В каких треугольниках есть медианы

Определение и свойства медианы треугольника

В данной статье мы рассмотрим определение медианы треугольника, перечислим ее свойства, а также разберем примеры решения задач для закрепления теоретического материала.

Видео:7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать

7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

Определение медианы треугольника

Медиана – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой стороны, расположенной напротив данной вершины.

В каких треугольниках есть медианы

Основание медианы – точка пересечения медианы со стороной треугольника, другими словами, середина этой стороны (точка F).

Видео:Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать

Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.

Свойства медианы

Свойство 1 (основное)

Т.к. в треугольнике три вершины и три стороны, то и медиан, соответственно, тоже три. Все они пересекаются в одной точке (O), которая называется центроидом или центром тяжести треугольника.

В каких треугольниках есть медианы

В точке пересечения медиан каждая из них делится в отношении 2:1, считая от вершины. Т.е.:

Свойство 2

Медиана делит треугольник на 2 равновеликих (равных по площади) треугольника.

В каких треугольниках есть медианы

Свойство 3

Три медианы делят треугольник на 6 равновеликих треугольников.

В каких треугольниках есть медианы

Свойство 4

Наименьшая медиана соответствует большей стороне треугольника, и наоборот.

В каких треугольниках есть медианы

  • AC – самая длинная сторона, следовательно, медиана BF – самая короткая.
  • AB – самая короткая сторона, следовательно, медиана CD – самая длинная.

Свойство 5

Допустим, известны все стороны треугольника (примем их за a, b и c).

В каких треугольниках есть медианы

Длину медианы ma, проведенную к стороне a, можно найти по формуле:

В каких треугольниках есть медианы

Видео:🔥 Свойства МЕДИАНЫ #shortsСкачать

🔥 Свойства МЕДИАНЫ #shorts

Примеры задач

Задание 1
Площадь одной из фигур, образованной в результате пересечения трех медиан в треугольнике, равняется 5 см 2 . Найдите площадь треугольника.

Решение
Согласно свойству 3, рассмотренному выше, в результате пересечения трех медиан образуются 6 треугольников, равных по площади. Следовательно:
S = 5 см 2 ⋅ 6 = 30 см 2 .

Задание 2
Стороны треугольника равны 6, 8 и 10 см. Найдите медиану, проведенную к стороне с длиной 6 см.

Решение
Воспользуемся формулой, приведенной в свойстве 5:

Видео:Построение медианы в треугольникеСкачать

Построение медианы в треугольнике

Медиана треугольника

Определение . Медианой треугольника называют отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны (рис 1).

В каких треугольниках есть медианы

Поскольку в каждом треугольнике имеется три вершины, то в каждом треугольнике можно провести три медианы.

На рисунке 1 медианой является отрезок BD .

Утверждение 1 . Медиана треугольника делит его на два треугольника равной площади ( равновеликих треугольника).

Доказательство . Проведем из вершины B треугольника ABC медиану BD и высоту BE (рис. 2),

В каких треугольниках есть медианы

и заметим, что (см. раздел нашего справочника «Площадь треугольника»)

В каких треугольниках есть медианы

В каких треугольниках есть медианы

Поскольку отрезок BD является медианой, то

В каких треугольниках есть медианы

что и требовалось доказать.

Утверждение 2 . Точка пересечения двух любых медиан треугольника делит каждую из этих медиан в отношении 2 : 1 , считая от вершины треугольника.

Доказательство . Рассмотрим две любых медианы треугольника, например, медианы AD и CE , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 3).

В каких треугольниках есть медианы

Обозначим середины отрезков AO и CO буквами F и G соответственно (рис. 4).

В каких треугольниках есть медианы

Теперь рассмотрим четырёхугольник FEDG (рис. 5).

В каких треугольниках есть медианы

Сторона ED этого четырёхугольника является средней линией в треугольнике ABC . Следовательно,

В каких треугольниках есть медианы

Сторона FG четырёхугольника FEDG является средней линией в треугольнике AOC . Следовательно,

В каких треугольниках есть медианы

В каких треугольниках есть медианы

Отсюда вытекает, что точка O делит каждую из медиан AD и CE в отношении 2 : 1 , считая от вершины треугольника.

Следствие . Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим медиану AD треугольника ABC и точку O , которая делит эту медиану в отношении 2 : 1 , считая от вершины A (рис.7).

В каких треугольниках есть медианы

Поскольку точка, делящая отрезок в заданном отношении, является единственной, то и другие медианы треугольника будут проходить через эту точку, что и требовалось доказать.

Определение . Точку пересечения медиан треугольника называют центроидом треугольника.

Утверждение 3 . Медианы треугольника делят треугольник на 6 равновеликих треугольников (рис. 8).

В каких треугольниках есть медианы

Доказательство . Докажем, что площадь каждого из шести треугольников, на которые медианы разбивают треугольник ABC , равна В каких треугольниках есть медианыплощади треугольника ABC. Для этого рассмотрим, например, треугольник AOF и опустим из вершины A перпендикуляр AK на прямую BF (рис. 9).

Видео:Все факты о медиане треугольника для ЕГЭСкачать

Все факты о медиане треугольника для ЕГЭ

Треугольник. Важные факты о высоте, биссектрисе и медиане

Определения

Медиана треугольника – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Биссектриса треугольника – это отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны.

Высота треугольника – это перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.

Теорема

В любом треугольнике высоты (или их продолжения) пересекаются в одной точке (рис. 1 и 2), биссектрисы пересекаются в одной точке (рис. 3), медианы пересекаются в одной точке (рис. 4).

В каких треугольниках есть медианы

Теорема

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой.

В каких треугольниках есть медианы

Верны и другие утверждения:
В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.
В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.

Теорема

В любом треугольнике медианы точкой пересечения делятся в отношении (2:1) , считая от вершины.

Доказательство

Пусть (AD) и (BE) – медианы в треугольнике (ABC) , (O) – точка пересечения (AD) и (BE) .

В каких треугольниках есть медианы

(DE) – средняя линия в треугольнике (ABC) , тогда (DEparallel AB) , значит (angle ADE = angle BAD) , (angle BED = angle ABE) , следовательно, треугольники (ABO) и (DOE) подобны (по двум углам).

Из подобия треугольников (ABO) и (DOE) : (dfrac = dfrac = dfrac) .

Для других медиан треугольника (ABC) требуемое свойство доказывается аналогично.

Теорема

Медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника (равновеликие треугольники – это треугольники, у которых площади равны).

Доказательство

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведенную к этому основанию: (S_ = 0,5cdot ACcdot h) .

В каких треугольниках есть медианы

Пусть (BD) – медиана в треугольнике (ABC) , тогда (AD = DC) .

(S_ = 0,5cdot ADcdot h) ,

(S_ = 0,5cdot DCcdot h) .

Так как (AD = DC) , то (S_ = S_) , что и требовалось доказать.

Теорема

В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Верно и обратное: если медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то она проведена из вершины прямого угла.

Доказательство

1) Докажем, что если (triangle ABC) – прямоугольный, то (BM=frac12AC) , где (M) – середина гипотенузы (AC) .

В каких треугольниках есть медианы

Достроим треугольник (ABC) до прямоугольника (ABCD) и проведем диагональ (BD) . Т.к. в прямоугольнике диагонали делятся точкой пересечения пополам и равны, то (ACcap BD=M) , причем (AM=MC=BM=MD) , чтд.

2) Докажем, что если в треугольнике (ABC) медиана (BM=AM=MC) , то (angle B=90^circ) .

В каких треугольниках есть медианы

Треугольники (AMB) и (CMB) – равнобедренные, следовательно, (angle BAM=angle ABM=alpha, quad angle MBC=angle MCB=beta) .

Т.к. сумма углов в треугольнике равна (180^circ) , то для (triangle ABC) :

(alpha+(alpha+beta)+beta=180^circ Rightarrow alpha+beta=90^circ Rightarrow angle B=90^circ) , чтд.

Теорема

Биссектриса треугольника делит его сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам:

В каких треугольниках есть медианы

Верно и обратное: если отрезок, проведенный из вершины треугольника к стороне, делит эту сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам, то это биссектриса.

Доказательство

Площади треугольников, у которых есть равные углы, относятся как произведения сторон, образующих эти углы, то есть [dfrac<S_><S_> = dfrac = dfrac]

В итоге (dfrac = dfrac<S_><S_> = dfrac) , откуда (dfrac = dfrac) , что и требовалось доказать.

Теорема

Если точка равноудалена от сторон угла, то она лежит на его биссектрисе.

Верно и обратное: если точка лежит на биссектрисе угла, то она равноудалена от его сторон.

В каких треугольниках есть медианы

Доказательство

1) Докажем, что если (KA=KB) , то (OK) – биссектриса.
Рассмотрим треугольники (AOK) и (BOK) : они равны по катету и гипотенузе, следовательно, (angle AOK=angle BOK) , чтд.

2) Докажем, что если (OK) – биссектриса, то (KA=KB) .
Аналогично треугольники (AOK) и (BOK) равны по гипотенузе и острому углу, следовательно, (KA=KB) , чтд.

🔍 Видео

Уравнения стороны треугольника и медианыСкачать

Уравнения стороны треугольника и медианы

Все свойства медианы в одной задаче.Скачать

Все свойства медианы в одной задаче.

8. Медиана треугольника и её свойства.Скачать

8. Медиана треугольника и её свойства.

Свойство медианы в прямоугольном треугольнике. 8 класс.Скачать

Свойство медианы в прямоугольном треугольнике. 8 класс.

Формулы для медианы треугольникаСкачать

Формулы для медианы треугольника

длина медианы #SHORTSСкачать

длина медианы #SHORTS

Длина медианы треугольникаСкачать

Длина медианы треугольника

Точка пересечения медиан в треугольникеСкачать

Точка пересечения медиан в треугольнике

Геометрия 7 класс (Урок№12 - Медианы треугольника. Биссектрисы треугольника. Высоты треугольника.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№12 - Медианы треугольника. Биссектрисы треугольника. Высоты треугольника.)

Медиана в прямоугольном треугольникеСкачать

Медиана в прямоугольном треугольнике

Свойство медианы в прямоугольном треугольнике #shortsСкачать

Свойство медианы в прямоугольном треугольнике #shorts

Формула нахождения медианы треугольника по известным сторонам треугольника.Скачать

Формула нахождения медианы треугольника по известным сторонам треугольника.

РАВНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ. Высоты. Медианы. Биссектрисы. §7 геометрия 7 классСкачать

РАВНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ. Высоты. Медианы. Биссектрисы.  §7 геометрия 7 класс

Задача найти площади треугольников при пересечении медианСкачать

Задача найти площади треугольников при пересечении медиан

ГЕОМЕТРИЯ 8 класс. Свойство медиан треугольникаСкачать

ГЕОМЕТРИЯ 8 класс. Свойство медиан треугольника
Поделиться или сохранить к себе: