Укажи название для каждой пары углов при параллельных прямых aa и bb и секущей cc (8 видео)

Углы при пересечении двух прямых

Если какие-нибудь две прямые пересечены третьей прямой, то пересекающая их прямая называется секущей по отношению к прямым, которые она пересекает.

При пересечении двух прямых третьей, образуется два вида углов: внешние и внутренние.

На рисунке изображены две прямые a и b, пересекаемые прямой c. Прямая c по отношению к прямым a и b является секущей. Синим цветом на рисунке обозначены внешние углы (∠1, ∠2, ∠7 и ∠8), а красным — внутренние углы (∠3, ∠4, ∠5 и ∠6).

Также при пересечении двух прямых третьей, образовавшиеся углы получают попарно следующие названия:

Соответственные углы: ∠1 и ∠5, ∠3 и ∠7, ∠2 и ∠6, ∠4 и ∠8.
Внутренние накрест лежащие углы: ∠3 и ∠6, ∠4 и ∠5.
Внешние накрест лежащие углы: ∠1 и ∠8, ∠2 и ∠7.
Внутренние односторонние углы: ∠3 и ∠5, ∠4 и ∠6.
Внешние односторонние углы: ∠1 и ∠7, ∠2 и ∠8.

Содержание

Углы при пересечении параллельных прямых
Углы при параллельных прямых и секущей. Вертикальные, смежные, односторонние, соответственные, накрест лежащие углы
Углы при параллельных прямых и секущей — виды и свойства
Изучаемый геометрический объект
Векторное представление
Другие формы уравнений
Взаимное расположение
Две прямые
Три прямые
Секущая и углы
Методы вычисления
Пример решения задачи
🌟 Видео

Видео:Пары углов в геометрииСкачать

Углы при пересечении параллельных прямых

Если секущая пересекает две параллельные прямые линии, то:

внутренние накрест лежащие углы равны;
сумма внутренних односторонних углов равна 180°;
соответственные углы равны;
внешние накрест лежащие углы равны;
сумма внешних односторонних углов равна 180°.

Видео:УГЛЫ ПРИ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ И СЕКУЩЕЙСкачать

Углы при параллельных прямых и секущей. Вертикальные, смежные, односторонние, соответственные, накрест лежащие углы

Пусть прямая с пересекает параллельные прямые и . При этом образуется восемь углов. Углы при параллельных прямых и секущей так часто используются в задачах, что в геометрии им даны специальные названия.

Углы и — вертикальные. Очевидно, вертикальные углы равны, то есть

Конечно, углы и , и — тоже вертикальные.

Углы и — смежные, это мы уже знаем. Сумма смежных углов равна .

Углы и (а также и , и , и ) — накрест лежащие. Накрест лежащие углы равны.

Углы и — односторонние. Они лежат по одну сторону от всей «конструкции». Углы и — тоже односторонние. Сумма односторонних углов равна , то есть

Углы и (а также и , и , и ) называются соответственными.

Соответственные углы равны, то есть

Углы и (а также и , и , и ) называют накрест лежащими.

Накрест лежащие углы равны, то есть

Чтобы применять все эти факты в решении задач ЕГЭ, надо научиться видеть их на чертеже. Например, глядя на параллелограмм или трапецию, можно увидеть пару параллельных прямых и секущую, а также односторонние углы. Проведя диагональ параллелограмма, видим накрест лежащие углы. Это — один из шагов, из которых и состоит решение.

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

1. Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении , считая от вершины тупого угла. Найдите большую сторону параллелограмма, если его периметр равен .

Напомним, что биссектриса угла — это луч, выходящий из вершины угла и делящий угол пополам.

Пусть — биссектриса тупого угла . По условию, отрезки и равны и соответственно.

Рассмотрим углы и . Поскольку и параллельны, — секущая, углы и являются накрест лежащими. Мы знаем, что накрест лежащие углы равны. Значит, треугольник — равнобедренный, следовательно, .

Периметр параллелограмма — это сумма всех его сторон, то есть

2. Диагональ параллелограмма образует с двумя его сторонами углы и . Найдите больший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Нарисуйте параллелограмм и его диагональ. Заметив на чертеже накрест лежащие углы и односторонние углы, вы легко получите ответ: .

3. Чему равен больший угол равнобедренной трапеции, если известно, что разность противолежащих углов равна ? Ответ дайте в градусах.

Мы знаем, что равнобедренной (или равнобокой) называется трапеция, у которой боковые стороны равны. Следовательно, равны углы при верхнем основании, а также углы при нижнем основании.

Давайте посмотрим на чертеж. По условию, , то есть .

Углы и — односторонние при параллельных прямых и секущей, следовательно,

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Углы при параллельных прямых и секущей — виды и свойства

Изучаемый геометрический объект
- Векторное представление
- Другие формы уравнений
Взаимное расположение
- Две прямые
- Три прямые
Секущая и углы
Методы вычисления
Пример решения задачи

Видео:7 класс, 29 урок, Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущейСкачать

Изучаемый геометрический объект

Прежде чем рассматривать углы, которые образуются в результате различного взаимного расположения прямых на плоскости, следует подробно изучить сам геометрический объект. Любая прямая линия представляет собой набор точек в пространстве любой мерности, каждая из которых может быть получена из предыдущей путем ее переноса на вектор, имеющий конкретное направление.

Рассматриваемый объект является одномерным, то есть он имеет лишь один единственный размер, который отличен от нуля. Прямая — это бесконечная линия, любые две точки на которой отсекают отрезок определенной длины.

Векторное представление

Определение прямой говорит о том, что для универсального ее математического описания следует воспользоваться понятием вектора. Под ним в математике подразумевают направленный отрезок, имеющий начало и конец. В двумерном пространстве любой вектор представляется набором двух чисел, например, a (a1, a2). Построить его можно следующим образом:

Необходимо начало вектора расположить в точке (0, 0) (пересечение осей абсцисс и ординат в декартовой системе).

Конец направленного отрезка помещается в точку с координатами (a1, a2).

Начало и конец соединяются так, что стрелка (направление) указывается в точку (a1, a2).

Самостоятельно вектор не может задать прямую, поскольку существует бесконечное множество объектов a (a1, a2), которые получаются с помощью параллельного переноса их по всей плоскости. Необходима фиксированная точка, чтобы привязать начало направленного отрезка. Так образуется прямая линия. Ее векторное уравнение может быть записано в следующем виде:

A (x, y) = A0 (x0, y0) + alfa*(a1, a2).

Здесь A (x, y) — произвольная точка линии, A0 (x0, y0) — фиксированная точка на ней, (a1, a2) — координаты вектора, который называется направляющим, alfa — любое рациональное число, которое показывает, на какую долю направленного отрезка (a1, a2) следует переместить A0 (x0, y0), чтобы попасть в A (x, y).

Другие формы уравнений

Векторное уравнение прямой является неявным по отношению к координатам x и y. Для одних задач его удобно использовать, для других же следует применять иные формы записи. Одной из них является параметрическая. Ее можно записать так:

Этой формой удобно пользоваться для определения конкретных координат x и y. Если из этой системы равенств выразить параметр alfa, то можно получить симметричное уравнение прямой:

Наконец, если представить это выражение таким образом, чтобы y был выражен, как функция от x, то получится общее представление прямой линии в двумерной системе координат:

y = a2/a1*x + (y0-a2/a1*x0).

Эта формула известна любому школьнику, поскольку основное внимание при изучении геометрических свойств рассматриваемого одномерного объекта в школах уделяется именно ей. Зная, как перевести один вид уравнения прямой в другой, можно выполнять соответствующие преобразования для решения конкретных задач.

Видео:Углы, образованные при пересечении двух прямых секущейСкачать

Взаимное расположение

Рассматривая вопрос параллельных углов, следует изучить все возможные варианты расположения на плоскости прямых линий. Количество ситуаций зависит от числа присутствующих геометрических объектов, а также от размерности координатной системы.

Две прямые

На плоскости существует три разных варианта расположения двух прямых относительно друг друга. К ним относятся следующие:

Совпадение. Два объекта могут иметь разные направляющие вектора и фиксированные точки, но при этом будут накладываться друг на друга. Чтобы это проверить, необходимо взять произвольные две точки, которые принадлежат одной линии, и подставить их координаты в уравнение для другой. Если равенство в обоих случаях будет верным, то прямые являются идентичными.

Параллельность. В этом случае ни одна точка одной прямой не принадлежит другой. Однозначным и достаточным доказательством параллельности является возможность выразить направляющий вектор одного объекта, через направленный отрезок другого путем его умножения на какое-либо рациональное число.

Пересечение. Обе прямые имеют одну общую точку. Чтобы ее найти, следует решить систему уравнений. Для этого удобно воспользоваться общей формулой выражения для прямых.

Три прямые

Когда на плоскости имеются три прямых, то количество вариантов их взаимного расположения возрастает. Возможные следующие случаи:

Пересечение в одной точке.

Параллельность двух, которые пересекаются третьей.

Все три параллельны друг другу.

Каждая пересекает каждую так, что образуются три точки пересечения.

Для определения всех этих ситуаций следует проводить геометрический анализ с применением уравнений разных форм представления прямых. Случай номер 2 является наиболее интересным, поскольку в результате такого взаимного расположения образуется набор специальных углов.

Видео:Это пора запомнить! Свойства углов при параллельных прямых и секущей. #геометрияСкачать

Секущая и углы

В школьном курсе геометрии изучение прямых и секущей имеет особый интерес. В результате такого расположения одномерных объектов получаются несколько углов, обладающих специальными свойствами. Полученные выводы используются для решения не только теоретических, но и практических вопросов.

Выделяют три типа углов, образующихся при пересечении секущей двух параллельных линий:

накрест лежащие;
односторонние;
соответственные.

Один из накрест лежащих углов расположен во внутренней области параллельных линий с одной стороны от секущей, второй же лежит во внешней области с другой стороны. Поскольку секущая пересекает каждую параллельную, образуется четыре пары рассматриваемых углов, которые лежат друг относительно друга накрест. Попарно эти углы равны. Две пары из них являются тупыми, а две — острыми. Особый случай составляют вертикальные прямые углы.

Односторонние — это такие углы, которые бывают между параллельными линиями и только с одной стороны от секущей (отсюда их название). Причем один из них образован одной параллельной прямой, а другой относится к другой параллельной линии. Они в общем случае не равны друг другу, поскольку один является острым, а другой тупым. Однако если секущая перпендикулярна параллельным прямым, то односторонние углы будут составлять 90 градусов. Их важное свойство состоит в том, что в сумме всегда получается 180 градусов. В рассматриваемом расположении одномерных объектов существует лишь две пары этих углов.

Соответственные углы при параллельных прямых лежат по одну сторону от секущей, но по разные стороны от каждой параллельной прямой. Они также являются смежными. Их существует четыре пары, которые попарно одинаковы. Их сумма в каждой паре всегда равна 180 градусам.

Следует запомнить, что соответственные углы всегда лежат по одну сторону от секущей. В указанном расположении прямых можно найти еще четыре пары смежных углов, которые, однако, будут располагаться по разные стороны от секущей и по одну сторону от параллельной линии. Они соответствующими не являются.

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)Скачать

Методы вычисления

Зная значение любого из накрест лежащих, односторонних и соответственных углов, можно найти величины всех остальных, воспользовавшись их свойствами. Для проведения вычислений проще всего воспользоваться векторной формой представления прямых.

Пусть существует две параллельных линии, которые заданы следующим образом:

A (x, y) = A0 (x1, y1) + k*(a1, a2);
B (x, y) = B0 (x2, y2) + w*(b1, b2).

Секущая задается векторным уравнением: C (x, y) = С0 (x3, y3) + l*(c1, c2). Для расчета угла пересечения любых двух прямых необязательно искать их общую точку, достаточно воспользоваться свойствами умножения направляющих векторов. Они могут перемножаться двумя различными способами:

Пусть следует найти угол пересечения прямых A и C. Для скалярного произведения можно записать: ((a1, a2)*(c1, c2)) = a1*c1 + a2*c2 = ((a1)^2+(a2)^2)^0,5*((c1)^2+(c2)^2)^0,5*cos (teta). Откуда получается неизвестный угол teta:

teta = arccos ((a1*c1 + a2*c2)/(((a1)^2+(a2)^2)^0,5*((c1)^2+(c2)^2)^0,5)).

Другой способ определения teta заключается в применении векторного произведения. Получается следующее выражение: [(a1, a2)*(c1, c2)] = a1*c2 — a2*c1 = ((a1)^2+(a2)^2)^0,5*((c1)^2+(c2)^2)^0,5*sin (teta). Тогда teta может быть вычислен по формуле:

teta = arcsin ((a1*c2 — a2*c1)/(((a1)^2+(a2)^2)^0,5*((c1)^2+(c2)^2)^0,5)).

Вычислить соответствующие функции арксинуса или арккосинуса можно с использованием инженерного калькулятора. Как только известен угол пересечения секущей и параллельной прямых, остальные углы находятся с помощью добавления или вычитания его из 180 градусов, согласно их свойствам.

Видео:№203. Найдите все углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых а и b секущей сСкачать

Пример решения задачи

Для наглядной демонстрации использования методов вычисления всех типов углов при параллельных прямых полезно решить задачу. Пусть одна из параллельных линий имеет уравнение: y = -2*x + 1. А ее секущая выражается равенством y = x. Необходимо найти значение углов для каждой пары трех типов.

Прежде чем перейти к использованию скалярного или векторного произведения, следует найти направляющие отрезки для каждой из прямой. Сначала каждую из них нужно записать в параметрической форме:

k = (y-1)/1 и k = (x-0)/-0.5 ==>

Откуда получаются координаты направляющего вектора: (-0,5, 1). Проведение аналогичных преобразований для второй линии приводит к ее направляющему отрезку с координатами (1, 1).

Воспользовавшись формулой для угла teta через скалярное произведение, можно получить следующий результат:

teta = arccos ((-0,5*1 + 1*1)/(((-0,5)^2+(1)^2)^0,5*((1)^2+(1)^2)^0,5)) = 71,6 градуса.

Тогда накрест лежащие углы составят 71,6 градуса, а односторонние и соответствующие будут равны 71,6 и 108,4 градуса (180−71,6).

Знание уравнений прямых и умение производить операции умножения векторов позволяет вычислять любые типы углов, которые образуются при пересечении параллельных прямых секущей линией. Подобные расчеты можно проводить не только в двумерном, но также в трехмерном пространстве.