Определение биссектрисы треугольника по атанасяну (7 видео)

ВСЕ определения и теоремы по учебнику Атанасяна

Геометрия 7 класс

1) Смежными углами называют два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями одна другой;

2) Вертикальными угламиназываются углы если стороны одного угла являются продолжениями другого.

3) Перпендикулярными прямыминазываются две пересекающиеся прямые, если они образуют четыре прямых угла.

4) Периметром треугольниканазывается сумма длин всех сторон.

5) Первый признак треугольника:Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

6) Перпендикуляр к прямой: Из точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой и при том только один.

7) Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

8) Биссектрисой треугольника называетсяотрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны.

9) Высотой треугольника называетсяперпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.

10) Замечательное свойство треугольника:В любом треугольнике медианы пересекаются в одной точке, биссектрисы пересекаются в одной точке, высоты или их продолжения так же пересекаются в одной точке.

11) Равнобедренным треугольником называется треугольник, если две его стороны равны.

12) Равные стороны равнобедренного треугольниканазываются боковыми сторонами, а третья сторона – основанием.

13) Равносторонним треугольником называется треугольник, все стороны которого равны.

14) 1 свойство равнобедренного треугольника: в равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

15) 2 свойство равнобедренного треугольника: в равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой.

16) Следствие 1:Высота равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является медианой и биссектрисой.

17) Следствие 2: Медианаравнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является высотой и биссектрисой.

18) Второй признак равенства треугольника:Если сторона, и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

19) Третий признак равенства треугольников: Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

20) Параллельными прямыми называютсядве прямые, лежащие на плоскости, если они не пересекаются.

21) Признаки параллельности двух прямых: 1)Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. 2)Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны. 3)Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180 градусов, то прямые параллельны.

22) Аксиомами называются исходные положения в геометрии.

23) Аксиомы: 1)Через любые две точки проходит прямая, и при том только одна. 2)На любом луче от его начала можно отложить отрезок, равный данному, и при том только один. 3)От любого луча, в заданную сторону можно отложить угол, равный данному, не развёрнутому углу, и при том только один.

24) Аксиомы параллельных прямых:Через точку, не лежащую на данной прямой проходит только одна прямая, параллельная данной.

25) Следствие 1:Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.

26) Следствие 2: Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

27) Теорема об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей:

Теорема 1:Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.

Следствие 1:Если прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой.

Теорема 2: Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.

Теорема 3: Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 180 градусов.

28) Теорема о сумме углов треугольников:Сумма углов треугольников равна 180 градусов.

29) Внешним углом треугольника называется угол, смежный с каким-нибудь углом этого треугольника. Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.

30) В любом треугольнике либо все углы острые, либо два угла острые, а третий тупой, или прямой.

31) Треугольник называется остроугольным,если все три угла острые.

32) Треугольник называется тупоугольным,если один из углов тупой.

33) Треугольник называется прямоугольным,если один из углов прямой.

34) Гипотенуза —это сторона прямоугольного треугольника, лежащая против прямого угла.

35) Катет – это другая сторона прямоугольного треугольника.

36) Теорема о соотношении между сторонами и углами треугольника: 1) В треугольнике против большей стороны лежит больший угол; 2) Против большего угла лежит большая сторона.

Следствие 1: В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.

Следствие 2: Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный.

37) Теорема «Неравенство треугольника»:

Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон

Следствие:Для любых трёх точек А, В, С не лежащих на одной прямой справедливо неравенство: АВ

Содержание

Определение и свойства биссектрисы угла треугольника
Определение биссектрисы угла треугольника
Свойства биссектрисы треугольника
Свойство 1 (теорема о биссектрисе)
Свойство 2
Свойство 3
Свойство 4
Свойство 5
Пример задачи
Урок по геометрии 7 класс( Атанасян) «Медиана, биссектриса,высота в треугольнике»
Описание презентации по отдельным слайдам:
💥 Видео

Видео:Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать

Определение и свойства биссектрисы угла треугольника

В данной публикации мы рассмотрим определение и основные свойства биссектрисы угла треугольника, а также приведем пример решения задачи, чтобы закрепить представленный материал.

Видео:Формула для биссектрисы треугольникаСкачать

Определение биссектрисы угла треугольника

Биссектриса угла – это луч, который берет начала в вершине угла и делит данный угол пополам.

Биссектриса треугольника – это отрезок, соединяющий вершину угла треугольника с противоположной стороной и делящий этот угол на две равные части. Такая биссектриса, также, называется внутренней.

Основание биссектрисы – точка на стороне треугольника, которую пересекает биссектриса. Т.е. в нашем случае – это точка D.

Внешней называется биссектриса угла, смежного с внутренним углом треугольника.

Видео:Свойство биссектрисы треугольника с доказательствомСкачать

Свойства биссектрисы треугольника

Свойство 1 (теорема о биссектрисе)

Биссектриса угла треугольника делит его противоположную сторону в пропорции, равной отношению прилежащих к данному углу сторон. Т.е. для нашего треугольника (см. самый верхний рисунок):

Свойство 2

Точка пересечения трех внутренних биссектрис любого треугольника (называется инцентром) является центром вписанной в фигуру окружности.

Свойство 3

Все биссектрисы треугольника в точке пересечения делятся в отношении, равном сумме прилежащих к углу сторон, деленной на противолежащую сторону (считая от вершины).

Свойство 4

Если известны длины отрезков, образованных на стороне, которую пересекает биссектриса, а также две другие стороны треугольника, найти длину биссектрисы можно по формуле ниже (следует из теоремы Стюарта):

BD 2 = AB ⋅ BC – AD ⋅ DC

Свойство 5

Внешняя и внутренняя биссектрисы одного и того же угла треугольника перпендикулярны друг к другу.

CD – внутренняя биссектриса ∠ACB;
CE – биссектриса угла, смежного с ∠ACB;
∠DCE равен 90°, т.е. биссектрисы CD и CE перпендикулярны.

Видео:7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построениеСкачать

Пример задачи

Дан прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см. Найдите длину биссектрисы, проведенной к гипотенузе.

Решение
Нарисуем чертеж согласно условиям задачи.

Применив теорему Пифагора мы можем найти длину гипотенузы (ее квадрат равен сумме квадратов двух катетов).
BC 2 = AB 2 + AC 2 = 6 2 + 8 2 = 100.
Следовательно, BC = 10 см.

Далее составляем пропорцию согласно Свойству 1, условно приняв отрезок BD на гипотенузе за “a” (тогда DC = “10-a”):

Избавляемся от дробей и решаем получившееся уравнение:
8a = 60 – 6a
14a = 60
a ≈ 4,29

Таким образом, BD ≈ 4,29 см, CD ≈ 10 – 4,29 ≈ 5,71 см.

Теперь мы можем вычислить длину биссектрисы, использую формулу, приведенную в Свойстве 4:
AD 2 = AB ⋅ AC – BD ⋅ DC = 6 ⋅ 8 – 4,29 ⋅ 5,71 ≈ 23,5.

Видео:Построение биссектрисы угла. 7 класс.Скачать

Урок по геометрии 7 класс( Атанасян) «Медиана, биссектриса,высота в треугольнике»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Описание презентации по отдельным слайдам:

ГБОУ СОШ «ОЦ» «Южный город»

ГБОУ СОШ «ОЦ» «Южный город»
План-конспект дистанционного урока по геометрии в 7 классе@
Тема урока: «Медиана, биссектриса и высота треугольника»

Приготовила учитель математики высшей квалификационной категории:
Орлова Яна Юрьевна
@Класс: 7
Конспект дистанционного урока по математике в 7 классе на платформе Viber (Скачать)
Тема: «Медиана, биссектриса и высота треугольника» #

УМК : Атанасян ; Геометрия 7-9
В данном конспекте урока поэтапно формируются математические понятия: высота, медиана и биссектриса треугольника. А также отражена система упражнений, связанная с формированием данных понятий.

Тема: Медиана, биссектриса и высота треугольника.
Цели урока:
Общеобразовательные: ввести понятие перпендикуляра к прямой, медианы, биссектрисы и высоты треугольника; сформировать умение строить медианы, биссектрисы и высоты треугольника.
Развивающие: формирование мировоззрения учащихся, развитие мышления, пространственного воображения, навыков саморегуляции, развитие устойчивого познавательного интереса к изучению геометрии.
Воспитательные: воспитание активности, ответственности, культуры общения; воспитание эстетической культуры, воспитание графической культуры школьников.
Тип урока: урок изучения нового материала.
Формы организации учебной деятельности: коллективная, индивидуальная.
Ход урока:
1.Организационный момент.
Здравствуйте ребята! Приготовились к уроку. Проверьте готовность к уроку: у вас на столе лежат: тетрадь, учебник, ручка, карандаш, линейка, транспортир. Записываем число в рабочей тетради.

2.Эмоционально-психологический настрой.
— Сегодня у нас урок геометрии. Давайте настроимся на нашу совместную деятельность.

3. Сообщение темы урока. Целеполагание.
Постановка проблемных вопросов.
-Ребята, пожалуйста, посмотрите на рисунок и скажите,
что изображено на нем?

-Предположите, какая у нас сегодня будет тема урока?
Молодцы, ребята!
Сегодня мы продолжим изучать треугольник.

Тема сегодняшнего урока: «Медиана, биссектриса и высота треугольника».

-Зная тему урока, определите ее цель. Напишите или озвучьте цель урока.
-Молодцы, правильно,
Цель урока: «Узнать какие понятия называются: высотой, медианой и биссектрисой треугольника, выполнять их построение».
-Ребята, что называется высотой треугольника, медианой и биссектрисой мы прочитаем на слайде, записывать не будет, это сделаете после урока, а наша задача сегодня состоит в построении этих элементов в треугольнике.

4. Актуализация знаний. Мотивация

Кто из вас не слышал о загадочном Бермудском треугольнике, в котором бесследно исчезают корабли и самолёты? (Он находится в Атлантическом океане между Бермудскими островами, государством Пуэрто – Рико и полуостровом Флорида).А ведь знакомый всем нам треугольник также таит в себе немало интересного и загадочного!
5. Физкультминутка. https://ok.ru/video/304599468670

6. Изучение нового материала.
a) Самостоятельное изучение материала, каждая ученик знакомится с планом построения:
1 «Медиана треугольника», 2 «Высота треугольника»,
3 «Биссектриса треугольника».
б) Работу осуществить по следующему алгоритму:
1.Изучить плана построения;
2. Постараться выполнять каждый шаг в точности, как показано на слайдах.
3. Сделать вывод.
Напутствие: «Помните, что успех зависит от того, насколько
каждый проявит своё внимание.@»

1. Медиана.
Начертите треугольник АВС: АВ=7см; ВС=5см; АС=6см. Постройте медианы треугольника АВС (см. слайды).

-Сколько медиан можно провести в треугольнике?
Ответ : Конечно три медианы в треугольнике!
Вывод:
-Какое свойство медиан вы заметили?
(В любом треугольнике все медианы пересекаются в одной точке).
-Эта точка называется центром тяжести треугольника.
Обратите внимание на опознавательные знаки на чертеже.

2. Высота
Начертите треугольник АВС (остроугольный)
-Постройте высоты в треугольнике.(см. файлы)

-Обладают ли высоты аналогичным свойством, что и медианы? (Да).

-Сколько высот можно провести в треугольнике?
Ответ : Конечно три высоты в треугольнике!
Вывод:
-Какое свойство высот вы заметили?
(В любом треугольнике все медианы пересекаются
в одной точке).
Обратите внимание на опознавательные знаки на чертеже.

3. Биссектриса.
-Постройте еще один треугольник АВС ∟А=700;∟С=500; ∟ В=600.
Треугольник желательно постойте на пол страницы, для удобства построения.
-Теперь постройте биссектрису ВВ1 угла В с помощью транспортира. Она пересечёт отрезок АС в точке В1 и т.д. Постройте биссектрисы в вашем треугольнике. (см. слайды)

-Сколько биссектрис можно провести в треугольнике?
Ответ : Конечно три биссектрисы в треугольнике!
-Обладают ли биссектрисы аналогичным свойством, что и медианы и высоты? (Да).
Вывод:
-Какое свойство биссектрис вы заметили?
(В любом треугольнике все биссектрисы пересекаются в одной точке).
Обратите внимание на опознавательные знаки на чертеже.

10. Контроль знаний.
Построение высот, биссектрис и медиан треугольника.
-ребята, вы должны сбросить мне в личку ваши построения. В тетради напишите фамилию, класс.
11. Подведение итогов урока. Оценивание. (после проверки)
-Какую цель вы ставили в начале урока?
-Добились ли вы цели нашего урока?
-Оцените, пожалуйста, свою работу на уроке (все ли было понятно, над чем еще нужно работать. )
12. Домашнее задание.
1) Записать и выучить определения высоты, биссектрисы, медианы.
2) Построить высоту, медиану и биссектрису в треугольниках со своими данными.
3)Творческое задание: сделать видео , с комментариями построения высоты,
медианы и биссектрисы в треугольнике.
4) ПОЛЕЗНЫЕ ССЫЛКИ ДЛЯ ВЫПОЛННИЯ ДОМАШНЕГО ЗАДАНИЯ
https://vk.com/video332174634_171477045
https://ok.ru/video/1229196840

13. Рефлексия, обратная связь
Поставить смайлики на вопросы

Стратегия «Незаконченные предложения»
1) У меня получилось

2) не получилось

— 3) Мне понравилось 4) мне не понравилось

Самым трудным сегодня было построить
5) высоту 6) биссектрису 7) медиану

14. Итог
— Спасибо, ребята! На этом урок окончен, до встречи!
Берегите себя и своих близких!