В какой четырехугольник можно вписать окружность привести пример

Вписанная окружность

В какой четырехугольник можно вписать окружность привести пример

Вписанная окружность — это окружность, которая вписана
в геометрическую фигуру и касается всех его сторон.

Окружность, точно можно вписать в такие геометрические фигуры, как:

  • Треугольник
  • Выпуклый, правильный многоугольник
  • Квадрат
  • Равнобедренная трапеция
  • Ромб

В четырехугольник, можно вписать окружность,
только при условии, что суммы длин
противоположных сторон равны.

Во все вышеперечисленные фигуры
окружность, может быть вписана, только один раз.

Окружность невозможно вписать в прямоугольник
и параллелограмм, так как окружность не будет
соприкасаться со всеми сторонам этих фигур.

Геометрические фигуры, в которые вписана окружность,
называются описанными около окружности.

Описанный треугольник — это треугольник, который описан
около окружности и все три его стороны соприкасаются с окружностью.

Описанный четырехугольник — это четырехугольник, который описан
около окружности и все четыре его стороны соприкасаются с окружностью.

Свойства вписанной окружности

В треугольник

  1. В любой треугольник может быть вписана окружность, причем только один раз.
  2. Центр вписанной окружности — точка пересечения биссектрис треугольника.
  3. Вписанная окружность касается всех сторон треугольника.
  4. Площадь треугольника, в который вписана окружность, можно рассчитать по такой формуле:

[ S = frac(a+b+c) cdot r = pr ]

p — полупериметр четырехугольника.
r — радиус вписанной окружности четырехугольника.

  • Центр окружности вписанной в треугольник равноудален от всех сторон.
  • Точка касания — это точка, в которой соприкасается
    окружность и любая из сторон треугольника.
  • От центра вписанной окружности можно провести
    перпендикуляры к любой точке касания.
  • Вписанная в треугольник окружность делит стороны
    треугольника на 3 пары равных отрезков.
  • Вписанная и описанная около треугольника окружность тесно взаимосвязаны.
    Поэтому, расстояние между центрами этих окружностей можно найти с помощью формулы Эйлера:

    с — расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника.
    R — радиус описанной около треугольника.
    r — радиус вписанной окружности треугольника.

    В четырехугольник

    1. Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность.
    2. Если у четырехугольника суммы длин его противолежащих
      сторон равны, то окружность, может быть, вписана (Теорема Пито).
    3. Центр вписанной окружности и середины двух
      диагоналей лежат на одной прямой (Теорема Ньютона, прямая Ньютона).
    4. Точка пересечения биссектрис — это центр вписанной окружности.
    5. Точка касания — это точка, в которой соприкасается
      окружность и любая из сторон четырехугольника.
    6. Площадь четырехугольника, в который вписана окружность, можно рассчитать по такой формуле:

    [ S = frac(a+b+c+d)cdot r = pr ]

    p — полупериметр четырехугольника.
    r — радиус вписанной окружности четырехугольника.

  • Точка касания вписанной окружности, которая лежит на любой из сторон,
    равноудалены от этой конца и начала этой стороны, то есть от его вершин.
  • Примеры вписанной окружности

    • Треугольник
      В какой четырехугольник можно вписать окружность привести пример
    • Четырехугольник
      В какой четырехугольник можно вписать окружность привести пример
    • Многоугольник
      В какой четырехугольник можно вписать окружность привести пример

    Примеры описанного четырехугольника:
    равнобедренная трапеция, ромб, квадрат.

    Примеры описанного треугольника:
    равносторонний
    , равнобедренный,
    прямоугольный треугольники.

    Верные и неверные утверждения

    1. Радиус вписанной окружности в треугольник и радиус вписанной
      в четырехугольник вычисляется по одной и той же формуле. Верное утверждение.
    2. Любой параллелограмм можно вписать в окружность. Неверное утверждение.
    3. В любой четырехугольник можно вписать окружность. Неверное утверждение.
    4. В любой ромб можно вписать окружность. Верное утверждение.
    5. Центр вписанной окружности треугольника это точка пересечения биссектрис. Верное утверждение.
    6. Окружность вписанная в треугольник касается всех его сторон. Верное утверждение.
    7. Угол вписанный в окружность равен соответствующему центральному
      углу опирающемуся на ту же дугу. Неверное утверждение.
    8. Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник равен
      половине разности суммы катетов и гипотенузы. Верное утверждение.
    9. Вписанные углы опирающиеся на одну и ту же хорду окружности равны. Неверное утверждение.
    10. Вписанная окружность в треугольник имеет в общем
      три общие точки со всеми сторонами треугольника. Верное утверждение.

    Окружность вписанная в угол

    Окружность вписанная в угол — это окружность, которая
    лежит внутри этого угла и касается его сторон.

    Центр окружности, которая вписана в угол,
    расположен на биссектрисе этого угла.

    К центру окружности вписанной в угол, можно провести,
    в общей сложности два перпендикуляра со смежных сторон.

    Длина диаметра, радиуса, хорды, дуги вписанной окружности
    измеряется в км, м, см, мм и других единицах измерения.

    Видео:Описанный четырехугольникСкачать

    Описанный четырехугольник

    Описанные четырехугольники

    Определение 1 . Окружностью, вписанной в четырёхугольник, называют окружность, которая касается касается каждой из сторон четырёхугольника (рис.1). В этом случае четырёхугольник называют четырёхугольником, описанным около окружности или описанным четырёхугольником .

    В какой четырехугольник можно вписать окружность привести пример

    Замечание . В настоящем разделе мы рассматриваем только выпуклые четырёхугольники.

    Теорема 1 . Если четырёхугольник описан около окружности, то суммы длин его противоположных сторон равны.

    Доказательство . Рассмотрим четырёхугольник ABCD , описанный около окружности, и обозначим буквами E, F, G, H – точки касания сторон четырёхугольника с окружностью (рис.2).

    В какой четырехугольник можно вписать окружность привести пример

    AH = AE, BF = BE, CF = CG, DH = DG,

    Складывая эти равенства, получим:

    AH + BF + CF + DH =
    = AD + BC,
    AE + BE + CG + DG =
    = AB + CD,

    то справедливо равенство

    что и требовалось доказать.

    Теорема 2 (обратная теорема к теореме 1) . Если у четырёхугольника суммы длин противоположных сторон равны, то в этот четырёхугольник можно вписать окружность.

    Доказательство . Рассмотрим четырёхугольник ABCD , длины сторон которого удовлетворяют равенству

    и проведём биссектрисы углов BAD и CDA . Обозначим точку пересечения этих биссектрис буквой O , и опустим из точки O перпендикуляры OH, OE и OG на стороны AD, AB и CD соответственно (рис.3).

    В какой четырехугольник можно вписать окружность привести пример

    Следовательно, справедливы равенства

    из которых вытекает, что точки H, E и G лежат на окружности с центром в точке O и радиусом OH , касающейся сторон четырёхугольника AD, AB и CD в точках H, E и G соответственно. При этом возможны два случая:

    Окружность касается касается стороны BC (рис.4).

    В какой четырехугольник можно вписать окружность привести пример

    В этом случае четырёхугольник ABCD описан около окружности, и теорема доказана.

    Окружность не касается стороны BC .

    В этом случае касательная, проведенная к окружности из точки B , пересекает прямую DC в точке K , и возможны два случая:

      Точка K лежит между точками C и D (рис.5)

    В какой четырехугольник можно вписать окружность привести пример

    В какой четырехугольник можно вписать окружность привести пример

    Рассмотрим случай 2а и приведём его к противоречию. В этом случае в силу того, что четырёхугольник ABKD является описанным, а также по условию теоремы справедливы равенства:

    В какой четырехугольник можно вписать окружность привести пример

    В какой четырехугольник можно вписать окружность привести пример

    Последнее равенство утверждает, что в треугольнике BKC сумма двух сторон равна третьей стороне, что противоречит неравенству треугольника неравенству треугольника неравенству треугольника . Полученное противоречие доказывает, что случай 2а невозможен.

    Совершенно аналогичные рассуждения позволяют заключить, что случай 2b также невозможен.

    Итак, возможен и реализуется лишь случай 1.

    Из доказательства теоремы 2 непосредственно вытекает

    Теорема 3 . Биссектрисы всех внутренних углов описанного четырёхугольника пересекаются в одной точке – центре вписанной окружности.

    В следующей таблице приводятся примеры четырёхугольников, в которые можно вписать окружность. Доказательства утверждений непосредственно вытекают из теорем 1 и 2 и предоставляются читателю в качестве несложных упражнений.

    Примеры описанных четырёхугольников

    ФигураРисунокУтверждение
    РомбВ какой четырехугольник можно вписать окружность привести примерВ любой ромб можно вписать окружность
    КвадратВ какой четырехугольник можно вписать окружность привести примерВ любой квадрат можно вписать окружность
    ПрямоугольникВ какой четырехугольник можно вписать окружность привести примерВ прямоугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является квадратом
    ПараллелограммВ какой четырехугольник можно вписать окружность привести примерВ параллелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является ромбом
    ДельтоидВ какой четырехугольник можно вписать окружность привести примерВ любой дельтоид можно вписать окружность
    ТрапецияВ какой четырехугольник можно вписать окружность привести примерВ трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда у трапеции сумма длин боковых сторон рана сумме длин оснований
    Ромб
    В какой четырехугольник можно вписать окружность привести пример
    КвадратВ какой четырехугольник можно вписать окружность привести пример

    В любой квадрат можно вписать окружность

    ПрямоугольникВ какой четырехугольник можно вписать окружность привести пример

    В прямоугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является квадратом

    ПараллелограммВ какой четырехугольник можно вписать окружность привести пример

    В параллелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является ромбом

    ДельтоидВ какой четырехугольник можно вписать окружность привести пример

    ТрапецияВ какой четырехугольник можно вписать окружность привести пример

    В трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда у трапеции сумма длин боковых сторон рана сумме длин оснований

    Видео:Если в четырёхугольник можно вписать окружностьСкачать

    Если в четырёхугольник можно вписать окружность

    Вписанная в четырехугольник окружность

    Описанный четырехугольник — это четырехугольник, все стороны которого касаются окружности. При этом окружность называется вписанной в четырехугольник.

    Какими свойствами обладает вписанная в четырехугольник окружность? Когда в четырехугольник можно вписать окружность? Где находится центр вписанной окружности?

    В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противолежащих сторон равны.

    В какой четырехугольник можно вписать окружность привести примерВ четырехугольник ABCD можно вписать окружность, если

    И обратно, если суммы противоположных сторон четырехугольника равны:

    то в четырехугольник ABCD можно вписать окружность.

    Центр вписанной в четырехугольник окружности — точка пересечения его биссектрис.

    В какой четырехугольник можно вписать окружность привести примерO — точка пересечения биссектрис четырехугольника ABCD.

    AO, BO, CO, DO — биссектрисы углов четырехугольника ABCD,

    то есть ∠BAO=∠DAO, ∠ABO=∠CBO и т.д.

    3. Точки касания вписанной окружности, лежащие на сторонах, выходящих из одной вершины, равноудалены от этой вершины.

    В какой четырехугольник можно вписать окружность привести примерAM=AN,

    В какой четырехугольник можно вписать окружность привести пример

    В какой четырехугольник можно вписать окружность привести пример

    В какой четырехугольник можно вписать окружность привести пример

    В какой четырехугольник можно вписать окружность привести пример

    В какой четырехугольник можно вписать окружность привести пример

    5. Площадь четырехугольника связана с радиусом вписанной в него окружности формулой

    В какой четырехугольник можно вписать окружность привести пример

    где p — полупериметр четырехугольника.

    Так как суммы противолежащих сторон описанного четырехугольника равны, полупериметр равен любой из пар сумм противолежащих сторон.

    Например, для четырехугольника ABCD p=AD+BC или p=AB+CD и

    В какой четырехугольник можно вписать окружность привести пример

    В какой четырехугольник можно вписать окружность привести пример

    Соответственно, радиус вписанной в четырехугольник окружности равен

    📹 Видео

    Свойство четырехугольника, в который можно вписать окружностьСкачать

    Свойство четырехугольника, в который можно вписать окружность

    3 правила для вписанного четырехугольника #shortsСкачать

    3 правила для вписанного четырехугольника #shorts

    2 ПРАВИЛА описанного четырехугольника #shortsСкачать

    2 ПРАВИЛА описанного четырехугольника #shorts

    Окружность, вписанная в четырехугольникСкачать

    Окружность, вписанная в четырехугольник

    Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

    Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

    Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать

    Вписанные  и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.

    8 класс, 38 урок, Вписанная окружностьСкачать

    8 класс, 38 урок, Вписанная окружность

    Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

    Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

    11 класс, 43 урок, Вписанный четырехугольникСкачать

    11 класс, 43 урок, Вписанный четырехугольник

    Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

    Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

    Окружность №16 из ОГЭ. Вписанные и описанные многоугольники. Квадрат и окружность.Скачать

    Окружность №16 из ОГЭ. Вписанные и описанные многоугольники. Квадрат и окружность.

    Вписанный в окружность четырёхугольник.Скачать

    Вписанный в окружность четырёхугольник.

    ОПИСАННЫЕ И ВПИСАННЫЕ ОКРУЖНОСТИ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА . §10 геометрия 8 классСкачать

    ОПИСАННЫЕ И ВПИСАННЫЕ ОКРУЖНОСТИ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА . §10 геометрия 8 класс

    Четырехугольники, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать

    Четырехугольники, вписанные в окружность. 9 класс.

    Геометрия 11 класс. Вписанный четырехугольникСкачать

    Геометрия 11 класс. Вписанный четырехугольник

    Окружность и четырехугольникСкачать

    Окружность и четырехугольник

    8 класс Геометрия. Окружность вписанная в четырехугольник и описанная около четырехугольника Урок #4Скачать

    8 класс Геометрия. Окружность вписанная в четырехугольник и описанная около четырехугольника Урок #4

    ЧТО НАДО ГОВОРИТЬ ЕСЛИ НЕ СДЕЛАЛ ДОМАШКУ!Скачать

    ЧТО НАДО ГОВОРИТЬ ЕСЛИ НЕ СДЕЛАЛ ДОМАШКУ!
    Поделиться или сохранить к себе: