В окружность радиуса 1 вписан угол равный

В окружность радиуса 1 вписан угол ABC, равный 30°. Чему равна хорда АС

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Ваш ответ

Видео:Задача 6 №27859 ЕГЭ по математике. Урок 104Скачать

Задача 6 №27859 ЕГЭ по математике. Урок 104

Похожие вопросы

  • Все категории
  • экономические 43,279
  • гуманитарные 33,618
  • юридические 17,900
  • школьный раздел 606,949
  • разное 16,829

Популярное на сайте:

Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.

Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.

Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.

Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.

Видео:Задача 6 №27862 ЕГЭ по математике. Урок 105Скачать

Задача 6 №27862 ЕГЭ по математике. Урок 105

Радиус окружности равен 1. Найдите .

27860. Радиус окружности равен 1. Найдите величину острого вписанного угла, опирающегося на хорду, равную √2. Ответ дайте в градусах.

В окружность радиуса 1 вписан угол равный

Построим центральный угол на хорде АВ, центр обозначим точкой О:

В окружность радиуса 1 вписан угол равный

Воспользуемся свойством вписанного угла. Известно, что он равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу, то есть

В окружность радиуса 1 вписан угол равный

Найдём угол . В треугольнике нам известны все стороны. По теореме косинусов можно найти любой угол этого треугольника.

Теорема: квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

Видео:ЗАДАНИЕ 1| ЕГЭ ПРОФИЛЬ| Угол А четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, равен 25.Найдите уголСкачать

ЗАДАНИЕ 1| ЕГЭ ПРОФИЛЬ| Угол А четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, равен 25.Найдите угол

Углы, связанные с окружностью

В окружность радиуса 1 вписан угол равныйВписанные и центральные углы
В окружность радиуса 1 вписан угол равныйУглы, образованные хордами, касательными и секущими
В окружность радиуса 1 вписан угол равныйДоказательства теорем об углах, связанных с окружностью

Видео:Вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружностиСкачать

Вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружности

Вписанные и центральные углы

Определение 1 . Центральным углом называют угол, вершина которого совпадает с центром окружности, а стороны являются радиусами радиусами (рис. 1).

В окружность радиуса 1 вписан угол равный

Определение 2 . Вписанным углом называют угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны являются хордами хордами (рис. 2).

В окружность радиуса 1 вписан угол равный

Напомним, что углы можно измерять в градусах и в радианах. Дуги окружности также можно измерять в градусах и в радианах, что вытекает из следующего определения.

Определение 3 . Угловой мерой (угловой величиной) дуги окружности является величина центрального угла, опирающегося на эту дугу.

Видео:Вписанные и центральные углы #огэ #огэматематика #математикаСкачать

Вписанные и центральные углы #огэ #огэматематика #математика

Теоремы о вписанных и центральных углах

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
около этого треугольника окружности.

ФигураРисунокТеорема
Вписанный уголВ окружность радиуса 1 вписан угол равный
Вписанный уголВ окружность радиуса 1 вписан угол равныйВписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.
Вписанный уголВ окружность радиуса 1 вписан угол равныйВписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды
Вписанный уголВ окружность радиуса 1 вписан угол равныйДва вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды
Вписанный уголВ окружность радиуса 1 вписан угол равныйВписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр
Окружность, описанная около прямоугольного треугольникаВ окружность радиуса 1 вписан угол равный

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

В окружность радиуса 1 вписан угол равный

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.

В окружность радиуса 1 вписан угол равный

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды

В окружность радиуса 1 вписан угол равный

Два вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды

В окружность радиуса 1 вписан угол равный

Вписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр

В окружность радиуса 1 вписан угол равный

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
около этого треугольника окружности.

В окружность радиуса 1 вписан угол равный

Видео:Задача 6 №27857 ЕГЭ по математике. Урок 103Скачать

Задача 6 №27857 ЕГЭ по математике. Урок 103

Теоремы об углах, образованных хордами, касательными и секущими

Вписанный угол
Окружность, описанная около прямоугольного треугольника

Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

ФигураРисунокТеоремаФормула
Угол, образованный пересекающимися хордамиВ окружность радиуса 1 вписан угол равныйВ окружность радиуса 1 вписан угол равный
Угол, образованный секущими, которые пересекаются вне кругаВ окружность радиуса 1 вписан угол равныйВ окружность радиуса 1 вписан угол равный
Угол, образованный касательной и хордой, проходящей через точку касанияВ окружность радиуса 1 вписан угол равныйВ окружность радиуса 1 вписан угол равный
Угол, образованный касательной и секущейВ окружность радиуса 1 вписан угол равныйВ окружность радиуса 1 вписан угол равный
Угол, образованный двумя касательными к окружностиВ окружность радиуса 1 вписан угол равныйВ окружность радиуса 1 вписан угол равный

Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

В окружность радиуса 1 вписан угол равный

В окружность радиуса 1 вписан угол равный

Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

В окружность радиуса 1 вписан угол равный

В окружность радиуса 1 вписан угол равный

В окружность радиуса 1 вписан угол равный

В окружность радиуса 1 вписан угол равный

Угол, образованный пересекающимися хордами хордами
В окружность радиуса 1 вписан угол равный
Формула: В окружность радиуса 1 вписан угол равный
Угол, образованный секущими секущими , которые пересекаются вне круга
Формула: В окружность радиуса 1 вписан угол равный

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Угол, образованный касательной и хордой хордой , проходящей через точку касания
В окружность радиуса 1 вписан угол равный
Формула: В окружность радиуса 1 вписан угол равный
Угол, образованный касательной и секущей касательной и секущей
Формула: В окружность радиуса 1 вписан угол равный

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Угол, образованный двумя касательными касательными к окружности
Формулы: В окружность радиуса 1 вписан угол равный

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Видео:Задача 6 №27913 ЕГЭ по математике. Урок 131Скачать

Задача 6 №27913 ЕГЭ по математике. Урок 131

Доказательства теорем об углах, связанных с окружностью

Теорема 1 . Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Доказательство . Рассмотрим сначала вписанный угол ABC , сторона BC которого является диаметром окружности диаметром окружности , и центральный угол AOC (рис. 5).

В окружность радиуса 1 вписан угол равный

В окружность радиуса 1 вписан угол равный

В окружность радиуса 1 вписан угол равный

В окружность радиуса 1 вписан угол равный

Таким образом, в случае, когда одна из сторон вписанного угла проходит через центр окружности, теорема 1 доказана.

Теперь рассмотрим случай, когда центр окружности лежит внутри вписанного угла (рис. 6).

В окружность радиуса 1 вписан угол равный

В этом случае справедливы равенства

В окружность радиуса 1 вписан угол равный

В окружность радиуса 1 вписан угол равный

В окружность радиуса 1 вписан угол равный

и теорема 1 в этом случае доказана.

Осталось рассмотреть случай, когда центр окружности лежит вне вписанного угла (рис. 7).

В окружность радиуса 1 вписан угол равный

В этом случае справедливы равенства

В окружность радиуса 1 вписан угол равный

В окружность радиуса 1 вписан угол равный

В окружность радиуса 1 вписан угол равный

что и завершает доказательство теоремы 1.

Теорема 2 . Величина угла, образованного пересекающимися хордами хордами , равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 8.

В окружность радиуса 1 вписан угол равный

Нас интересует величина угла AED , образованного пересекающимися в точке E хордами AB и CD . Поскольку угол AED – внешний угол треугольника BED , а углы CDB и ABD являются вписанными углами, то справедливы равенства

В окружность радиуса 1 вписан угол равный

В окружность радиуса 1 вписан угол равный

что и требовалось доказать.

Теорема 3 . Величина угла, образованного секущими секущими , пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

В окружность радиуса 1 вписан угол равный

В окружность радиуса 1 вписан угол равный

Нас интересует величина угла BED , образованного пересекающимися в точке E секущими AB и CD . Поскольку угол ADC – внешний угол треугольника ADE , а углы ADC , DCB и DAB являются вписанными углами, то справедливы равенства

В окружность радиуса 1 вписан угол равный

В окружность радиуса 1 вписан угол равный

что и требовалось доказать.

Теорема 4 . Величина угла, образованного касательной и хордой касательной и хордой , проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 10.

В окружность радиуса 1 вписан угол равный

В окружность радиуса 1 вписан угол равный

Нас интересует величина угла BAC , образованного касательной AB и хордой AC . Поскольку AD – диаметр диаметр , проходящий через точку касания, а угол ACD – вписанный угол, опирающийся на диаметр, то углы DAB и DCA – прямые. Поэтому справедливы равенства

В окружность радиуса 1 вписан угол равный

В окружность радиуса 1 вписан угол равный

что и требовалось доказать

Теорема 5 . Величина угла, образованного касательной и секущей касательной и секущей , равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 11.

В окружность радиуса 1 вписан угол равный

В окружность радиуса 1 вписан угол равный

Нас интересует величина угла BED , образованного касательной AB и секущей CD . Заметим, что угол BDC – внешний угол треугольника DBE , а углы BDC и BCD являются вписанными углами. Кроме того, углы DBE и DCB , в силу теоремы 4, равны. Поэтому справедливы равенства

В окружность радиуса 1 вписан угол равный

В окружность радиуса 1 вписан угол равный

что и требовалось доказать.

Теорема 6 .Величина угла, образованного двумя касательными к окружности касательными к окружности , равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 12.

В окружность радиуса 1 вписан угол равный

В окружность радиуса 1 вписан угол равный

Нас интересует величина угла BED , образованного касательными AB и CD . Заметим, что углы BOD и BED в сумме составляют π радиан. Поэтому справедливо равенство

🎦 Видео

2140 угол C треугольника ABC вписанного в окружность радиуса 10 равен 30 градусовСкачать

2140 угол C треугольника ABC вписанного в окружность радиуса 10 равен 30 градусов

Задача 6 №27921 ЕГЭ по математике. Урок 138Скачать

Задача 6 №27921 ЕГЭ по математике. Урок 138

Вписанный угол - 1Скачать

Вписанный угол - 1

ЗАДАНИЕ 1| ЕГЭ ПРОФИЛЬ|Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, которая составляет 1/5 окружностСкачать

ЗАДАНИЕ 1| ЕГЭ ПРОФИЛЬ|Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, которая составляет 1/5 окружност

ЕГЭ Задание 16 Окружности вписанные в уголСкачать

ЕГЭ Задание 16 Окружности вписанные в угол

Радиус и диаметрСкачать

Радиус и диаметр

Радиус описанной окружностиСкачать

Радиус описанной окружности

ВАЖНЫЕ УГЛЫ в Геометрии — Центральный и Вписанный УголСкачать

ВАЖНЫЕ УГЛЫ в Геометрии — Центральный и Вписанный Угол

Всё про вписанные и центральные углы за 4 минуты | Борис Трушин |Скачать

Всё про вписанные и центральные углы за 4 минуты | Борис Трушин |

ЕГЭ задание 16Скачать

ЕГЭ задание 16

Угол, вписанный в окружность. Решение задач. Часть 1. Геометрия 8-9 классСкачать

Угол, вписанный в окружность. Решение задач. Часть 1. Геометрия 8-9 класс

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline
Поделиться или сохранить к себе: