Уравнение фигуры — это уравнение с двумя переменными x и y, для которого выполняются два условия: 1) координаты любой точки фигуры F удовлетворяют этому уравнению.
Содержание:
- Понятие уравнения фигур
- Уравнение прямой
- Уравнения окружности и сферы
- Пример 2.
- Векторное уравнение прямой. Уравнение окружности, сферы, плоскости.
- Уравнения сферы, плоскости и прямой презентация к уроку по геометрии (10, 11 класс)
- Скачать:
- Предварительный просмотр:
- Подписи к слайдам:
- По теме: методические разработки, презентации и конспекты
- 📺 Видео
Понятие уравнения фигур
Название этого раздела означает: геометрические фигуры можно задавать уравнениями (некоторые фигуры можно задавать неравенствами).
Известно, что точки плоскости и пространства задаются их координатами, геометрические фигуры могут задаваться уравнениями или неравенствами: — уравнение прямой; — уравнение окружности; — уравнение сферы и т. д.
Говорят, что фигура F задается уравнением в прямоугольных координатах, если точка принадлежит фигуре F тогда и только тогда, когда координаты этой точки удовлетворяют данному уравнению. Это означает, что выполняются два условия:
1. Если точка принадлежит фигуре F, то ее координаты удовлетворяют данному уравнению.
2. Если числа х, у, г удовлетворяют данному уравнению, то точка с такими координатами принадлежит фигуре F.
Второе условие можно выразить иначе: координаты любой точки, не принадлежащей фигуре F, не удовлетворяют данному уравнению.
Например, прямая, перпендикулярная оси Ох и проходящая через точку М(2, 0), на оси Ох задается уравнением х = 2 (рис. 2.461). Действительно, каждая точка, лежащая на этой прямой, имеет одну и ту же координату 2. А любая точка, не лежащая на этой прямой, имеет другое значение координаты х, нежели 2. Ось Оу задается уравнением х = 0.
Аналогично прямая, перпендикулярная оси Оу и проходящая через точку Щ0, 3), имеет уравнение у = 3 (рис. 2.462). Ось Ох имеет уравнение у = 0.
Уравнение прямой
Можно доказать такую теорему.
Теорема 3. Любая прямая в декартовой системе координат хОу имеет уравнение вида — некоторые числа.
Выясним, как расположена прямая относительно осей координат, если ее уравнение имеет тот или иной частный вид.
1. В этом случае уравнение прямой можно переписать так:
Таким образом, все точки прямой имеют одну и ту же ординату ; следовательно, прямая параллельна оси х (рис. 2.463). В частности, если с = 0, то прямая совпадает с осью Ох.
2. Этот случай рассматривается аналогично. Прямая параллельна оси Оу (рис. 2.464) и совпадает с ней, если и с = 0.
3. с = 0. Прямая проходит через начало координат, так как его координаты (0; 0) удовлетворяют уравнению прямой (рис. 2.465).
Если в общем уравнении прямой коэффициент при у не равен нулю, то это уравнение можно разрешить относительно у. Получим: Или, обозначая получим: у = kх + d.
Коэффициент k в уравнении прямой с точностью до знака равен тангенсу острого угла, который образует прямая с осью Ох. В уравнении прямой, изображенной на рисунке 2.466, k > 0.
Коэффициент k в уравнении прямой называют угловым коэффициентом прямой.
Уравнения окружности и сферы
Составим уравнение окружности с центром в точке и радиусом R (рис. 2.467).
1. Возьмем произвольную точку А(х, у) на окружности. Расстояние от нее до центра О равно R.
2. Квадрат расстояния от точки А до точки О равен (формула расстояния между точками).
3. Координаты х, у каждой точки А окружности удовлетворяют уравнению
(2, определение окружности).
Получили искомое уравнение. Обратно: любая точка А, координаты которой удовлетворяют уравнению окружности, принадлежит окружности, так как расстояние от нее до точки О равно R. Отсюда следует, что данное уравнение действительно является уравнением окружности с центром в точке О и радиусом R.
Заметим, что если центром окружности является начало координат, то уравнение окружности имеет вид:
Выведем теперь уравнение сферы. Пусть в пространстве введена прямоугольная система координат и задана сфера S с центром и радиусом R. Эта сфера есть множество точек М, для которых расстояние от А равно R, т. е. AM = R (рис. 2.468).
Пусть х, у, z — координаты точки М. Согласно формуле расстояния между точками в пространстве, предыдущее равенство можно записывать в координатах так:
Это и есть уравнение сферы S с центром и радиусом R, т. е. множество точек, координаты которых удовлетворяют данному уравнению, представляет собой сферу S (рис. 2.468).
Если центр А находится в начале координат, т. е. то уравнение получает простой вид:
Рассмотрим шар с центром и радиусом R (рис. 2.469).
По определению, это множество точек М, для которых , т. е. . Выражая расстояние AM через координаты точки М(х, у, z), получим:
Это неравенство задает шар S с центром и радиусом R, так как оно равносильно неравенству , задающему такой шар по самому его определению.
Если центр шара находится в начале координат, то уравнение шара упрощается и имеет вид:
Два предприятия A и В производят продукцию с одной и той же ценой т за одно изделие. Однако автопарк, обслуживающий предприятие А, оснащен более современными и более мощными грузовыми автомобилями. В результате транспортные расходы на перевозку одного изделия составляют для предприятия А 10 руб. на 1 км, а для предприятия В 20 руб. на 1 км. Расстояние между предприятиями 300 км. Как территориально должен быть разделен рынок сбыта между двумя предприятиями для того, чтобы расходы потребителей при покупке изделий были минимальными?
Решение:
1. Выберем систему координат так, чтобы ось Ох проходила через пункты А и В, а ось Оу — через точку А (построение) (рис. 2.470).
2. Пусть N — произвольная точка, — расстояния от точки N до предприятий А и Б (рис. 2.471).
3. При доставке груза из пункта А расходы равны (1,2).
4. При доставке груза из пункта Б расходы равны (1,2).
5. Если для пункта N выгоднее доставлять груз с предприятия А, то откуда , в обратном случае получим (3,4).
6. Таким образом, границей этих двух областей для каждой точки, до которой расходы на перевозку груза из пунктов А и Б равны, будет множество точек плоскости, удовлетворяющих уравнению (5)
7. Выразим через координаты:
(1,2, формула расстояния между точками).
8. Имея в виду равенство из п. 6, получим:
(6,7).
9. Это есть уравнение окружности (рис. 2.472).
Следовательно, для всех пунктов, попадающих во внутреннюю область круга, выгоднее привозить груз из пункта В, а для всех пунктов, попадающих во внешнюю часть круга, — из пункта А.
Пример 2.
Два наблюдаемых пункта находятся в точках Пункт наблюдения О находится на прямой АВ и удален от точки А на расстояние км, а от В на расстояние с км (с > ). Наблюдатель для безопасности должен идти по такому пути, чтобы расстояние от него до пункта А все время оставалось в два раза больше, чем расстояние от него до пункта В. По какой линии должен идти наблюдатель?
Решение:
Из условий задачи имеем:
1. Два наблюдаемых пункта находятся в точках
2. Пункт наблюдения О находится на прямой АВ и удален от А на расстоянии км, а от В — с км (с > ).
3. Наблюдатель идет так, чтобы расстояние до пункта А было в два раза больше, чем до В.
4. По какой линии должен идти наблюдатель?
5. Примем за начало координат наблюдательный пункт О и направление оси Ох будет проходить через пункты А и В (по условию задачи эти три точки находятся на одной прямой) (рис. 2.473).
6. Пусть наблюдатель находится в точке М(х, у). Вычислим расстояние от наблюдателя до пунктов А и В (рис. 2.473):
(1, 2, 3, 5, формула расстояния между точками).
7. По условию задачи имеем: МА = 2MB, т. е.
(3, 6).
8. Решая это уравнение, получим:
9. Раскроем скобки и перегруппируем:
10. Наблюдатель должен идти по окружности с центром и радиусом (4, уравнение окружности).
Эта лекция взята со страницы полного курса лекций по изучению предмета «Математика»:
Смотрите также дополнительные лекции по предмету «Математика»:
Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔
Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.
Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.
Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.
Видео:11 класс, 20 урок, Уравнение сферыСкачать
Векторное уравнение прямой. Уравнение окружности, сферы, плоскости.
Технологическая карта (план) занятия №72
Векторное уравнение прямой. Уравнение окружности, сферы, плоскости.
Практическая работа №36
Учебная: формировать навыки составления векторного уравнения
прямой, плоскости, окружности и сферы в
пространстве по заданным координатам;
дать понятие нормального вектора к плоскости;
научить применять знания, полученные при изучении
данной темы, для решения задач ;
Воспитательная: воспитывать внимательность, аккуратность
Развивающая: развивать пространственное и логическое
ф ормировать грамотную математическую речь .
Работать в коллективе и команде, эффективно взаимодействовать с коллегами, руководством, клиентами (ОК 4.)
Осуществлять устную и письменную коммуникацию на государственном языке с учетом особенностей социального и культурного контекста (ОК 5.)
Наглядные пособия: мультимедиа презентация;
Раздаточный материал: таблица канва для заполнения;
Технические средства обучения: ноутбук, проектор;
Учебные места (для лаб. работ, прак. занятий): 204 аудитория.
Литература: 1) Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия: учеб. для студ. учреждений сред. проф. образования/ М.И.Башмаков. 2) Геометрия 10-11 класс Л. С. Атанасян, М.: Просвещение
3) Геометрия. 11 класс: поурочные планы по учебнику Л.С. Атанасяна [и др.]/авт.- сост. Г.И. Ковалева. Волгоград: Учитель, 2015.
-проверка присутствующих на занятии;
-проверка готовности учащихся к занятию;
-формулировка целей занятия.
1. В конце занятия обучающиеся сдают тетради на проверку
2. Заполнить таблицу-канву (предлагается нанести обозначения, вписать формулы на заготовленную таблицу канву по теме прошлого урока)
Изучение нового материала. (стр 81,87, уч(1))
Прямая, параллельная оси Оу , задается уравнением вида х = с . Аналогично, прямая, параллельная оси Ох , задается уравнением вида у = с .
Если известны две точки пространства , то уравнения прямой, проходящей через данные 2 точки , выражаются формулами:
Если известна некоторая точка пространства , принадлежащая прямой, и направляющий вектор данной прямой, то канонические уравнения этой прямой выражаются формулами :
Задача №1. Составить канонические уравнения прямой по точке и направляющему вектору
Решение : Канонические уравнения прямой составим по формуле:
Ответ :
Задача №2. Составить канонические уравнения прямой проходящей по двум точкам:
Решение : Канонические уравнения прямой составим по формуле:
Подставим в уравнение координаты точек М 1 и М 2 :
Подставим координаты точки в полученные уравнения:
Получены верные равенства.
Подставим координаты точки :
Получены верные равенства.
Уравнение прямой проходящей через 1 данную точку с нормальным вектором :
Определение: Нормальный вектор – вектор, перпендикулярный прямой.
На плоскости дана точка М0(х0, у0, z 0) и вектор .
Составить уравнение прямой на плоскости, проходящей через точку М 0 перпендикулярно вектору.
Рассмотрим еще одну точку прямой
М(х, у, z ), тогда вектор
лежит на данной прямой.
Тогда уравнение прямой, проходящей через данную точку и нормальный вектор, выражается формулой:
Задача №3 . В пространстве дана точка М 0 (2;-3;0) и вектор. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору .
Решение : Канонические уравнения прямой составим по формуле:
2. Уравнение плоскости.
Плоскость можно задать одной содержащейся в ней точкой Р 0 ( и вектором , перпендикулярным этой плоскости (его называют вектором нормали к плоскости). Необходимым и достаточным условием того, что точка Р(х принадлежит плоскости, является следующее равенство: . Задав координаты нормали , получим уравнение плоскости в координатной форме: А(х-х 0 )+В(у-у 0 )+С( z — z 0 )=0. раскроем скобки и обозначим число (Ах 0 +Ву 0 +С z 0 ) за D .
Получим уравнение плоскости в виде Ах+Ву+С z + D =0
Замечание: Вектор можно умножать на любое число
Задача №4 . Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М(1;-2;3) перпендикулярно вектору
Задача №5 . Составьте уравнение плоскости, проходящей через 3 точки:
Видео:9 класс, 7 урок, Уравнение прямойСкачать
Уравнения сферы, плоскости и прямой
презентация к уроку по геометрии (10, 11 класс)
Уравнения сферы, плоскости и прямой
Видео:ГЕОМЕТРИЯ 9 класс: Уравнение окружности и прямойСкачать
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
uravneniya_sfery_ploskosti_i_pryamoy.ppt | 1.87 МБ |
Предварительный просмотр:
Видео:УРАВНЕНИЕ ОКРУЖНОСТИСкачать
Подписи к слайдам:
Понятие сферы и её элементов Уравнение сферы в заданной системе координат СФЕРА УРАВНЕНИЕ СФЕРЫ
Тело вращения — сфера
Определение сферы Элементы сферы Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки. т.О — центр сферы ОА – радиус сферы. Любой отрезок, соединяющий центр и какую-нибудь точку сферы называется радиусом сферы. ВС – диаметр сферы. Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через ее центр, называется диаметром сферы d=2r
? Какие из тел, изображенных на рисунках, являются сферой? 1 2 3 4 5 6
На плоскости В пространстве L М(х;у) х у L Сформулируйте определение линии L на плоскости Уравнение с двумя переменными х и у называется уравнением линии L , если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки линии L и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой линии Уравнение с тремя переменными х,у, z называется уравнением поверхности, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки поверхности и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой поверхности Х z Сформулируйте определение уравнения поверхности в пространстве Х у М(х;у; z ) •
На плоскости В пространстве М(х;у) х у х у z (х;у; z ) С
Частные случаи 1.Уравнение окружности с центром в т.О(0;0) и радиусом r 1.Уравнение сферы с центром в т.О(0;0;0) и радиусом R
Выбрать из предложенных уравнений – уравнение сферы: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 1.Ур-е окружности 2.Ур-е сферы 3.Ур-е прямой 4.Ур-е сферы 5.Ур-е параболы 6.Ур-е сферы 7.Ур-е сферы 8. ?
В данных уравнениях определите координаты центра сферы и радиус 1. 2. 3. 4.
Составьте уравнение сферы по следующим данным центра и радиуса сферы: Дано: С(-2;8;1); R =11 Дано: А(3;-2;0); R =0,7 Дано: О(0;0;0); R =1 Проверяем ответы:
Задача Определить принадлежит ли т.А сфере, заданной уравнением если: а) т.А(5;-2;6) б) т.А(-5;2;6) Решение: Равенство верное , следовательно А(5;-2;6) принадлежит сфере Равенство неверное , следовательно А(5;-2;6) не принадлежит сфере
Уравнение плоскости и прямой
совпадают, если существует такое число k , что параллельны, если существует такое число k , что В остальных случаях плоскости пересекаются.
Если известна какая-нибудь точка плоскости M 0 и какой-нибудь вектор нормали к ней , то через заданную точку можно провести единственную плоскость, перпендикулярную данному вектору. Общее уравнение плоскости будет иметь вид: n (A;B;C) M 0
Чтобы получить уравнение плоскости , имеющее приведённый вид, возьмём на плоскости произвольную точку M( x ; y ; z ) . Эта точка принадлежит плоскости только в том случае, когда вектор перпендикулярен вектору (рис), а для этого, необходимо и достаточно, чтобы скалярное произведение этих векторов было равно нулю, т.е. Вектор задан по условию. Координаты вектора найдём по формуле : Теперь, используя формулу скалярного произведения векторов , выразим скалярное произведение в координатной форме:
Используем формулу A ( x — x 0 )+B(y-y 0 )+C(z-z 0 )=0
Уравнение прямой в пространстве Поскольку прямую в пространстве можно рассматривать как линию пересечения двух плоскостей, то одним из способов аналитического задания прямой в пространстве является задание с помощью системы из двух уравнений задающих пару пересекающихся плоскостей.
Уравнение прямой в пространстве Прямую, проходящую через точку A 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) с направляющим вектором ( a , b , c ) можно задавать параметрическими уравнениями В случае, если прямая в пространстве задается двумя точками A 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ), A 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ), то, выбирая в качестве направляющего вектора вектор ( x 2 — x 1 , y 2 — y 1 , z 2 — z 1 ) и в качестве точки А 0 точку А 1 , получим следующие уравнения
Упражнение 1 Какими уравнениями задаются координатные прямые? Ответ: Ось Ox Ось O y Ось O z
Упражнение 2 Напишите параметрические уравнения прямой, проходящей через точку А (1,-2,3) с направляющим вектором, имеющим координаты (2,3,-1). Ответ:
Упражнение 3 Напишите параметрические уравнения прямой, проходящей через точки А 1 (-2,1,-3), А 2 (5,4,6). Ответ:
Упражнение 4 Напишите параметрические уравнения прямой, проходящей через точку M (1,2,-3) и перпендикулярную плоскости x + y + z + 1 = 0. Ответ:
Упражнение 5 В каком случае параметрические уравнения определяют перпендикулярные прямые? Ответ: Если выполняется равенство a 1 a 2 +b 1 b 2 +c 1 c 2 = 0 .
Видео:УРАВНЕНИЯ ОКРУЖНОСТИ И ПРЯМОЙ 9 класс геометрияСкачать
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Практическая работа «Построение углов между плоскостями, между прямой и плоскостью»
Практическая работа по геометрии ,10 класс. Хотя данную работу можно провести при подготовке к ЕГЭ по математике, при решении задач типа С2. Работа содержит 8 заданий на построение угла между прямой и.
Тест по теме «Параллельность прямых и плоскостей. Перпендикулярность прямых в пространстве» (геометрия 10 класс)
Данный тест можно предложить учащимся как входной перед изучением темы «Многогранники».
Параллельность прямых и плоскостей. Параллельные прямые в пространстве
Урок-презентация по геометрии 10 класс.
Тесты по теме «Прямые в пространстве. Параллельность прямых, прямой и плоскости», «Перпендикулярность прямых, прямой и плоскости»
Тесты предназначены для проверки усвоенияследующих понятий и определений: взаимное расположение прямых в пространстве, определение скрещивающихся прямых, определение параллельных прямых, признак парал.
Расстояние от точки до плоскости, от прямой до плоскости, расстояние между плоскостями, между скрещивающимися прямыми, между произвольными фигурами в пространстве
Материал для практической работы «Расстояние от точки до плоскости, от прямой до плоскости, расстояние между плоскостями, между скрещивающимися прямыми, между произвольными фигурами в пространств.
Расстояние от точки до плоскости, от прямой до плоскости
Материал для практической работы «Расстояние от точки до плоскости, от прямой до плоскости".
Составление уравнений сферы, плоскости, прямой.
Составление уравнений сферы, плоскости, прямой.
📺 Видео
Уравнение окружности (1)Скачать
Геометрия 11 класс: Сфера и шар. Уравнение сферы. Площадь сферыСкачать
11 класс, 19 урок, Сфера и шарСкачать
№578. Найдите координаты центра и радиус сферы, заданной уравнением: а) х2+y2+z2 = 49; б) (x — 3)2Скачать
Геометрия. 10 класс. Уравнение сферы /16.03.2021/Скачать
Уравнение прямой. Урок 6. Геометрия 9 классСкачать
11 класс, 24 урок, Взаимное расположение сферы и прямойСкачать
Геометрия 9 класс (Урок№9 - Уравнение линии на плоскости. Уравнение окружности. Уравнение прямой.)Скачать
Геометрия 11 класс (Урок№8 - Сфера и шар.)Скачать
Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать
Уравнение Окружности, Круга, Сферы и шара в Декартовой системе координат.Скачать
Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.Скачать
9 класс, 6 урок, Уравнение окружностиСкачать
Уравнение окружности. Практика. Урок 7. Геометрия 9 классСкачать