Уравнение двух пересекающихся окружностей

Пересечение двух окружностей

Даны две окружности, каждая определена координатами своего центра и радиусом. Требуется найти все их точки пересечения (либо одна, либо две, либо ни одной точки, либо окружности совпадают).

Видео:Геометрия 9 класс (Урок№10 - Взаимное расположение двух окружностей.)Скачать

Геометрия 9 класс (Урок№10 - Взаимное расположение двух окружностей.)

Решение

Предположим, не теряя общности, что центр первой окружности — в начале координат (если это не так, то перенесём центр в начало координат, а при выводе ответа будем обратно прибавлять координаты центра). Тогда мы имеем систему двух уравнений:

Вычтем из второго уравнения первое, чтобы избавиться от квадратов переменных:

Таким образом, мы свели задачу о пересечении двух окружностей к задаче о пересечении первой окружности и следующей прямой:

А решение последней задачи описано в соответствующей статье.

Единственный вырожденный случай, который надо рассмотреть отдельно — когда центры окружностей совпадают. Действительно, в этом случае вместо уравнения прямой мы получим уравнение вида 0 = С, где C — некоторое число, и этот случай будет обрабатываться некорректно. Поэтому этот случай нужно рассмотреть отдельно: если радиусы окружностей совпадают, то ответ — бесконечность, иначе — точек пересечения нет.

Видео:Теорема о числе точек пересечения двух окружностейСкачать

Теорема о числе точек пересечения двух окружностей

Уравнение двух пересекающихся окружностей

Перевод Кантора И.А.


Подход 1Уравнение двух пересекающихся окружностейУравнение двух пересекающихся окружностей

Будем рассматривать нашу задачу из системы координат с началом в центре первой окружности.

Определить центр окружности по каноническому уравнению вида Ax 2 + Ay 2 + a1x + a2y + a0 = 0, где A =/= 0, довольно просто — это (-a1/2A, -a2/2A);

перенести систему координат можно простым преобразованием

— подставить вместо старых переменных их новые значения в уравнения.

В такой системе координат уравнения окружностей можно записать как

(1) x 2 + y 2 = R 2 (2)(x-a) 2 + (y-b) 2 = r 2

Раскрывая скобки, вычитая (1) из (2) и приводя подобные, получаем другой вид (2):

-2ax-2by = R 2 — r 2 — a 2 — b 2 .

Если еще упростить и немного поменять обозначения, то (2) приведется к виду

ax+by=C, где С — новое обозначение выражения справа.

Таким образом, имеем систему:

(1) x 2 + y 2 = R 2 (2) ax + by = C,

решение которой, надеюсь, не составит проблем (например, подойдет подстановка — естественно с учетом случаев a=0, b=0 и т.п.) (2) в (1) и имеем простое квадратное уравнение на одну из переменных.

Решив его и получив из (2) значение оставшейся переменной, имеем(если и только если она есть) точку пересечения.


Подход 2Уравнение двух пересекающихся окружностейУравнение двух пересекающихся окружностей

Пусть нужно найти пару точек P3 пересечения, если они существуют.

Уравнение двух пересекающихся окружностей

Для начала найдем расстояние между центрами окружностей. d = || P1 — P0 ||. Если d > r0 + r1, тогда решений нет: круги лежат отдельно. Аналогично в случае d a 2 + h 2 = r0 2 and b 2 + h 2 = r1 2

Используя равенство d = a + b, мы можем разрешить относительно a:

a = (r0 2 — r1 2 + d 2 ) / (2 d)

В случае соприкосновения окружностей, это, очевидно, превратится в r0, так как: d = r0 + r1

Решим относительно h, подставив в первое уравнение h 2 = r0 2 — a 2

Таким образом, получаем координаты точек P3 = (x3,y3):

Видео:Задание 24 Две пересекающиеся окружностиСкачать

Задание 24 Две пересекающиеся окружности

Пересечение двух окружностей

Этот онлайн калькулятор находит точки пересечения двух окружностей, если они существуют

Чтобы использовать калькулятор, введите координаты x и y центра и радиус каждой окружности.

Формулы для расчета приведены под калькулятором.

Уравнение двух пересекающихся окружностей

Точки пересечения двух окружностей

Первая окружность

Вторая окружность

Видео:Геометрия Общая хорда двух пересекающихся окружностей видна из их центров под углами 90 и 60. НайтиСкачать

Геометрия Общая хорда двух пересекающихся окружностей видна из их центров под углами 90 и 60. Найти

Пересечение окружностей

Сама по себе задача нахождения точек пересечения двух окружностей достаточно проста, однако предварительно надо проанализировать если ли вообще точки пересения у данных двух окружностей. Поэтому начать надо с вычисления расстояния d в декартовых координатах между центрами окружностей и сравнения его с радиусами окружностей r1 и r2.

При этом возможно следующие случаи (расстояние между центрами показано красным отрезком):

Уравнение двух пересекающихся окружностей

Уравнение двух пересекающихся окружностей

Уравнение двух пересекающихся окружностей

Уравнение двух пересекающихся окружностей

Уравнение двух пересекающихся окружностей

Уравнение двух пересекающихся окружностей

СлучайОписаниеУсловие
Тривиальный случай — окружности совпадают (это одна и та же окружность)
Окружности не касаются друг другаr1 + r2″ />
Одна окружность содержится внутри другой и не касается ее
Окружности пересекаются в двух точкахНе выполнено ни одно из условий выше
Окружности соприкасаются в одной точкеЧастный случай предыдущего

Если окружности действительно пересекаются, калькулятор использует следующие формулы (в-основном выведенные из теоремы Пифагора), проиллюстрированные рисунком ниже:

Сначала калькулятор находит отрезок a

Чтобы найти точку P3, калькулятор использует следующую формулу (в векторном виде):

И наконец, чтобы найти точки пересечения, калькулятор использует следующие уравнения:
Первая точка:

Обратите внимание на разные знаки перед вторым слагаемым

По теме также можно посмотреть следующие ссылки (на английском языке): Circle-Circle Intersection и Circles and spheres

📺 Видео

Математика Радиусы двух пересекающихся окружностей равны 17 см и 39 см, а расстояние между ихСкачать

Математика Радиусы двух пересекающихся окружностей равны 17 см и 39 см, а расстояние между их

Планиметрия 12 | mathus.ru | расстояние между центрами пересекающихся окружностейСкачать

Планиметрия 12 | mathus.ru | расстояние между центрами пересекающихся окружностей

9 класс, 8 урок, Взаимное расположение двух окружностейСкачать

9 класс, 8 урок, Взаимное расположение двух окружностей

Взаимное расположение окружностей. 7 класс.Скачать

Взаимное расположение окружностей. 7 класс.

1 2 4 сопряжение окружностейСкачать

1 2 4  сопряжение окружностей

Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Алгоритмы. Пересечение окружностейСкачать

Алгоритмы. Пересечение окружностей

Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.Скачать

Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.

Пересечение двух окружностейСкачать

Пересечение двух окружностей

Планиметрия 11 |mathus.ru|  расстояние между центрами пересекающихся окружностейСкачать

Планиметрия 11 |mathus.ru|  расстояние между центрами пересекающихся окружностей

9 класс, 6 урок, Уравнение окружностиСкачать

9 класс, 6 урок, Уравнение окружности

Взаимное расположение двух окружностей.Использование уравнений окружности и прямой при решении задачСкачать

Взаимное расположение двух окружностей.Использование уравнений окружности и прямой при решении задач

УРАВНЕНИЕ ОКРУЖНОСТИСкачать

УРАВНЕНИЕ ОКРУЖНОСТИ

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

ГЕОМЕТРИЯ 9 класс: Уравнение окружности и прямойСкачать

ГЕОМЕТРИЯ 9 класс: Уравнение окружности и прямой
Поделиться или сохранить к себе: