Урок центральный и вписанный угол окружности

Конспект урока и презентация

Видео:Урок по теме ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ 8 КЛАСССкачать

Скачать:

Видео:ВАЖНЫЕ УГЛЫ в Геометрии — Центральный и Вписанный УголСкачать

Предварительный просмотр:

Урок закрепления и развития

знаний, умений, навыков

с элементами исследования

по геометрии в 8 классе по теме:

Задача урока: опираясь на ранее рассмотренный приём при доказательстве теоремы о вписанном угле, доказать новые утверждения об углах, связанных с окружностью.

— образовательная: совершенствовать знания о центральном и вписанном углах; формировать умения применять их при решении задач; учить учащихся использовать известные приёмы доказательства при решении новых математических задач;

— развивающая: формировать приемы умственной деятельности: сравнения, аналогии, сопоставления; прививать навыки исследовательской деятельности; углублять знания по данной теме; развивать точную лаконичную речь;

— воспитательная: учить преодолевать трудности; воспитывать стремление к совершенствованию знаний.

-сообщение учащимся цели предстоящей работы;

-воспроизведение учащимся знаний, которые потребуются для выполнения заданий;

-перенос приобретённых знаний и их первичное применение в новых условиях;

-подведение итогов урока; задание на дом;

-выставление оценок за урок.

Ребята, сегодня на уроке мы продолжим решение задач на применение понятий центрального и вписанного углов, а также попытаемся самостоятельно доказать новые утверждения об углах, связанных с окружностью, используя один из знакомых нам уже приёмов рассуждения.

Понятие угол и окружность появилось много веков назад. Инженеры и математики древности пользовались этими понятиями при расчётах различных архитектурных сооружений. Так же эти понятия использовались при навигации на море и на суше. В наше время понятие и свойство центральных и вписанных углов используется в науке и технике. Например, невозможно представить себе без этих понятий современную инженерную графику и машиностроение. Хочется ещё раз повторить народную мудрость «Ум без догадки — гроша не стоит», т.к. при решении геометрических задач нужна смекалка, умение рассуждать, анализировать, а это невозможно без знаний и вдохновения. Вдохновения нам на протяжении всего урока.

Вначале вспомним определения и понятия, которые нам понадобятся на уроке для решения задач. Одним из домашних заданий было подготовить вопросы по теме «Центральные и вписанные углы».

Пока работаем устно, один из учеников подготовит домашнюю задачу №660 на доске.

1. Сформулируйте определение центрального угла. ( Угол, с вершиной в центре окружности называется центральным углом).
2. Чему равна градусная мера центрального угла? (Градусная мера центрального угла равна градусной мере дуги на которую он опирается)
3. Сформулируйте определение вписанного угла. ( Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом).
4. Сформулировать теорему о вписанном угле. ( Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.)
5. Сформулировать следствие 1. ( Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны).
6. Сформулировать следствие 2.

(Вписанный угол, опирающийся на полуокружность – прямой).

1. Связь вписанного и центрального углов, опирающихся на одну и ту же дугу. ( Центральный угол всегда в два раза больше вписанного, опирающегося на ту же дугу.)

1. Работа по заготовленным чертежам (презентация):

1. Проверим решение домашней задачи № 660 .

Через точку, лежащую вне окружности, проведены две секущие, образующие угол в 32 ° . Большая дуга окружности, заключённая между сторонами этого угла, равна 100 ° . Найдите меньшую дугу.

то ∠АВЕ = ∪АЕ = ⋅100° = 50°.

1. Т.к. ∠АВЕ – внешний угол ΔВЕС,

то ∠АВЕ = ∠ВЕС + ∠BCD,

откуда ∠ВЕС = ∠АВЕ — ∠BCD,

∠ВЕС = 50° – 32° = 18°.

значит ∪BD = 2 ⋅∠ВЕD = 2 ⋅ 18° = 36°.

1. Решение задач с применением элементов исследовательской деятельности.

Вывод и доказательство утверждения о величине угла между двумя секущими.

Посмотрим внимательно на результат в задаче. Имеется ли связь между величиной угла и градусными мерами дуг, заключенных внутри угла?

Заметим, что (100 ° – 36°) : 2 = 64° : 2 = 32°.

1. Как был образован угол АСЕ?
2. С помощью величин каких дуг мы нашли величину угла АСЕ?
3. Сформулируйте гипотезу о величине угла между двумя секущими.

1). Угол между двумя секущими, проведенными из одной точки, равен полуразности большей и меньшей дуг, заключенных между его сторонами.

2). Угол, вершина которого лежит вне круга и стороны пересекаются с окружностью, измеряется полуразностью большей и меньшей дуг, заключенных между его сторонами.

Т.е., нам надо доказать, что

Доказательство: (доказывать у доски)

1. Т.к. ∠АВЕ – вписанный в окружность, то ∠АВЕ = ∪АЕ.
2. Т.к. ∠BED — вписанный в окружность, то ∠BED = ∪BD.
3. Рассмотрим ΔВЕС: ∠АВЕ – внешний угол данного треугольника. Его величина равна сумме двух других углов треугольника, не смежных с ним. Значит,

∠ВСЕ = ∪АЕ — ∪BD = (∪АЕ — ∪BD).

Утверждение: Угол, образованный двумя секущими, выходящими из одной точки, измеряется полуразностью дуг, заключённых внутри угла.

Утверждение: Угол, вершина которого расположена вне круга, а каждая из сторон пересекает окружность в двух точках, измеряется полуразностью дуг, заключенных внутри угла.

Ребята, при доказательстве данного утверждения и решении домашней задачи какой метод доказательства мы использовали?

(Достраивали до треугольника и использовали свойство внешнего угла треугольника).

Применение: №661 (устно ).

Решение: α = (140° – 52°) : 2 = 88° : 2 = 44°.

Вывод и доказательство утверждения о величине угла между двумя пересекающимися хордами.

Ребята, мы рассмотрели угол с вершиной вне окружности. А что, если теперь нам рассмотреть угол внутри окружности, например ∠ВЕС.

Можем продолжить стороны этого угла и

рассмотрим две пересекающиеся хорды окружности (рисунок на доске).

1. Являются ли центральными или вписанными углы, образованные пересекающимися хордами?

2. Проведём хорду АС. Какие вписанные углы при этом получились?

3. Рассмотрим вписанные углы ∠АСD и ∠САВ:

∠АСD = ∪AD; ∠САВ = ∪СВ.

4 . Неизвестный угол α — внешний угол ΔАСЕ, значит его величина равна сумме двух других углов треугольника, не смежных с ним:

α = ∠АСD + ∠САВ = ∪AD + ∪СВ = (∪AD + ∪СВ).

5. Сформулируйте гипотезу о величине угла между двумя пересекающимися хордами.

1). Угол между двумя пересекающимися хордами равен полусумме двух дуг, заключённых между этими хордами.

2). Угол с вершиной внутри круга измеряется полусуммой дуг, одна из которых расположена внутри этого угла, а другая – внутри угла, вертикального данному.

Применение: №662 (устно ).

Решение: ∠ ВЕС = (54 ° + 70°) : 2 = 124° : 2 = 64°.

Какие новые утверждения об углах, связанных с окружностью, вы сегодня узнали? Как вы получили эти новые сведения?

1. Геометрия: Учеб.для 7 – 9 кл. общеобразоват. Учреждений/Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – 10-е изд. – М.: Просвещение, 2010. – 388с.: ил.
2. Гаврилова Н.Ф. Универсальные поурочные разработки по геометрии: 8 класс. – 2-е изд., перераб. И доп. – М.: ВАКО, 2011. – 368 с. – (В помощь школьному учителю).
3. Александров А.Д. и др., Геометрия для 8 – 9 классов: Учеб. пособие для учащихся шк. и классов с углубл. изуч. математики/А.Д. Александров, А.Л. Зернер, В.И. Рыжик – М.: Просвещение, 1991. – 415 с.
4. Т.М. Мищенко, «Геометрия в таблицах. 7 – 9 классы», «АСТ. Астрель. Транзиткнига», Москва, 2005. – 40 с.
5. Е.М.Рабинович, «Математика. Задачи и упражнения на готовых чертежах. Геометрия. 7 – 9 классы», «Илекса», Москва – Харьков, 1998. – 64 с.

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Конспект урока по геометрии в 8 классе по теме «Центральные и вписанные углы»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Видео:Как понять центральные и вписанные углыСкачать

«Снятие эмоционального напряжения
у детей и подростков с помощью арт-практик
и психологических упражнений»

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

Конспект урока №53 по геометрии в 8 классе

по теме «Центральные и вписанные углы»

Закрепить понятие касательной; понятие дуги окружности, понятия центрального и вписанного углов; знание теоремы о вписанном угле. Изучить следствия из теоремы. Формировать умения решать задачи, используя свойство касательной, теорему о вписанном угле.

Развивать внимание, память, логическое мышление.

Формировать навыки работы в коллективе, воспитывать самостоятельность.

Учащиеся должны знать

П онятия: «касательная», «секущая», «дуга окружности», «центральный угол», «вписанный угол»; свойство касательной; теорему о вписанном угле.

Учащиеся должны уметь р ешать задачи, используя свойство касательной, теорему о вписанном угле.

Оборудование. Чертежные инструменты, мультимедийный комплекс, презентация или модель окружности с секущими и касательными.

Тип урока. Комбинированный.

Определение темы урока, постановка цели урока.

Фронтальный опрос (презентация)

Какой угол называют центральным углом окружности?

Центральным углом называют угол, вершина которого совпадает с центром окружности .

Какой угол называют вписанным?

Вписанным углом называют угол, вершина которого лежит на окружности , а стороны пересекают окружность.

Как измеряется вписанный угол?

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Что является угловой мерой дуги окружности?

Если дуга окружности меньше полуокружности или является полуокружностью, то угловой мерой (угловой величиной) дуги окружности является величина центрального угла, опирающегося на эту дугу.

Градусной мерой дуги ACB является градусная мера центрального угла AOB:

Градусной мерой дуги BED является градусная мера центрального угла BOD (на рисунке выше), в данном случае это 180 0 , т.е. развернутый угол.

Градусная мера большей дуги окружности ACB рассчитывается по формуле: 360 градусов минус величина угла AOB. Пример: пусть угол AOB равен 90 0 , тогда градусная мера дуги ACB равна 360 0 — 90 0 = 270 0 .

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ДИКТАНТ (презентация)

Задание : определить величину угла АОВ, если

1. Дуга А DB равна 80°

2.Дуга АС B равна 265°

3.Угол АСВ равен 35°

4.Угол АСВ равен 60°

Ученики записываю ответы в тетрадях. По окончании диктанта производится взаимопроверка.

Проверка домашней работы (презентация) №654(б,в). Два ученика представляют свое решение.

Б) Так как угол вписанный, то дуга, на которую он опирается, равна 60°. В сумме с известной дугой получаем: 60°+125°=185°. Таким образом, искомая дуга: 360°-185°=175°.

В) Известны градусные меры двух дуг, их сумма: 112°+180°=292°. Найдем дугу, на которую опирается вписанный угол: 360°-292°=68°, тогда по теореме градусная мера искомого угла: 34°

III . Формирование умений.

1.Задача по готовому рисунку (презентация).

Найти величину угла АВС, если угол АОС равен 140°.

Искомый угол АВС – вписанный, опирается на дугу АМС.

Угол АОС-центральный, следовательно, дуга АВС равна 140°. Найдем величину дуги АМС: 360°-140°=220°.

По теореме угол АВС измеряется половиной дуги АМ C , то есть равен 110°.

Ученики решают самостоятельно. Затем один из класса предлагает свое решение. Решение при необходимости дополняется или исправляется учениками.

2.Классу предлагается задача из учебника №656.

Хорда АВ стягивает дугу, равную 115°, а хорда АС — дугу в 43°. Найти угол ВАС.

Необходимо рассмотреть два случая решения. Начинаем решать задачу фронтально. Ученик у доски выполняет рисунок и предлагает свое решение. Как правило, рассматривается один из случаев. Учитель предлагает найти ребятам второе решение (работа в парах). Ученики, которые первыми выполнили задание, представляют свое решение классу.

Угол ВАС-вписанный, опирается на дугу В LC . Найдем дугу В LC : 360°-(115°+43°)=360°-158°=202°.

По теореме угол ВАС измеряется половиной дуги В LC , то есть равен 101°.

Угол ВАС-вписанный, опирается на дугу В C . Найдем величину дуги ВС: 115°- 43°=72°.

По теореме угол ВАС измеряется половиной дуги В C , то есть равен 36°.

После решения задачи классу задается ряд вопросов .

Почему задача имеет два решения?

(Не указана последовательность расположения точек А, В, С на окружности)

Чем являются отрезки ОВ, ОС?

(Радиусами) Дайте определение радиуса.

Чем являются отрезки АВ, ВС?

(Хордами) Дайте определение хорды.

Чем являются прямые АВ, ВС?

Можно ли провести прямую, которая будет иметь одну общую точку с окружностью? Как называется эта прямая?

Что вы знаете о свойстве касательной к окружности? (Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания)

3.Класс делится на группы. Учащимся предлагается решить задачу №658.

Через точку А к данной окружности проведены касательная АВ (В-точка касания) и секущая А D , проходящая через центр О ( D — точка на окружности, О лежит между А и D ). Найти угол ВА D и угол А D В, если дуга В D равна .

Рассмотрим треугольник АОВ. Так как АВ-касательная, то

Рассмотрим треугольник ВО D . ОВ и О D -радиусы, тогда треугольник ВО D -равнобедренный (по определению). По свойству равнобедренного треугольника:

.

Ответ.

После разбора решения (презентация) учитель работает с классом фронтально, задавая вопросы и предлагая выполнить задания.

Назовите центральные/ вписанные углы (задача №658). Назовите (если это возможно) их величины.

Не пользуясь транспортиром, постройте на этом же рисунке еще один угол, равный углу ОВ D .

Сколько таких углов можно построить?

Не пользуясь транспортиром, постройте на этом же рисунке вписанный угол, равный 90°.

Можно построить только один такой угол?

Ученики формулируют полученные утверждения. Затем учитель предлагает найти эти утверждения в учебнике (стр.170).

Следствие 1. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Следствие 2. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность,- прямой.

Анализ и оценка успешности деятельности и определение перспектив последующей работы.

— О чем мы сегодня вели разговор?

— Какова была цель урока?

-Как вы считает: цель урока достигнута?

-Что нового узнали?

-Как оцениваете свои знания? Все понял. Понял частично. Нужно еще разбираться в материале.

Домашнее задание П.71, п.72, п.73 стр.168-169 повторить, п.73 стр. 170 изучить

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 934 человека из 79 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 312 человек из 67 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 688 человек из 75 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 490 311 материалов в базе

Материал подходит для УМК

«Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.

§ 2. Центральные и вписанные углы

Видео:Углы, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать

Дистанционные курсы для педагогов

Другие материалы

• 20.08.2018
• 287

• 02.08.2018
• 425

• 03.07.2018
• 726

• 26.06.2018
• 3249

• 24.06.2018
• 263

• 31.05.2018
• 5718

• 30.05.2018
• 1439

• 17.05.2018
• 964

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 09.10.2018 6845 —> —> —> —>
• DOCX 362.5 кбайт —> —>
• Рейтинг: 5 из 5
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Скворцова Виктория Викторовна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 4 года и 9 месяцев
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 16968
• Всего материалов: 7

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Видео:Вписанные и центральные углы #огэ #огэматематика #математикаСкачать

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

В России утвердили новые правила аккредитации образовательных учреждений

Время чтения: 1 минута

В Роспотребнадзоре заявили о широком распространении COVID-19 среди детей

Время чтения: 1 минута

Число иностранных студентов в РФ увеличилось за три года

Время чтения: 1 минута

Ускоренный просмотр онлайн-лекций не мешает их пониманию

Время чтения: 3 минуты

В Якутске все классы, кроме девятых и одиннадцатых, перейдут на удаленку

Время чтения: 1 минута

В Петербурге дали рекомендации по переводу школьников на дистант

Время чтения: 3 минуты

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Видео:Вписанные углы в окружностиСкачать

Центральные и вписанные углы

О чем эта статья:

Видео:ЦЕНТРАЛЬНЫЙ угол ВПИСАННЫЙ угол окружности 8 класс АтанасянСкачать

Центральный угол и вписанный угол

Окружность — замкнутая линия, все точки которой равноудалены от ее центра.

Определение центрального угла:

Центральный угол — это угол, вершина которого лежит в центре окружности.
Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается.

На рисунке: центральный угол окружности EOF и дуга, на которую он опирается EF

Определение вписанного угла:

Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности.

Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается.

На рисунке: вписанный в окружность угол ABC и дуга, на которую он опирается AC

Видео:ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ . §9 геометрия 8 классСкачать

Свойства центральных и вписанных углов

Углы просты только на первый взгляд. Свойства центрального угла и свойства вписанного угла помогут решать задачки легко и быстро.

• Вписанный угол в два раза меньше, чем центральный угол, если они опираются на одну и ту же дугу:

Угол AOC — центральный, угол ABC — вписанный. Оба угла опираются на дугу AC, в этом случае центральный угол равен дуге AC, а угол ABC равен половине угла AOC.

• Теорема о центральном угле: центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается:

• Вписанные углы окружности равны друг другу, если опираются на одну дугу:

ㄥADC = ㄥABC = ㄥAEC, поскольку все три угла, вписанные в окружность, опираются на одну дугу AC.

• Вписанный в окружность угол, опирающийся на диаметр, — всегда прямой:

ㄥACB опирается на диаметр и на дугу AB, диаметр делит окружность на две равные части. Значит дуга AB = 180 ํ, ㄥCAB равен половине дуги, на которую он опирается, значит ㄥCAB = 90 ํ.

Если есть вписанный, обязательно найдется и описанный угол. Описанный угол — это угол, образованный двумя касательными к окружности. Вот так:

На рисунке: ㄥCAB, образованный двумя касательными к окружности. AO — биссектриса ㄥCAB, значит центр окружности лежит на биссектрисе описанного угла.

Для решения задачек мало знать, какой угол называется вписанным, а какой — описанным. Нужно знать, что такое хорда и ее свойство.

Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!

Хорда — отрезок, соединяющий две точки на окружности.

• Если две хорды в окружности пересекаются, то произведения отрезков одной равно произведению отрезков другой.

AB * AC = AE * AD
Получается, что стороны вписанного в окружность угла — это хорды.

• Если вписанные углы опираются на одну и ту же хорду — они равны, если их вершины находятся по одну сторону от хорды.

ㄥBAC = ㄥCAB, поскольку лежат на хорде BC.

• Если два вписанных угла опираются на одну и ту же хорду, то их суммарная градусная мера равна 180°, если их вершины находятся по разные стороны от хорды.

ㄥBAC + ㄥBDC = 180°

Видео:Геометрия 8 класс (Урок№26 - Градусная мера дуги окружности. Центральные углы.)Скачать

Примеры решения задач

Центральный, вписанные и описанные углы, как и любые другие, требуют тренировок в решении. Рассмотрите примеры решения задач и потренируйтесь самостоятельно.

Задачка 1. Дана окружность, дуга AC = 200°, дуга BC = 80°. Найдите, чему равен вписанный угол, опирающийся на дугу AB. ㄥACB = ?

Как решаем: окружность 360° − AC − CB = 360° − 200° − 80° = 80°
По теореме: вписанный угол равен дуге ½.
ㄥACB = ½ AB = 40°

Задачка 2. Дана окружность, ㄥAOC = 140°, найдите, чему равна величина вписанного угла.

Мы уже потренировались и знаем, как найти вписанный угол.
На рисунке в окружности центральный угол и дуга AC = 140°
Мы знаем, что вписанный угол равен половине центрального, то ㄥABC = ½ AC = 140/2 = 70°

Задачка 3. Чему равен вписанный в окружность угол, опирающийся на дугу, если эта дуга = ⅕ окружности?

СB = ⅕ от 360° = 72°
Вписанный угол равен половине дуги, поэтому ㄥCAB = ½ от CB = 72° / 2 = 36°

🌟 Видео

Вписанные и центральные углыСкачать

8 класс, 34 урок, Теорема о вписанном углеСкачать

Всё про вписанные и центральные углы за 4 минуты | Борис Трушин |Скачать

Угол между хордой и касательнойСкачать

Вписанные и центральные углыСкачать

Задача 6 №27859 ЕГЭ по математике. Урок 104Скачать

ВПИСАННЫЙ УГОЛ окружности ТЕОРЕМА 8 класс АтанасянСкачать

Центральный и вписанный угол в окружности. Урок 1 геометрия 8 классСкачать

Геометрия 8 класс. Центральный и вписанный уголСкачать

Вписанный угол, который опирается на диаметрСкачать