Угол с в центре окружности называется ее центральным углом

Углы, связанные с окружностью
Угол с в центре окружности называется ее центральным угломВписанные и центральные углы
Угол с в центре окружности называется ее центральным угломУглы, образованные хордами, касательными и секущими
Угол с в центре окружности называется ее центральным угломДоказательства теорем об углах, связанных с окружностью

Видео:Урок по теме ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ 8 КЛАСССкачать

Урок по теме ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ 8 КЛАСС

Вписанные и центральные углы

Определение 1 . Центральным углом называют угол, вершина которого совпадает с центром окружности, а стороны являются радиусами радиусами (рис. 1).

Угол с в центре окружности называется ее центральным углом

Определение 2 . Вписанным углом называют угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны являются хордами хордами (рис. 2).

Угол с в центре окружности называется ее центральным углом

Напомним, что углы можно измерять в градусах и в радианах. Дуги окружности также можно измерять в градусах и в радианах, что вытекает из следующего определения.

Определение 3 . Угловой мерой (угловой величиной) дуги окружности является величина центрального угла, опирающегося на эту дугу.

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Теоремы о вписанных и центральных углах

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
около этого треугольника окружности.

ФигураРисунокТеорема
Вписанный уголУгол с в центре окружности называется ее центральным углом
Вписанный уголУгол с в центре окружности называется ее центральным угломВписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.
Вписанный уголУгол с в центре окружности называется ее центральным угломВписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды
Вписанный уголУгол с в центре окружности называется ее центральным угломДва вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды
Вписанный уголУгол с в центре окружности называется ее центральным угломВписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр
Окружность, описанная около прямоугольного треугольникаУгол с в центре окружности называется ее центральным углом

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Угол с в центре окружности называется ее центральным углом

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.

Угол с в центре окружности называется ее центральным углом

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды

Угол с в центре окружности называется ее центральным углом

Два вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды

Угол с в центре окружности называется ее центральным углом

Вписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр

Угол с в центре окружности называется ее центральным углом

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
около этого треугольника окружности.

Угол с в центре окружности называется ее центральным углом

Видео:ВАЖНЫЕ УГЛЫ в Геометрии — Центральный и Вписанный УголСкачать

ВАЖНЫЕ УГЛЫ в Геометрии — Центральный и Вписанный Угол

Теоремы об углах, образованных хордами, касательными и секущими

Вписанный угол
Окружность, описанная около прямоугольного треугольника

Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

ФигураРисунокТеоремаФормула
Угол, образованный пересекающимися хордамиУгол с в центре окружности называется ее центральным угломУгол с в центре окружности называется ее центральным углом
Угол, образованный секущими, которые пересекаются вне кругаУгол с в центре окружности называется ее центральным угломУгол с в центре окружности называется ее центральным углом
Угол, образованный касательной и хордой, проходящей через точку касанияУгол с в центре окружности называется ее центральным угломУгол с в центре окружности называется ее центральным углом
Угол, образованный касательной и секущейУгол с в центре окружности называется ее центральным угломУгол с в центре окружности называется ее центральным углом
Угол, образованный двумя касательными к окружностиУгол с в центре окружности называется ее центральным угломУгол с в центре окружности называется ее центральным углом

Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Угол с в центре окружности называется ее центральным углом

Угол с в центре окружности называется ее центральным углом

Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

Угол с в центре окружности называется ее центральным углом

Угол с в центре окружности называется ее центральным углом

Угол с в центре окружности называется ее центральным углом

Угол с в центре окружности называется ее центральным углом

Угол, образованный пересекающимися хордами хордами
Угол с в центре окружности называется ее центральным углом
Формула: Угол с в центре окружности называется ее центральным углом
Угол, образованный секущими секущими , которые пересекаются вне круга
Формула: Угол с в центре окружности называется ее центральным углом

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Угол, образованный касательной и хордой хордой , проходящей через точку касания
Угол с в центре окружности называется ее центральным углом
Формула: Угол с в центре окружности называется ее центральным углом
Угол, образованный касательной и секущей касательной и секущей
Формула: Угол с в центре окружности называется ее центральным углом

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Угол, образованный двумя касательными касательными к окружности
Формулы: Угол с в центре окружности называется ее центральным углом

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Видео:Вписанные и центральные углыСкачать

Вписанные и центральные углы

Доказательства теорем об углах, связанных с окружностью

Теорема 1 . Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Доказательство . Рассмотрим сначала вписанный угол ABC , сторона BC которого является диаметром окружности диаметром окружности , и центральный угол AOC (рис. 5).

Угол с в центре окружности называется ее центральным углом

Угол с в центре окружности называется ее центральным углом

Угол с в центре окружности называется ее центральным углом

Угол с в центре окружности называется ее центральным углом

Таким образом, в случае, когда одна из сторон вписанного угла проходит через центр окружности, теорема 1 доказана.

Теперь рассмотрим случай, когда центр окружности лежит внутри вписанного угла (рис. 6).

Угол с в центре окружности называется ее центральным углом

В этом случае справедливы равенства

Угол с в центре окружности называется ее центральным углом

Угол с в центре окружности называется ее центральным углом

Угол с в центре окружности называется ее центральным углом

и теорема 1 в этом случае доказана.

Осталось рассмотреть случай, когда центр окружности лежит вне вписанного угла (рис. 7).

Угол с в центре окружности называется ее центральным углом

В этом случае справедливы равенства

Угол с в центре окружности называется ее центральным углом

Угол с в центре окружности называется ее центральным углом

Угол с в центре окружности называется ее центральным углом

что и завершает доказательство теоремы 1.

Теорема 2 . Величина угла, образованного пересекающимися хордами хордами , равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 8.

Угол с в центре окружности называется ее центральным углом

Нас интересует величина угла AED , образованного пересекающимися в точке E хордами AB и CD . Поскольку угол AED – внешний угол треугольника BED , а углы CDB и ABD являются вписанными углами, то справедливы равенства

Угол с в центре окружности называется ее центральным углом

Угол с в центре окружности называется ее центральным углом

что и требовалось доказать.

Теорема 3 . Величина угла, образованного секущими секущими , пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

Угол с в центре окружности называется ее центральным углом

Угол с в центре окружности называется ее центральным углом

Нас интересует величина угла BED , образованного пересекающимися в точке E секущими AB и CD . Поскольку угол ADC – внешний угол треугольника ADE , а углы ADC , DCB и DAB являются вписанными углами, то справедливы равенства

Угол с в центре окружности называется ее центральным углом

Угол с в центре окружности называется ее центральным углом

что и требовалось доказать.

Теорема 4 . Величина угла, образованного касательной и хордой касательной и хордой , проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 10.

Угол с в центре окружности называется ее центральным углом

Угол с в центре окружности называется ее центральным углом

Нас интересует величина угла BAC , образованного касательной AB и хордой AC . Поскольку AD – диаметр диаметр , проходящий через точку касания, а угол ACD – вписанный угол, опирающийся на диаметр, то углы DAB и DCA – прямые. Поэтому справедливы равенства

Угол с в центре окружности называется ее центральным углом

Угол с в центре окружности называется ее центральным углом

что и требовалось доказать

Теорема 5 . Величина угла, образованного касательной и секущей касательной и секущей , равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 11.

Угол с в центре окружности называется ее центральным углом

Угол с в центре окружности называется ее центральным углом

Нас интересует величина угла BED , образованного касательной AB и секущей CD . Заметим, что угол BDC – внешний угол треугольника DBE , а углы BDC и BCD являются вписанными углами. Кроме того, углы DBE и DCB , в силу теоремы 4, равны. Поэтому справедливы равенства

Угол с в центре окружности называется ее центральным углом

Угол с в центре окружности называется ее центральным углом

что и требовалось доказать.

Теорема 6 .Величина угла, образованного двумя касательными к окружности касательными к окружности , равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 12.

Угол с в центре окружности называется ее центральным углом

Угол с в центре окружности называется ее центральным углом

Нас интересует величина угла BED , образованного касательными AB и CD . Заметим, что углы BOD и BED в сумме составляют π радиан. Поэтому справедливо равенство

Видео:Вписанные и центральные углы #огэ #огэматематика #математикаСкачать

Вписанные и центральные углы #огэ #огэматематика #математика

Центральные и вписанные углы

Угол с в центре окружности называется ее центральным углом

О чем эта статья:

Видео:Центральный и вписанный углыСкачать

Центральный и вписанный углы

Центральный угол и вписанный угол

Окружность — замкнутая линия, все точки которой равноудалены от ее центра.

Определение центрального угла:

Центральный угол — это угол, вершина которого лежит в центре окружности.
Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается.

Угол с в центре окружности называется ее центральным углом

На рисунке: центральный угол окружности EOF и дуга, на которую он опирается EF

Определение вписанного угла:

Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности.

Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается.

Угол с в центре окружности называется ее центральным углом

На рисунке: вписанный в окружность угол ABC и дуга, на которую он опирается AC

Видео:Углы, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать

Углы, вписанные в окружность. 9 класс.

Свойства центральных и вписанных углов

Углы просты только на первый взгляд. Свойства центрального угла и свойства вписанного угла помогут решать задачки легко и быстро.

  • Вписанный угол в два раза меньше, чем центральный угол, если они опираются на одну и ту же дугу:

Угол с в центре окружности называется ее центральным углом

Угол AOC — центральный, угол ABC — вписанный. Оба угла опираются на дугу AC, в этом случае центральный угол равен дуге AC, а угол ABC равен половине угла AOC.

  • Теорема о центральном угле: центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается:

Угол с в центре окружности называется ее центральным углом

  • Вписанные углы окружности равны друг другу, если опираются на одну дугу:

Угол с в центре окружности называется ее центральным углом

ㄥADC = ㄥABC = ㄥAEC, поскольку все три угла, вписанные в окружность, опираются на одну дугу AC.

  • Вписанный в окружность угол, опирающийся на диаметр, — всегда прямой:

Угол с в центре окружности называется ее центральным углом

ㄥACB опирается на диаметр и на дугу AB, диаметр делит окружность на две равные части. Значит дуга AB = 180 ํ, ㄥCAB равен половине дуги, на которую он опирается, значит ㄥCAB = 90 ํ.

Если есть вписанный, обязательно найдется и описанный угол. Описанный угол — это угол, образованный двумя касательными к окружности. Вот так:

Угол с в центре окружности называется ее центральным углом

На рисунке: ㄥCAB, образованный двумя касательными к окружности. AO — биссектриса ㄥCAB, значит центр окружности лежит на биссектрисе описанного угла.

Для решения задачек мало знать, какой угол называется вписанным, а какой — описанным. Нужно знать, что такое хорда и ее свойство.

Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!

Хорда — отрезок, соединяющий две точки на окружности.

Угол с в центре окружности называется ее центральным углом

  • Если две хорды в окружности пересекаются, то произведения отрезков одной равно произведению отрезков другой.

Угол с в центре окружности называется ее центральным углом

AB * AC = AE * AD
Получается, что стороны вписанного в окружность угла — это хорды.

  • Если вписанные углы опираются на одну и ту же хорду — они равны, если их вершины находятся по одну сторону от хорды.

Угол с в центре окружности называется ее центральным углом

ㄥBAC = ㄥCAB, поскольку лежат на хорде BC.

  • Если два вписанных угла опираются на одну и ту же хорду, то их суммарная градусная мера равна 180°, если их вершины находятся по разные стороны от хорды.

Угол с в центре окружности называется ее центральным углом

ㄥBAC + ㄥBDC = 180°

Видео:ЦЕНТРАЛЬНЫЙ угол ВПИСАННЫЙ угол окружности 8 класс АтанасянСкачать

ЦЕНТРАЛЬНЫЙ угол ВПИСАННЫЙ угол окружности 8 класс Атанасян

Примеры решения задач

Центральный, вписанные и описанные углы, как и любые другие, требуют тренировок в решении. Рассмотрите примеры решения задач и потренируйтесь самостоятельно.

Задачка 1. Дана окружность, дуга AC = 200°, дуга BC = 80°. Найдите, чему равен вписанный угол, опирающийся на дугу AB. ㄥACB = ?

Угол с в центре окружности называется ее центральным углом

Как решаем: окружность 360° − AC − CB = 360° − 200° − 80° = 80°
По теореме: вписанный угол равен дуге ½.
ㄥACB = ½ AB = 40°

Задачка 2. Дана окружность, ㄥAOC = 140°, найдите, чему равна величина вписанного угла.

Угол с в центре окружности называется ее центральным углом

Мы уже потренировались и знаем, как найти вписанный угол.
На рисунке в окружности центральный угол и дуга AC = 140°
Мы знаем, что вписанный угол равен половине центрального, то ㄥABC = ½ AC = 140/2 = 70°

Задачка 3. Чему равен вписанный в окружность угол, опирающийся на дугу, если эта дуга = ⅕ окружности?

Угол с в центре окружности называется ее центральным углом

СB = ⅕ от 360° = 72°
Вписанный угол равен половине дуги, поэтому ㄥCAB = ½ от CB = 72° / 2 = 36°

Видео:Геометрия 8 класс (Урок№26 - Градусная мера дуги окружности. Центральные углы.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№26 - Градусная мера дуги окружности. Центральные углы.)

Всё про окружность и круг

Окружность — это геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от некоторой заданной точки (центра окружности). Расстояние между любой точкой окружности и ее центром называется радиусом окружности (радиус обозначают буквой R).
Значит, окружность — это линия на плоскости, каждая точка которой расположена на одинаковом расстоянии от центра окружности.

Кругом называется часть плоскости, ограниченная окружностью и включающая ее центр.

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, представляет собой диаметр. Диаметр окружности равен ее удвоенному радиусу: D = 2R.

Угол с в центре окружности называется ее центральным углом

Угол с в центре окружности называется ее центральным углом

Точка пересечения двух хорд делит каждую хорду на отрезки, произведение которых одинаково: a1a2 = b1b2

Угол с в центре окружности называется ее центральным углом

Касательная к окружности всегда перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

Угол с в центре окружности называется ее центральным углом

Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны: AB = AC, центр окружности лежит на биссектрисе угла BAC.

Угол с в центре окружности называется ее центральным углом

Квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть

Угол с в центре окружности называется ее центральным углом

Центральный угол — это угол, вершина которого совпадает с центром окружности.

Дугой называется часть окружности, заключенная между двумя точками.

Мерой дуги (в градусах или радианах) является центральный угол, опирающийся на данную дугу.

Угол с в центре окружности называется ее центральным углом

Вписанный угол это угол, вершина которого лежит на окружности, а cтороны угла пересекают ее.

Угол с в центре окружности называется ее центральным углом

Вписанный угол равен половине центрального, если оба угла опираются на одну и ту же дугу окружности.
Внутренние углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Угол с в центре окружности называется ее центральным углом

Сектором круга называется геометрическая фигура, ограниченная двумя радиусами и дугой, на которую опираются данные радиусы.

Угол с в центре окружности называется ее центральным углом

Периметр сектора: P = s + 2R.

Площадь сектора: S = Rs/2 = ПR 2 а/360°.

Сегментом круга называется геометрическая фигура, ограниченная хордой и стягиваемой ею дугой.

📽️ Видео

Всё про вписанные и центральные углы за 4 минуты | Борис Трушин |Скачать

Всё про вписанные и центральные углы за 4 минуты | Борис Трушин |

8 класс, 32 урок, Касательная к окружностиСкачать

8 класс, 32 урок, Касательная к окружности

ЕГЭ МАТЕМАТИКА (профиль) | Окружность и углы в окружностиСкачать

ЕГЭ МАТЕМАТИКА (профиль) | Окружность и углы в окружности

Разбираем НОВЫЙ ВАРИАНТ по обществознанию ЕГЭ 2024 из сборника Котовой и Лисковой | СОТКАСкачать

Разбираем НОВЫЙ ВАРИАНТ по обществознанию ЕГЭ 2024 из сборника Котовой и Лисковой | СОТКА

Вписанные и центральные углыСкачать

Вписанные и центральные углы

Вписанные углы в окружностиСкачать

Вписанные углы в окружности

Взаимное расположение окружностей. 7 класс.Скачать

Взаимное расположение окружностей. 7 класс.

ГЕОМЕТРИЯ 8 класс : Центральные и вписанные углыСкачать

ГЕОМЕТРИЯ 8 класс : Центральные и вписанные углы

Окружность. 7 класс.Скачать

Окружность. 7 класс.

Решение задач на тему центральные и вписанные углы.Скачать

Решение задач на тему центральные и вписанные углы.

ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ . §9 геометрия 8 классСкачать

ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ . §9 геометрия 8 класс
Поделиться или сохранить к себе: