Угол не вписанный в окружность опирающийся на дугу

Углы, связанные с окружностью
Угол не вписанный в окружность опирающийся на дугуВписанные и центральные углы
Угол не вписанный в окружность опирающийся на дугуУглы, образованные хордами, касательными и секущими
Угол не вписанный в окружность опирающийся на дугуДоказательства теорем об углах, связанных с окружностью

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Вписанные и центральные углы

Определение 1 . Центральным углом называют угол, вершина которого совпадает с центром окружности, а стороны являются радиусами радиусами (рис. 1).

Угол не вписанный в окружность опирающийся на дугу

Определение 2 . Вписанным углом называют угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны являются хордами хордами (рис. 2).

Угол не вписанный в окружность опирающийся на дугу

Напомним, что углы можно измерять в градусах и в радианах. Дуги окружности также можно измерять в градусах и в радианах, что вытекает из следующего определения.

Определение 3 . Угловой мерой (угловой величиной) дуги окружности является величина центрального угла, опирающегося на эту дугу.

Видео:Урок по теме ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ 8 КЛАСССкачать

Урок по теме ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ 8 КЛАСС

Теоремы о вписанных и центральных углах

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
около этого треугольника окружности.

ФигураРисунокТеорема
Вписанный уголУгол не вписанный в окружность опирающийся на дугу
Вписанный уголУгол не вписанный в окружность опирающийся на дугуВписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.
Вписанный уголУгол не вписанный в окружность опирающийся на дугуВписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды
Вписанный уголУгол не вписанный в окружность опирающийся на дугуДва вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды
Вписанный уголУгол не вписанный в окружность опирающийся на дугуВписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр
Окружность, описанная около прямоугольного треугольникаУгол не вписанный в окружность опирающийся на дугу

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Угол не вписанный в окружность опирающийся на дугу

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.

Угол не вписанный в окружность опирающийся на дугу

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды

Угол не вписанный в окружность опирающийся на дугу

Два вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды

Угол не вписанный в окружность опирающийся на дугу

Вписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр

Угол не вписанный в окружность опирающийся на дугу

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
около этого треугольника окружности.

Угол не вписанный в окружность опирающийся на дугу

Видео:№655. Центральный угол АОВ на 30° больше вписанного угла, опирающегося на дугу АВ. НайдитеСкачать

№655. Центральный угол АОВ на 30° больше вписанного угла, опирающегося на дугу АВ. Найдите

Теоремы об углах, образованных хордами, касательными и секущими

Вписанный угол
Окружность, описанная около прямоугольного треугольника

Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

ФигураРисунокТеоремаФормула
Угол, образованный пересекающимися хордамиУгол не вписанный в окружность опирающийся на дугуУгол не вписанный в окружность опирающийся на дугу
Угол, образованный секущими, которые пересекаются вне кругаУгол не вписанный в окружность опирающийся на дугуУгол не вписанный в окружность опирающийся на дугу
Угол, образованный касательной и хордой, проходящей через точку касанияУгол не вписанный в окружность опирающийся на дугуУгол не вписанный в окружность опирающийся на дугу
Угол, образованный касательной и секущейУгол не вписанный в окружность опирающийся на дугуУгол не вписанный в окружность опирающийся на дугу
Угол, образованный двумя касательными к окружностиУгол не вписанный в окружность опирающийся на дугуУгол не вписанный в окружность опирающийся на дугу

Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Угол не вписанный в окружность опирающийся на дугу

Угол не вписанный в окружность опирающийся на дугу

Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

Угол не вписанный в окружность опирающийся на дугу

Угол не вписанный в окружность опирающийся на дугу

Угол не вписанный в окружность опирающийся на дугу

Угол не вписанный в окружность опирающийся на дугу

Угол, образованный пересекающимися хордами хордами
Угол не вписанный в окружность опирающийся на дугу
Формула: Угол не вписанный в окружность опирающийся на дугу
Угол, образованный секущими секущими , которые пересекаются вне круга
Формула: Угол не вписанный в окружность опирающийся на дугу

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Угол, образованный касательной и хордой хордой , проходящей через точку касания
Угол не вписанный в окружность опирающийся на дугу
Формула: Угол не вписанный в окружность опирающийся на дугу
Угол, образованный касательной и секущей касательной и секущей
Формула: Угол не вписанный в окружность опирающийся на дугу

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Угол, образованный двумя касательными касательными к окружности
Формулы: Угол не вписанный в окружность опирающийся на дугу

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Видео:Углы, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать

Углы, вписанные в окружность. 9 класс.

Доказательства теорем об углах, связанных с окружностью

Теорема 1 . Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Доказательство . Рассмотрим сначала вписанный угол ABC , сторона BC которого является диаметром окружности диаметром окружности , и центральный угол AOC (рис. 5).

Угол не вписанный в окружность опирающийся на дугу

Угол не вписанный в окружность опирающийся на дугу

Угол не вписанный в окружность опирающийся на дугу

Угол не вписанный в окружность опирающийся на дугу

Таким образом, в случае, когда одна из сторон вписанного угла проходит через центр окружности, теорема 1 доказана.

Теперь рассмотрим случай, когда центр окружности лежит внутри вписанного угла (рис. 6).

Угол не вписанный в окружность опирающийся на дугу

В этом случае справедливы равенства

Угол не вписанный в окружность опирающийся на дугу

Угол не вписанный в окружность опирающийся на дугу

Угол не вписанный в окружность опирающийся на дугу

и теорема 1 в этом случае доказана.

Осталось рассмотреть случай, когда центр окружности лежит вне вписанного угла (рис. 7).

Угол не вписанный в окружность опирающийся на дугу

В этом случае справедливы равенства

Угол не вписанный в окружность опирающийся на дугу

Угол не вписанный в окружность опирающийся на дугу

Угол не вписанный в окружность опирающийся на дугу

что и завершает доказательство теоремы 1.

Теорема 2 . Величина угла, образованного пересекающимися хордами хордами , равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 8.

Угол не вписанный в окружность опирающийся на дугу

Нас интересует величина угла AED , образованного пересекающимися в точке E хордами AB и CD . Поскольку угол AED – внешний угол треугольника BED , а углы CDB и ABD являются вписанными углами, то справедливы равенства

Угол не вписанный в окружность опирающийся на дугу

Угол не вписанный в окружность опирающийся на дугу

что и требовалось доказать.

Теорема 3 . Величина угла, образованного секущими секущими , пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

Угол не вписанный в окружность опирающийся на дугу

Угол не вписанный в окружность опирающийся на дугу

Нас интересует величина угла BED , образованного пересекающимися в точке E секущими AB и CD . Поскольку угол ADC – внешний угол треугольника ADE , а углы ADC , DCB и DAB являются вписанными углами, то справедливы равенства

Угол не вписанный в окружность опирающийся на дугу

Угол не вписанный в окружность опирающийся на дугу

что и требовалось доказать.

Теорема 4 . Величина угла, образованного касательной и хордой касательной и хордой , проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 10.

Угол не вписанный в окружность опирающийся на дугу

Угол не вписанный в окружность опирающийся на дугу

Нас интересует величина угла BAC , образованного касательной AB и хордой AC . Поскольку AD – диаметр диаметр , проходящий через точку касания, а угол ACD – вписанный угол, опирающийся на диаметр, то углы DAB и DCA – прямые. Поэтому справедливы равенства

Угол не вписанный в окружность опирающийся на дугу

Угол не вписанный в окружность опирающийся на дугу

что и требовалось доказать

Теорема 5 . Величина угла, образованного касательной и секущей касательной и секущей , равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 11.

Угол не вписанный в окружность опирающийся на дугу

Угол не вписанный в окружность опирающийся на дугу

Нас интересует величина угла BED , образованного касательной AB и секущей CD . Заметим, что угол BDC – внешний угол треугольника DBE , а углы BDC и BCD являются вписанными углами. Кроме того, углы DBE и DCB , в силу теоремы 4, равны. Поэтому справедливы равенства

Угол не вписанный в окружность опирающийся на дугу

Угол не вписанный в окружность опирающийся на дугу

что и требовалось доказать.

Теорема 6 .Величина угла, образованного двумя касательными к окружности касательными к окружности , равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 12.

Угол не вписанный в окружность опирающийся на дугу

Угол не вписанный в окружность опирающийся на дугу

Нас интересует величина угла BED , образованного касательными AB и CD . Заметим, что углы BOD и BED в сумме составляют π радиан. Поэтому справедливо равенство

Видео:2166 Найдите вписанный угол опирающийся на дугу которая составляет 20 окружностиСкачать

2166 Найдите вписанный угол опирающийся на дугу которая составляет 20 окружности

Центральные и вписанные углы

Угол не вписанный в окружность опирающийся на дугу

О чем эта статья:

Видео:Всё про вписанные и центральные углы за 4 минуты | Борис Трушин |Скачать

Всё про вписанные и центральные углы за 4 минуты | Борис Трушин |

Центральный угол и вписанный угол

Окружность — замкнутая линия, все точки которой равноудалены от ее центра.

Определение центрального угла:

Центральный угол — это угол, вершина которого лежит в центре окружности.
Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается.

Угол не вписанный в окружность опирающийся на дугу

На рисунке: центральный угол окружности EOF и дуга, на которую он опирается EF

Определение вписанного угла:

Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности.

Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается.

Угол не вписанный в окружность опирающийся на дугу

На рисунке: вписанный в окружность угол ABC и дуга, на которую он опирается AC

Видео:ВАЖНЫЕ УГЛЫ в Геометрии — Центральный и Вписанный УголСкачать

ВАЖНЫЕ УГЛЫ в Геометрии — Центральный и Вписанный Угол

Свойства центральных и вписанных углов

Углы просты только на первый взгляд. Свойства центрального угла и свойства вписанного угла помогут решать задачки легко и быстро.

  • Вписанный угол в два раза меньше, чем центральный угол, если они опираются на одну и ту же дугу:

Угол не вписанный в окружность опирающийся на дугу

Угол AOC — центральный, угол ABC — вписанный. Оба угла опираются на дугу AC, в этом случае центральный угол равен дуге AC, а угол ABC равен половине угла AOC.

  • Теорема о центральном угле: центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается:

Угол не вписанный в окружность опирающийся на дугу

  • Вписанные углы окружности равны друг другу, если опираются на одну дугу:

Угол не вписанный в окружность опирающийся на дугу

ㄥADC = ㄥABC = ㄥAEC, поскольку все три угла, вписанные в окружность, опираются на одну дугу AC.

  • Вписанный в окружность угол, опирающийся на диаметр, — всегда прямой:

Угол не вписанный в окружность опирающийся на дугу

ㄥACB опирается на диаметр и на дугу AB, диаметр делит окружность на две равные части. Значит дуга AB = 180 ํ, ㄥCAB равен половине дуги, на которую он опирается, значит ㄥCAB = 90 ํ.

Если есть вписанный, обязательно найдется и описанный угол. Описанный угол — это угол, образованный двумя касательными к окружности. Вот так:

Угол не вписанный в окружность опирающийся на дугу

На рисунке: ㄥCAB, образованный двумя касательными к окружности. AO — биссектриса ㄥCAB, значит центр окружности лежит на биссектрисе описанного угла.

Для решения задачек мало знать, какой угол называется вписанным, а какой — описанным. Нужно знать, что такое хорда и ее свойство.

Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!

Хорда — отрезок, соединяющий две точки на окружности.

Угол не вписанный в окружность опирающийся на дугу

  • Если две хорды в окружности пересекаются, то произведения отрезков одной равно произведению отрезков другой.

Угол не вписанный в окружность опирающийся на дугу

AB * AC = AE * AD
Получается, что стороны вписанного в окружность угла — это хорды.

  • Если вписанные углы опираются на одну и ту же хорду — они равны, если их вершины находятся по одну сторону от хорды.

Угол не вписанный в окружность опирающийся на дугу

ㄥBAC = ㄥCAB, поскольку лежат на хорде BC.

  • Если два вписанных угла опираются на одну и ту же хорду, то их суммарная градусная мера равна 180°, если их вершины находятся по разные стороны от хорды.

Угол не вписанный в окружность опирающийся на дугу

ㄥBAC + ㄥBDC = 180°

Видео:Вписанные и центральные углы #огэ #огэматематика #математикаСкачать

Вписанные и центральные углы #огэ #огэматематика #математика

Примеры решения задач

Центральный, вписанные и описанные углы, как и любые другие, требуют тренировок в решении. Рассмотрите примеры решения задач и потренируйтесь самостоятельно.

Задачка 1. Дана окружность, дуга AC = 200°, дуга BC = 80°. Найдите, чему равен вписанный угол, опирающийся на дугу AB. ㄥACB = ?

Угол не вписанный в окружность опирающийся на дугу

Как решаем: окружность 360° − AC − CB = 360° − 200° − 80° = 80°
По теореме: вписанный угол равен дуге ½.
ㄥACB = ½ AB = 40°

Задачка 2. Дана окружность, ㄥAOC = 140°, найдите, чему равна величина вписанного угла.

Угол не вписанный в окружность опирающийся на дугу

Мы уже потренировались и знаем, как найти вписанный угол.
На рисунке в окружности центральный угол и дуга AC = 140°
Мы знаем, что вписанный угол равен половине центрального, то ㄥABC = ½ AC = 140/2 = 70°

Задачка 3. Чему равен вписанный в окружность угол, опирающийся на дугу, если эта дуга = ⅕ окружности?

Угол не вписанный в окружность опирающийся на дугу

СB = ⅕ от 360° = 72°
Вписанный угол равен половине дуги, поэтому ㄥCAB = ½ от CB = 72° / 2 = 36°

Видео:Вписанные углы в окружностиСкачать

Вписанные углы в окружности

Углы в окружности

Рассмотрим углы в окружности и углы, связанные с окружностью.

  • Угол с вершиной в центре окружности.
  • Угол с вершиной на окружности (его стороны пересекают окружность).
  • Угол с вершиной внутри окружности (не в центре).
  • Угол с вершиной вне окружности, стороны которого пересекают окружность.

I. Угол с вершиной в центре окружности называется центральным углом.

Стороны центрального угла разбивают окружность на две части. Дугой, соответствующей данному центральному углу, называется та часть, которая содержится внутри угла.

Угол не вписанный в окружность опирающийся на дугуНапример, центральному углу AOC соответствует дуга AC (или дуга AFC. Обычно дугу называют двумя буквами. Но, поскольку любую из двух, на которые точки A и C делят окружность, можно назвать AC, то третью, дополнительную букву, иногда используют для уточнения выбранной дуги).

Градусная мера дуги окружности равна градусной мере соответствующего центрального угла:

Угол не вписанный в окружность опирающийся на дугуII. Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом.

Стороны вписанного угла также разбивают окружность на две дуги. Говорят, что вписанный угол опирается на лугу, которая лежит внутри него.

Например, вписанный угол ABC опирается на дугу AC (или дугу AFC).

Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается:

Угол не вписанный в окружность опирающийся на дугу

Есть другой вариант формулировки свойства вписанного угла.

Угол не вписанный в окружность опирающийся на дугуВписанный угол равен половине соответствующего ему центрального угла:

Угол не вписанный в окружность опирающийся на дугу

Угол не вписанный в окружность опирающийся на дугу

Угол не вписанный в окружность опирающийся на дугуВписанный угол, опирающийся на полуокружность — прямой.

И наоборот: любой прямой вписанный угол опирается на полуокружность.

Другая формулировка этого утверждения:

(обратно: Если вписанный угол прямой, то он опирается на диаметр).

III. Угол, вершина которого лежит в окружности — это угол между пересекающимися хордами.

Угол между пересекающимися хордами равен полусумме дуг, заключённых между его сторонами и сторонами вертикального ему угла.

Угол не вписанный в окружность опирающийся на дугу

Угол не вписанный в окружность опирающийся на дугу

IV. Угол с вершиной вне окружности, обе стороны которого пересекают окружность — это угол между секущими, которые пересекаются вне окружности.

Угол между секущими, пересекающимися вне окружности, измеряется полуразностью большей и меньшей дуг, заключенных между его сторонами.

🔍 Видео

Геометрия. Теорема о вписанном углеСкачать

Геометрия. Теорема о вписанном угле

8 класс, 34 урок, Теорема о вписанном углеСкачать

8 класс, 34 урок, Теорема о вписанном угле

Геометрия Чему равна градусная мера центрального угла окружности, опирающегося на дугу, котораяСкачать

Геометрия Чему равна градусная мера центрального угла окружности, опирающегося на дугу, которая

ЗАДАНИЕ 1| ЕГЭ ПРОФИЛЬ|Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, которая составляет 1/5 окружностСкачать

ЗАДАНИЕ 1| ЕГЭ ПРОФИЛЬ|Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, которая составляет 1/5 окружност

Угол, вписанный в окружность. Теорема о величине вписанного в окружность угла. Геометрия 8-9 классСкачать

Угол, вписанный в окружность. Теорема о величине вписанного в окружность угла. Геометрия 8-9 класс

Вписанный угол, общий случай.Скачать

Вписанный угол, общий случай.

Вписанные и центральные углыСкачать

Вписанные и центральные углы

Задача 6 №27859 ЕГЭ по математике. Урок 104Скачать

Задача 6 №27859 ЕГЭ по математике. Урок 104

Решение задач на тему центральные и вписанные углы.Скачать

Решение задач на тему центральные и вписанные углы.

Вписанный угол равен половине центрального углаСкачать

Вписанный угол равен половине центрального угла

Угол, вписанный в окружность. Решение задач. Часть 1. Геометрия 8-9 классСкачать

Угол, вписанный в окружность. Решение задач. Часть 1. Геометрия 8-9 класс
Поделиться или сохранить к себе: