радиусу полуокружности, значит, $ODperp AB$, а $O$ — точка касания этой окружности с прямой $AB$.
Пусть окружность с центром $O_$ касается $AB$ в точке $P$, $F$ — проекция точки $O_$ на $O_O$. Тогда

Из прямоугольных треугольников $OO_P$ и $O_O_F$ находим, что

а т.к. $O_F=OP$, то $64-16r=16r$. Следовательно, $r=2$.

Видео:2034 треугольник ABC вписан в окружность с центром в точке O точки O и C лежат в одной полуплоскостиСкачать

Треугольник вписанный в окружность

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Определение

Треугольник, вписанный в окружность — это треугольник, который
находится внутри окружности и соприкасается с ней всеми тремя вершинами.

На рисунке 1 изображена окружность, описанная около
треугольника и окружность, вписанная в треугольник.

ВD = FC = AE — диаметры описанной около треугольника окружности.

O — центр вписанной в треугольник окружности.

Видео:ОГЭ по математике. Треугольник вписан в окружность . (Вар. 4) √ 17 модуль геометрия ОГЭСкачать

Формулы

Радиус вписанной окружности в треугольник

r — радиус вписанной окружности.

1. Радиус вписанной окружности в треугольник,
   если известна площадь и все стороны:

Радиус вписанной окружности в треугольник,
если известны площадь и периметр:

Радиус вписанной окружности в треугольник,
если известны полупериметр и все стороны:

Радиус описанной окружности около треугольника

R — радиус описанной окружности.

1. Радиус описанной окружности около треугольника,
   если известна одна из сторон и синус противолежащего стороне угла:

Радиус описанной окружности около треугольника,
если известны все стороны и площадь:

Радиус описанной окружности около треугольника,
если известны все стороны и полупериметр:

Площадь треугольника

S — площадь треугольника.

1. Площадь треугольника вписанного в окружность,
   если известен полупериметр и радиус вписанной окружности:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известен полупериметр:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известен высота и основание:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известна сторона и два прилежащих к ней угла:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известны две стороны и синус угла между ними:

[ S = fracab cdot sin angle C ]

Периметр треугольника

P — периметр треугольника.

1. Периметр треугольника вписанного в окружность,
   если известны все стороны:
   

Периметр треугольника вписанного в окружность,
если известна площадь и радиус вписанной окружности:

Периметр треугольника вписанного в окружность,
если известны две стороны и угол между ними:

Сторона треугольника

a — сторона треугольника.

1. Сторона треугольника вписанного в окружность,
   если известны две стороны и косинус угла между ними:

Сторона треугольника вписанного в
окружность, если известна сторона и два угла:

Средняя линия треугольника

l — средняя линия треугольника.

1. Средняя линия треугольника вписанного
   в окружность, если известно основание:
   

Средняя линия треугольника вписанного в окружность,
если известныдве стороны, ни одна из них не является
основанием, и косинус угламежду ними:

Высота треугольника

h — высота треугольника.

1. Высота треугольника вписанного в окружность,
   если известна площадь и основание:

Высота треугольника вписанного в окружность,
если известен сторона и синус угла прилежащего
к этой стороне, и находящегося напротив высоты:

[ h = b cdot sin alpha ]

Высота треугольника вписанного в окружность,
если известен радиус описанной окружности и
две стороны, ни одна из которых не является основанием:

Видео:Построить описанную окружность (Задача 1)Скачать

Свойства

• Центр вписанной в треугольник окружности
  находится на пересечении биссектрис.
• В треугольник, вписанный в окружность,
  можно вписать окружность, причем только одну.
• Для треугольника, вписанного в окружность,
  справедлива Теорема Синусов, Теорема Косинусов
  и Теорема Пифагора.
• Центр описанной около треугольника окружности
  находится на пересечении серединных перпендикуляров.
• Все вершины треугольника, вписанного
  в окружность, лежат на окружности.
• Сумма всех углов треугольника — 180 градусов.
• Площадь треугольника вокруг которого описана окружность, и
  треугольника, в который вписана окружность, можно найти по
  формуле Герона.

Видео:Строим вписанную в данный треугольник окружность (Задача 2).Скачать

Доказательство

Около любого треугольника, можно
описать окружность притом только одну.

окружность и треугольник,
которые изображены на рисунке 2.

окружность описана
около треугольника.

1. Проведем серединные
   перпендикуляры — HO, FO, EO.
2. O — точка пересечения серединных
   перпендикуляров равноудалена от
   всех вершин треугольника.
3. Центр окружности — точка пересечения
   серединных перпендикуляров — около
   треугольника описана окружность — O,
   от центра окружности к вершинам можно
   провести равные отрезки — радиусы — OB, OA, OC.

окружность описана около треугольника,
что и требовалось доказать.

Подводя итог, можно сказать, что треугольник,
вписанный в окружность — это треугольник,
в котором все серединные перпендикуляры
пересекаются в одной точке, и эта точка
равноудалена от всех вершин треугольника.

Видео:№702. В окружность вписан треугольник ABC так, что АВ — диаметр окружности. Найдите углыСкачать

В полукруг вписан прямоугольный треугольник, гипотенуза которого совпадает с диаметром полукруга, а катеты равны 8 см и 8√3 см. Найдите площадь

Видео:Построение равностронего треугольника.Скачать

Ваш ответ

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

решение вопроса

Видео:Треугольник ABC вписан в окружность с центром O Угол BAC равен 32°Скачать

Похожие вопросы

• Все категории
• экономические 43,284
• гуманитарные 33,619
• юридические 17,900
• школьный раздел 607,093
• разное 16,829

Популярное на сайте:

Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.

Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.

Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.

Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.

📺 Видео

Геометрия В прямоугольный треугольник вписана полуокружность так, что диаметр лежит на гипотенузеСкачать

№701. Начертите три треугольника: остроугольный, прямоугольный и тупоугольный. В каждыйСкачать

Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать

№703. В окружность вписан равнобедренный треугольник ABC с основанием ВС. Найдите углы треугольникаСкачать

Треугольник, вписанный в окружность геометрия 7 классСкачать

Задание 16 (В1) ОГЭ по математике ▶ №11 (Минутка ОГЭ)Скачать

Треугольник АВС вписан в окружность с центром в точке О. Точки О и С лежат в одной полуплоскости...Скачать

Вписанный в окружность прямоугольный треугольник.Скачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

16 задача ОГЭ: четырёхугольник, вписанный в окружность; подобные треугольникиСкачать

Как разделить окружность на 3 равные части или как вписать равнобедренный треугольник в окружностьСкачать