Уравнение касательной двум окружностям

Поиск общих касательных к двум окружностям

Даны две окружности. Требуется найти все их общие касательные, т.е. все такие прямые, которые касаются обеих окружностей одновременно.

Описанный алгоритм будет работать также в случае, когда одна (или обе) окружности вырождаются в точки. Таким образом, этот алгоритм можно использовать также для нахождения касательных к окружности, проходящих через заданную точку.

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнение касательной.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнение касательной.

Количество общих касательных

Сразу отметим, что мы не рассматриваем вырожденные случаи: когда окружности совпадают (в этом случае у них бесконечно много общих касательных), или одна окружность лежит внутри другой (в этом случае у них нет общих касательных, или, если окружности касаются, есть одна общая касательная).

В большинстве случаев, две окружности имеют четыре общих касательных.

Если окружности касаются, то у них будет три обших касательных, но это можно понимать как вырожденный случай: так, как будто две касательные совпали.

Более того, описанный ниже алгоритм будет работать и в случае, когда одна или обе окружности имеют нулевой радиус: в этом случае будет, соответственно, две или одна общая касательная.

Подводя итог, мы, за исключением описанных в начале случаев, всегда будем искать четыре касательные. В вырожденных случаях некоторые из них будут совпадать, однако тем не менее эти случаи также будут вписываться в общую картину.

Видео:Уравнение касательной в точке. Практическая часть. 1ч. 10 класс.Скачать

Уравнение касательной в точке. Практическая часть. 1ч. 10 класс.

Алгоритм

В целях простоты алгоритма, будем считать, не теряя общности, что центр первой окружности имеет координаты Уравнение касательной двум окружностям. (Если это не так, то этого можно добиться простым сдвигом всей картины, а после нахождения решения — сдвигом полученных прямых обратно.)

Обозначим через Уравнение касательной двум окружностями Уравнение касательной двум окружностямрадиусы первой и второй окружностей, а через Уравнение касательной двум окружностям— координаты центра второй окружности (точка Уравнение касательной двум окружностямотлична от начала координат, т.к. мы не рассматриваем случае, когда окружности совпадают, или одна окружность находится внутри другой).

Для решения задачи подойдём к ней чисто алгебраически. Нам требуется найти все прямые вида Уравнение касательной двум окружностям, которые лежат на расстоянии Уравнение касательной двум окружностямот начала координат, и на расстоянии Уравнение касательной двум окружностямот точки Уравнение касательной двум окружностям. Кроме того, наложим условие нормированности прямой: сумма квадратов коэффициентов Уравнение касательной двум окружностями Уравнение касательной двум окружностямдолжна быть равна единице (это необходимо, иначе одной и той же прямой будет соответствовать бесконечно много представлений вида Уравнение касательной двум окружностям). Итого получаем такую систему уравнений на искомые Уравнение касательной двум окружностям:

Уравнение касательной двум окружностям

Чтобы избавиться от модулей, заметим, что всего есть четыре способа раскрыть модули в этой системе. Все эти способы можно рассмотреть общим случаем, если понимать раскрытие модуля как то, что коэффициент в правой части, возможно, умножается на Уравнение касательной двум окружностям.

Иными словами, мы переходим к такой системе:

Уравнение касательной двум окружностям

Введя обозначения Уравнение касательной двум окружностями Уравнение касательной двум окружностям, мы приходим к тому, что четыре раза должны решать систему:

Уравнение касательной двум окружностям

Решение этой системы сводится к решению квадратного уравнения. Мы опустим все громоздкие выкладки, и сразу приведём готовый ответ:

Уравнение касательной двум окружностям

Итого у нас получилось Уравнение касательной двум окружностямрешений вместо Уравнение касательной двум окружностям. Однако легко понять, в каком месте возникают лишние решения: на самом деле, в последней системе достаточно брать только одно решение (например, первое). В самом деле, геометрический смысл того, что мы берём Уравнение касательной двум окружностями Уравнение касательной двум окружностям, понятен: мы фактически перебираем, по какую сторону от каждой из окружностей будет прямая. Поэтому два способа, возникающие при решении последней системы, избыточны: достаточно выбрать одно из двух решений (только, конечно, во всех четырёх случаях надо выбрать одно и то же семейство решений).

Последнее, что мы ещё не рассмотрели — это как сдвигать прямые в том случае, когда первая окружность не находилась изначально в начале координат. Однако здесь всё просто: из линейности уравнения прямой следует, что от коэффициента Уравнение касательной двум окружностямнадо отнять величину Уравнение касательной двум окружностям(где Уравнение касательной двум окружностями Уравнение касательной двум окружностям— координаты первоначального центра первой окружности).

Видео:Внешняя касательная к двум окружностямСкачать

Внешняя касательная к двум окружностям

Реализация

Опишем сначала все необходимые структуры данных и другие вспомогательные определения:

Тогда само решение можно записать таким образом (где основная функция для вызова — вторая; а первая функция — вспомогательная):

Видео:10 класс, 43 урок, Уравнение касательной к графику функцииСкачать

10 класс, 43 урок, Уравнение касательной к графику функции

Две окружности на плоскости.
Общие касательные к двум окружностям

Уравнение касательной двум окружностямВзаимное расположение двух окружностей
Уравнение касательной двум окружностямОбщие касательные к двум окружностям
Уравнение касательной двум окружностямФормулы для длин общих касательных и общей хорды
Уравнение касательной двум окружностямДоказательства формул для длин общих касательных и общей хорды

Уравнение касательной двум окружностям

Видео:Внутренняя касательная к двум окружностямСкачать

Внутренняя касательная к двум окружностям

Взаимное расположение двух окружностей

Взаимное расположение на плоскости двух окружностей радиусов r1 и r2 с центрами O1 и O2 определяется расстоянием d между центрами этих окружностей

Расстояние между центрами окружностей больше суммы их радиусов

Расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов

Расстояние между центрами окружностей равно разности их радиусов

Расстояние между центрами окружностей больше разности их радиусов, но меньше суммы их радиусов

r1 – r2 лежит внутри другой

Расстояние между центрами окружностей меньше разности их радиусов

d r1 и r2 с центрами O1 и O2 определяется расстоянием d между центрами этих окружностей

Расстояние между центрами окружностей больше суммы их радиусов

Расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов

Расстояние между центрами окружностей равно разности их радиусов

Расстояние между центрами окружностей больше разности их радиусов, но меньше суммы их радиусов

r1 – r2 лежит внутри другой

Расстояние между центрами окружностей меньше разности их радиусов

d r1 и r2 с центрами O1 и O2 определяется расстоянием d между центрами этих окружностей

Уравнение касательной двум окружностям

Уравнение касательной двум окружностям

Расстояние между центрами окружностей равно разности их радиусов

Уравнение касательной двум окружностям

Уравнение касательной двум окружностям

Расстояние между центрами окружностей меньше разности их радиусов

d внешней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по одну сторону от этой прямой.

Прямую называют внутренней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по разные стороны от этой прямой.

Существует единственная общая внешняя касательная. Других общих касательных нет.

Существуют две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Существует единственная общая внутренняя касательная, а также
две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Каждая из окружностей лежит вне другой

Уравнение касательной двум окружностям

Существуют две общих внешних касательных, а также две общих внутренних касательных. Других общих касательных нет

ФигураРисунокСвойства
Две окружности на плоскостиУравнение касательной двум окружностям
Каждая из окружностей лежит вне другойУравнение касательной двум окружностям
Внешнее касание двух окружностейУравнение касательной двум окружностям
Внутреннее касание двух окружностейУравнение касательной двум окружностям
Окружности пересекаются в двух точкахУравнение касательной двум окружностямУравнение касательной двум окружностям
Каждая из окружностей лежит вне другой
Уравнение касательной двум окружностям
Внешнее касание двух окружностей
Уравнение касательной двум окружностям
Внутреннее касание двух окружностей
Уравнение касательной двум окружностям
Окружности пересекаются в двух точках
Уравнение касательной двум окружностям
Уравнение касательной двум окружностям
Каждая из окружностей лежит вне другой
Уравнение касательной двум окружностям

Расстояние между центрами окружностей больше суммы их радиусов

Внешнее касание двух окружностей
Уравнение касательной двум окружностям

Расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов

Внутреннее касание двух окружностей
Окружности пересекаются в двух точках
Уравнение касательной двум окружностям

Расстояние между центрами окружностей больше разности их радиусов, но меньше суммы их радиусов

r1 – r2 лежит внутри другой

Внутренняя касательная к двум окружностямУравнение касательной двум окружностям
Внутреннее касание двух окружностейУравнение касательной двум окружностям
Окружности пересекаются в двух точкахУравнение касательной двум окружностям
Внешнее касание двух окружностейУравнение касательной двум окружностям
Уравнение касательной двум окружностям
Уравнение касательной двум окружностям

Прямую называют внешней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по одну сторону от этой прямой.

Прямую называют внутренней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по разные стороны от этой прямой.

Существует единственная общая внешняя касательная. Других общих касательных нет.

Существуют две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Существует единственная общая внутренняя касательная, а также две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Уравнение касательной двум окружностям

Существуют две общих внешних касательных, а также две общих внутренних касательных. Других общих касательных нет

Внешняя касательная к двум окружностям
Уравнение касательной двум окружностям
Внутренняя касательная к двум окружностям
Уравнение касательной двум окружностям
Внутреннее касание двух окружностей
Уравнение касательной двум окружностям
Окружности пересекаются в двух точках
Уравнение касательной двум окружностям
Внешнее касание двух окружностей
Уравнение касательной двум окружностям
Уравнение касательной двум окружностям
Каждая из окружностей лежит вне другой
Уравнение касательной двум окружностям

Уравнение касательной двум окружностям

Уравнение касательной двум окружностям

Прямую называют внешней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по одну сторону от этой прямой.

Уравнение касательной двум окружностям

Уравнение касательной двум окружностям

Прямую называют внутренней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по разные стороны от этой прямой.

Уравнение касательной двум окружностям

Уравнение касательной двум окружностям

Существует единственная общая внешняя касательная. Других общих касательных нет.

Уравнение касательной двум окружностям

Уравнение касательной двум окружностям

Существуют две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Уравнение касательной двум окружностям

Уравнение касательной двум окружностям

Уравнение касательной двум окружностям

Уравнение касательной двум окружностям

Существует единственная общая внутренняя касательная, а также две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Уравнение касательной двум окружностям

Уравнение касательной двум окружностям

Существуют две общих внешних касательных, а также две общих внутренних касательных. Других общих касательных нет

Видео:Касательные к двум окружностям.Скачать

Касательные к двум окружностям.

Формулы для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

Внешняя касательная к двум окружностям
Внутренняя касательная к двум окружностям
Внутреннее касание двух окружностей
Окружности пересекаются в двух точках
Внешнее касание двух окружностей
Каждая из окружностей лежит вне другой

Длина общей внешней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Уравнение касательной двум окружностям

Длина общей внутренней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Уравнение касательной двум окружностям

Длина общей хорды двух окружностей вычисляется по формуле

Уравнение касательной двум окружностям

ФигураРисунокФормула
Внешняя касательная к двум окружностямУравнение касательной двум окружностям
Внутренняя касательная к двум окружностямУравнение касательной двум окружностям
Общая хорда двух пересекающихся окружностейУравнение касательной двум окружностям

Длина общей внешней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Уравнение касательной двум окружностям

Длина общей внутренней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Уравнение касательной двум окружностям

Длина общей хорды двух окружностей вычисляется по формуле

Уравнение касательной двум окружностям

Внешняя касательная к двум окружностям
Уравнение касательной двум окружностям
Внутренняя касательная к двум окружностям
Уравнение касательной двум окружностям
Общая хорда двух пересекающихся окружностей
Уравнение касательной двум окружностям

Уравнение касательной двум окружностям

Уравнение касательной двум окружностям

Длина общей внешней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Уравнение касательной двум окружностям

Уравнение касательной двум окружностям

Уравнение касательной двум окружностям

Длина общей внутренней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Уравнение касательной двум окружностям

Внешняя касательная к двум окружностям
Внутренняя касательная к двум окружностям
Общая хорда двух пересекающихся окружностей
Уравнение касательной двум окружностям

Длина общей хорды двух окружностей вычисляется по формуле

Уравнение касательной двум окружностям

Уравнение касательной двум окружностям

Уравнение касательной двум окружностям

Видео:Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

Доказательства формул для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

Утверждение 1 . Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r1 и r2 равно d (рис.1), то длина общей внешней касательной к этим окружностям вычисляется по формуле

Уравнение касательной двум окружностям

Уравнение касательной двум окружностям

Уравнение касательной двум окружностям

Уравнение касательной двум окружностям

Уравнение касательной двум окружностям

Уравнение касательной двум окружностям

что и требовалось доказать.

Утверждение 2 . Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r1 и r2 равно d , то длина общей внутренней касательной к этим окружностям вычисляется по формуле

Уравнение касательной двум окружностям

Уравнение касательной двум окружностям

Уравнение касательной двум окружностям

Уравнение касательной двум окружностям

Уравнение касательной двум окружностям

Уравнение касательной двум окружностям

что и требовалось доказать.

Утверждение 3 . Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r1 и r2 равно d , то длина общей хорды AB этих окружностей вычисляется по формуле

Уравнение касательной двум окружностям

Уравнение касательной двум окружностям

Уравнение касательной двум окружностям

Доказательство . Для того, чтобы найти длину общей хорды AB двух окружностей, введём, как показано на рисунке 3,

Видео:Касательные к окружностиСкачать

Касательные к окружности

Касательная к окружности

Уравнение касательной двум окружностям

О чем эта статья:

Видео:Уравнение касательнойСкачать

Уравнение касательной

Касательная к окружности, секущая и хорда — в чем разница

В самом названии касательной отражается суть понятия — это прямая, которая не пересекает окружность, а лишь касается ее в одной точке. Взглянув на рисунок окружности ниже, несложно догадаться, что точку касания от центра отделяет расстояние, в точности равное радиусу.

Уравнение касательной двум окружностям

Касательная к окружности — это прямая, имеющая с ней всего одну общую точку.

Если мы проведем прямую поближе к центру окружности — так, чтобы расстояние до него было меньше радиуса — неизбежно получится две точки пересечения. Такая прямая называется секущей, а отрезок, расположенный между точками пересечения, будет хордой (на рисунке ниже это ВС ).

Уравнение касательной двум окружностям

Секущая к окружности — это прямая, которая пересекает ее в двух местах, т. е. имеет с ней две общие точки. Часть секущей, расположенная внутри окружности, будет называться хордой.

Видео:Построение общей внешней касательной к двум окружностямСкачать

Построение общей внешней касательной к двум окружностям

Свойства касательной к окружности

Выделяют четыре свойства касательной, которые необходимо знать для решения задач. Два из них достаточно просты и легко доказуемы, а вот еще над двумя придется немного подумать. Рассмотрим все по порядку.

Касательная к окружности и радиус, проведенный в точку касания, взаимно перпендикулярны.

Не будем принимать это на веру, попробуем доказать. Итак, у нас даны:

  • окружность с центральной точкой А;
  • прямая а — касательная к ней;
  • радиус АВ, проведенный к касательной.

Докажем, что касательная и радиус АВ взаимно перпендикулярны, т.е. аАВ.

Пойдем от противного — предположим, что между прямой а и радиусом АВ нет прямого угла и проведем настоящий перпендикуляр к касательной, назвав его АС.

В таком случае наш радиус АВ будет считаться наклонной, а наклонная, как известно, всегда длиннее перпендикуляра. Получается, что АВ > АС. Но если бы это было на самом деле так, наша прямая а пересекалась бы с окружностью два раза, ведь расстояние от центра А до нее — меньше радиуса. Но по условию задачи а — это касательная, а значит, она может иметь лишь одну точку касания.

Итак, мы получили противоречие. Делаем вывод, что настоящим перпендикуляром к прямой а будет вовсе не АС, а АВ.

Уравнение касательной двум окружностям

Курсы подготовки к ОГЭ по математике от Skysmart придадут уверенности в себе и помогут освежить знания перед экзаменом.

Задача

У нас есть окружность, центр которой обозначен О. Из точки С проведена прямая, и она касается этой окружности в точке А. Известно, что ∠АСО = 28°. Найдите величину дуги АВ.

Мы знаем, что касательная АС ⟂ АО, следовательно ∠САО = 90°.

Поскольку нам известны величины двух углов треугольника ОАС, не составит труда найти величину и третьего угла.

∠АОС = 180° — ∠САО — ∠АСО = 180° — 90° — 28° = 62°

Поскольку вершина угла АОС лежит в центре окружности, можно вспомнить свойство центрального угла — как известно, он равен дуге, на которую опирается. Следовательно, АВ = 62°.

Уравнение касательной двум окружностям

Если провести две касательных к окружности из одной точки, лежащей вне этой окружности, то их отрезки от этой начальной точки до точки касания будут равны.

Докажем и это свойство на примере. Итак, у нас есть окружность с центром А, давайте проведем к ней две касательные из точки D. Обозначим эти прямые как ВD и CD . А теперь выясним, на самом ли деле BD = CD.

Для начала дополним наш рисунок, проведем еще одну прямую из точки D в центр окружности. Как видите, у нас получилось два треугольника: ABD и ACD . Поскольку мы уже знаем, что касательная и радиус к ней перпендикулярны, углы ABD и ACD должны быть равны 90°.

Уравнение касательной двум окружностям

Итак, у нас есть два прямоугольных треугольника с общей гипотенузой AD. Учитывая, что радиусы окружности всегда равны, мы понимаем, что катеты AB и AC у этих треугольников тоже одинаковой длины. Следовательно, ΔABD = ΔACD (по катету и гипотенузе).. Значит, оставшиеся катеты, а это как раз наши BD и CD (отрезки касательных к окружности), аналогично равны.

Важно: прямая, проложенная из стартовой точки до центра окружности (в нашем примере это AD), делит угол между касательными пополам.

Задача 1

У нас есть окружность с радиусом 4,5 см. К ней из точки D, удаленной от центра на 9 см, провели две прямые, которые касаются окружности в точках B и C. Определите градусную меру угла, под которым пересекаются касательные.

Решение

Для этой задачи вполне подойдет уже рассмотренный выше рисунок окружности с радиусами АВ и АC. Поскольку касательная ВD перпендикулярна радиусу АВ , у нас есть прямоугольный треугольник АВD. Зная длину его катета и гипотенузы, определим величину ∠BDA.

∠BDA = 30° (по свойству прямоугольного треугольника: угол, лежащий напротив катета, равного половине гипотенузы, составляет 30°).

Мы знаем, что прямая, проведенная из точки до центра окружности, делит угол между касательными, проведенными из этой же точки, пополам. Другими словами:

∠BDC = ∠BDA × 2 = 30° × 2 = 60°

Итак, угол между касательными составляет 60°.

Уравнение касательной двум окружностям

Задача 2

К окружности с центром О провели две касательные КМ и КN. Известно, что ∠МКN равен 50°. Требуется определить величину угла ∠NМК.

Решение

Согласно вышеуказанному свойству мы знаем, что КМ = КN. Следовательно, треугольник МNК является равнобедренным.

Углы при его основании будут равны, т.е. ∠МNК = ∠NМК.

∠МNК = (180° — ∠МКN) : 2 = (180° — 50°) : 2 = 65°

Уравнение касательной двум окружностям

Соотношение между касательной и секущей: если они проведены к окружности из одной точки, лежащей вне окружности, то квадрат расстояния до точки касания равен произведению длины всей секущей на ее внешнюю часть.

Данное свойство намного сложнее предыдущих, и его лучше записать в виде уравнения.

Начертим окружность и проведем из точки А за ее пределами касательную и секущую. Точку касания обозначим В, а точки пересечения — С и D. Тогда CD будет хордой, а отрезок AC — внешней частью секущей.

Уравнение касательной двум окружностям

Задача 1

Из точки М к окружности проведены две прямые, пусть одна из них будет касательной МA, а вторая — секущей МB. Известно, что хорда ВС = 12 см, а длина всей секущей МB составляет 16 см. Найдите длину касательной к окружности МA.

Решение

Исходя из соотношения касательной и секущей МА 2 = МВ × МС.

Найдем длину внешней части секущей:

МС = МВ — ВС = 16 — 12 = 4 (см)

МА 2 = МВ × МС = 16 х 4 = 64

Уравнение касательной двум окружностям

Задача 2

Дана окружность с радиусом 6 см. Из некой точки М к ней проведены две прямые — касательная МA и секущая МB . Известно, что прямая МB пересекает центр окружности O. При этом МB в 2 раза длиннее касательной МA . Требуется определить длину отрезка МO.

Решение

Допустим, что МО = у, а радиус окружности обозначим как R.

В таком случае МВ = у + R, а МС = у – R.

Поскольку МВ = 2 МА, значит:

МА = МВ : 2 = (у + R) : 2

Согласно теореме о касательной и секущей, МА 2 = МВ × МС.

(у + R) 2 : 4 = (у + R) × (у — R)

Сократим уравнение на (у + R), так как эта величина не равна нулю, и получим:

Поскольку R = 6, у = 5R : 3 = 30 : 3 = 10 (см).

Уравнение касательной двум окружностям

Ответ: MO = 10 см.

Угол между хордой и касательной, проходящей через конец хорды, равен половине дуги, расположенной между ними.

Это свойство тоже стоит проиллюстрировать на примере: допустим, у нас есть касательная к окружности, точка касания В и проведенная из нее хорда . Отметим на касательной прямой точку C, чтобы получился угол AВC.

Уравнение касательной двум окружностям

Задача 1

Угол АВС между хордой АВ и касательной ВС составляет 32°. Найдите градусную величину дуги между касательной и хордой.

Решение

Согласно свойствам угла между касательной и хордой, ∠АВС = ½ АВ.

АВ = ∠АВС × 2 = 32° × 2 = 64°

Уравнение касательной двум окружностям

Задача 2

У нас есть окружность с центром О, к которой идет прямая, касаясь окружности в точке K. Из этой точки проводим хорду KM, и она образует с касательной угол MKB, равный 84°. Давайте найдем величину угла ОMK.

Решение

Поскольку ∠МКВ равен половине дуги между KM и КВ, следовательно:

КМ = 2 ∠МКВ = 2 х 84° = 168°

Обратите внимание, что ОМ и ОK по сути являются радиусами, а значит, ОМ = ОК. Из этого следует, что треугольник ОMK равнобедренный.

∠ОКМ = ∠ОМК = (180° — ∠КОМ) : 2

Так как центральный угол окружности равен угловой величине дуги, на которую он опирается, то:

∠ОМК = (180° — ∠КОМ) : 2 = (180° — 168°) : 2 = 6°

🎬 Видео

Найдите уравнение обшей касательнойСкачать

Найдите уравнение обшей касательной

8 класс, 32 урок, Касательная к окружностиСкачать

8 класс, 32 урок, Касательная к окружности

Уравнение касательнойСкачать

Уравнение касательной

Построение касательной к окружности.Скачать

Построение касательной к окружности.

Касательная к графику функции в точке. 10 класс.Скачать

Касательная к графику функции в точке. 10 класс.

Касательная к двум окружностям разного диаметра.Скачать

Касательная к двум окружностям разного диаметра.

Что такое касательная | Осторожно, спойлер! | Борис Трушин |Скачать

Что такое касательная | Осторожно, спойлер! | Борис Трушин |

Построение касательной к окружностиСкачать

Построение касательной к окружности

Уравнение касательной в точке. Практическая часть. 2ч. 10 класс.Скачать

Уравнение касательной в точке. Практическая часть. 2ч. 10 класс.

Пойми Этот Урок Геометрии и получай 5-ки — Касательная и ОкружностьСкачать

Пойми Этот Урок Геометрии и получай 5-ки — Касательная и Окружность
Поделиться или сохранить к себе: