Угол между хордой и касательной к окружности задачи

Угол между хордой и касательной к окружности задачи

Найдите хорду, на которую опирается угол 120°, вписанный в окружность радиуса Угол между хордой и касательной к окружности задачи

Применим теорему синусов к треугольнику ABC:

Угол между хордой и касательной к окружности задачи

Приведём другое решение.

Вписанный угол дополняет половину центрального угла, опирающегося на ту же хорду, до 180°, значит, Угол между хордой и касательной к окружности задачиПо теореме косинусов:

Угол между хордой и касательной к окружности задачи

Ошибка в последней строчке. Перед 6 не плюс, а минус.

В последней строчке все верно: Угол между хордой и касательной к окружности задачи.

Хорда AB делит окружность на две части, градусные величины которых относятся как 5:7. Под каким углом видна эта хорда из точки C, принадлежащей меньшей дуге окружности? Ответ дайте в градусах.

Из точки C хорда АВ видна под углом АCВ. Пусть большая часть окружности равна 7x, тогда меньшая равна 5x.

Угол между хордой и касательной к окружности задачи

Значит, меньшая дуга окружности равна 150°, а большая — 210°. Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, значит, опирающийся на большую дугу угол АCВ равен 105°.

В условии сказано под меньшей дугой окружности, a в ответе дано под большей. Правильно?

Решение верно, по условию точка лежит на меньшей дуге.

Хорда AB стягивает дугу окружности в 92°. Найдите угол ABC между этой хордой и касательной к окружности, проведенной через точку B. Ответ дайте в градусах.

Угол между касательной и хордой равен половине дуги, заключённой между ними. Поэтому он равен 46.

Через концы А и В дуги окружности с центром О проведены касательные АС и ВС. Угол СAB равен 32°. Найдите угол AОB. Ответ дайте в градусах.

Угол между касательной и хордой, проведённой в точку касания, измеряется половиной дуги, заключённой между его сторонами. Поэтому величина меньшей дуги АВ окружности равна 64°. Центральный угол измеряется дугой, на которую он опирается, поэтому угол АОВ равен 64°.

Примечание об изменении задания.

Ранее это задание и аналогичные к нему в Открытом банке были формулированы иначе.

Задание.Угол между хордой AB и касательной BC к окружности равен 32°. Найдите величину меньшей дуги, стягиваемой хордой AB. Ответ дайте в градусах.

Решение. Угол между касательной и хордой, проведённой в точку касания, измеряется половиной дуги, заключённой между его сторонами. Значит, искомая величина дуги равна 64°.

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Угол между касательной и хордой

Угол между касательной и хордой, проведенной через точку касания, равен половине угловой величины дуги, заключенной между ними.

Угол между хордой и касательной к окружности задачи

Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

Пусть . Тогда . Треугольник ОСА – равнобедренный, ОА = ОС (как радиусы окружности). Значит, , что и требовалось доказать.

Заметим, что – как вписанный, опирающийся на ту же дугу.

Задача ЕГЭ по теме «Угол между касательной и хордой»

Угол между хордой AB и касательной BC к окружности равен . Найдите величину меньшей дуги, стягиваемой хордой AB. Ответ дайте в градусах.

Угол между хордой и касательной к окружности задачи

Касательная ВС перпендикулярна радиусу ОВ, проведенному в точку касания. Значит, угол ОВС равен 90°, и тогда угол ОВА равен . Угол ОАВ также равен 58°, так как треугольник ОАВ – равнобедренный, его стороны ОА и ОВ равны радиусу окружности. Тогда третий угол этого треугольника, то есть угол АОВ, равен .

Центральный угол равен угловой величине дуги, на которую он опирается, и тогда дуга АВ равна .

Эту задачу можно решить быстрее, зная теорему об угле между касательной и хордой.
Угол между касательной и хордой, проведенной через точку касания, — это угол АВС. Он равен половине угловой величины дуги, заключенной между касательной ВС и хордой АВ, то есть дуги АВ. Значит, дуга АВ равна .

Видео:Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

Углы, связанные с окружностью

Угол между хордой и касательной к окружности задачиВписанные и центральные углы
Угол между хордой и касательной к окружности задачиУглы, образованные хордами, касательными и секущими
Угол между хордой и касательной к окружности задачиДоказательства теорем об углах, связанных с окружностью

Видео:Угол между хордой и касательной. 9 класс.Скачать

Угол между хордой и касательной. 9 класс.

Вписанные и центральные углы

Определение 1 . Центральным углом называют угол, вершина которого совпадает с центром окружности, а стороны являются радиусами радиусами (рис. 1).

Угол между хордой и касательной к окружности задачи

Определение 2 . Вписанным углом называют угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны являются хордами хордами (рис. 2).

Угол между хордой и касательной к окружности задачи

Напомним, что углы можно измерять в градусах и в радианах. Дуги окружности также можно измерять в градусах и в радианах, что вытекает из следующего определения.

Определение 3 . Угловой мерой (угловой величиной) дуги окружности является величина центрального угла, опирающегося на эту дугу.

Видео:Угол между хордой и касательнойСкачать

Угол между хордой и касательной

Теоремы о вписанных и центральных углах

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
около этого треугольника окружности.

ФигураРисунокТеорема
Вписанный уголУгол между хордой и касательной к окружности задачи
Вписанный уголУгол между хордой и касательной к окружности задачиВписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.
Вписанный уголУгол между хордой и касательной к окружности задачиВписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды
Вписанный уголУгол между хордой и касательной к окружности задачиДва вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды
Вписанный уголУгол между хордой и касательной к окружности задачиВписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр
Окружность, описанная около прямоугольного треугольникаУгол между хордой и касательной к окружности задачи

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Угол между хордой и касательной к окружности задачи

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.

Угол между хордой и касательной к окружности задачи

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды

Угол между хордой и касательной к окружности задачи

Два вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды

Угол между хордой и касательной к окружности задачи

Вписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр

Угол между хордой и касательной к окружности задачи

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
около этого треугольника окружности.

Угол между хордой и касательной к окружности задачи

Видео:11 класс, 40 урок, Угол между касательной и хордойСкачать

11 класс, 40 урок, Угол между касательной и хордой

Теоремы об углах, образованных хордами, касательными и секущими

Вписанный угол
Окружность, описанная около прямоугольного треугольника

Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

ФигураРисунокТеоремаФормула
Угол, образованный пересекающимися хордамиУгол между хордой и касательной к окружности задачиУгол между хордой и касательной к окружности задачи
Угол, образованный секущими, которые пересекаются вне кругаУгол между хордой и касательной к окружности задачиУгол между хордой и касательной к окружности задачи
Угол, образованный касательной и хордой, проходящей через точку касанияУгол между хордой и касательной к окружности задачиУгол между хордой и касательной к окружности задачи
Угол, образованный касательной и секущейУгол между хордой и касательной к окружности задачиУгол между хордой и касательной к окружности задачи
Угол, образованный двумя касательными к окружностиУгол между хордой и касательной к окружности задачиУгол между хордой и касательной к окружности задачи

Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Угол между хордой и касательной к окружности задачи

Угол между хордой и касательной к окружности задачи

Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

Угол между хордой и касательной к окружности задачи

Угол между хордой и касательной к окружности задачи

Угол между хордой и касательной к окружности задачи

Угол между хордой и касательной к окружности задачи

Угол, образованный пересекающимися хордами хордами
Угол между хордой и касательной к окружности задачи
Формула: Угол между хордой и касательной к окружности задачи
Угол, образованный секущими секущими , которые пересекаются вне круга
Формула: Угол между хордой и касательной к окружности задачи

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Угол, образованный касательной и хордой хордой , проходящей через точку касания
Угол между хордой и касательной к окружности задачи
Формула: Угол между хордой и касательной к окружности задачи
Угол, образованный касательной и секущей касательной и секущей
Формула: Угол между хордой и касательной к окружности задачи

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Угол, образованный двумя касательными касательными к окружности
Формулы: Угол между хордой и касательной к окружности задачи

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Видео:Угол между хордой и касательнойСкачать

Угол между хордой и касательной

Доказательства теорем об углах, связанных с окружностью

Теорема 1 . Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Доказательство . Рассмотрим сначала вписанный угол ABC , сторона BC которого является диаметром окружности диаметром окружности , и центральный угол AOC (рис. 5).

Угол между хордой и касательной к окружности задачи

Угол между хордой и касательной к окружности задачи

Угол между хордой и касательной к окружности задачи

Угол между хордой и касательной к окружности задачи

Таким образом, в случае, когда одна из сторон вписанного угла проходит через центр окружности, теорема 1 доказана.

Теперь рассмотрим случай, когда центр окружности лежит внутри вписанного угла (рис. 6).

Угол между хордой и касательной к окружности задачи

В этом случае справедливы равенства

Угол между хордой и касательной к окружности задачи

Угол между хордой и касательной к окружности задачи

Угол между хордой и касательной к окружности задачи

и теорема 1 в этом случае доказана.

Осталось рассмотреть случай, когда центр окружности лежит вне вписанного угла (рис. 7).

Угол между хордой и касательной к окружности задачи

В этом случае справедливы равенства

Угол между хордой и касательной к окружности задачи

Угол между хордой и касательной к окружности задачи

Угол между хордой и касательной к окружности задачи

что и завершает доказательство теоремы 1.

Теорема 2 . Величина угла, образованного пересекающимися хордами хордами , равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 8.

Угол между хордой и касательной к окружности задачи

Нас интересует величина угла AED , образованного пересекающимися в точке E хордами AB и CD . Поскольку угол AED – внешний угол треугольника BED , а углы CDB и ABD являются вписанными углами, то справедливы равенства

Угол между хордой и касательной к окружности задачи

Угол между хордой и касательной к окружности задачи

что и требовалось доказать.

Теорема 3 . Величина угла, образованного секущими секущими , пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

Угол между хордой и касательной к окружности задачи

Угол между хордой и касательной к окружности задачи

Нас интересует величина угла BED , образованного пересекающимися в точке E секущими AB и CD . Поскольку угол ADC – внешний угол треугольника ADE , а углы ADC , DCB и DAB являются вписанными углами, то справедливы равенства

Угол между хордой и касательной к окружности задачи

Угол между хордой и касательной к окружности задачи

что и требовалось доказать.

Теорема 4 . Величина угла, образованного касательной и хордой касательной и хордой , проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 10.

Угол между хордой и касательной к окружности задачи

Угол между хордой и касательной к окружности задачи

Нас интересует величина угла BAC , образованного касательной AB и хордой AC . Поскольку AD – диаметр диаметр , проходящий через точку касания, а угол ACD – вписанный угол, опирающийся на диаметр, то углы DAB и DCA – прямые. Поэтому справедливы равенства

Угол между хордой и касательной к окружности задачи

Угол между хордой и касательной к окружности задачи

что и требовалось доказать

Теорема 5 . Величина угла, образованного касательной и секущей касательной и секущей , равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 11.

Угол между хордой и касательной к окружности задачи

Угол между хордой и касательной к окружности задачи

Нас интересует величина угла BED , образованного касательной AB и секущей CD . Заметим, что угол BDC – внешний угол треугольника DBE , а углы BDC и BCD являются вписанными углами. Кроме того, углы DBE и DCB , в силу теоремы 4, равны. Поэтому справедливы равенства

Угол между хордой и касательной к окружности задачи

Угол между хордой и касательной к окружности задачи

что и требовалось доказать.

Теорема 6 .Величина угла, образованного двумя касательными к окружности касательными к окружности , равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 12.

Угол между хордой и касательной к окружности задачи

Угол между хордой и касательной к окружности задачи

Нас интересует величина угла BED , образованного касательными AB и CD . Заметим, что углы BOD и BED в сумме составляют π радиан. Поэтому справедливо равенство

🔥 Видео

Секретная теорема из учебника геометрииСкачать

Секретная теорема из учебника геометрии

Угол между касательной и хордойСкачать

Угол между касательной и хордой

Найти угол между касательной и хордой. Полная версияСкачать

Найти угол между касательной и хордой. Полная версия

Геометрия 11 класс. Угол между касательной и хордойСкачать

Геометрия 11 класс. Угол между касательной и хордой

Задача 6 №27877 ЕГЭ по математике. Урок 118Скачать

Задача 6 №27877 ЕГЭ по математике. Урок 118

Хорда АВ стягивает дугу окружности в 40 градусов. Найдите угол АВС между этой хордой и касательной..Скачать

Хорда АВ стягивает дугу окружности в 40 градусов. Найдите угол АВС между этой хордой и касательной..

Задача 6 №27878 ЕГЭ по математике. Урок 119Скачать

Задача 6 №27878 ЕГЭ по математике. Урок 119

Угол между касательной и хордойСкачать

Угол между касательной и хордой

Геометрия Угол между касательной к окружности и хордой, проведенной через точку касания, измеряетсяСкачать

Геометрия Угол между касательной к окружности и хордой, проведенной через точку касания, измеряется

#59. Олимпиадная задача о касательной к окружности!Скачать

#59. Олимпиадная задача о касательной к окружности!

Окружность..Угол между касательной и хордой.Скачать

Окружность..Угол между касательной и хордой.

Угол между касательной и хордой | Задачи 1-10 | Решение задач | Волчкевич|Уроки геометрии 7-8 классыСкачать

Угол между касательной и хордой | Задачи 1-10 | Решение задач | Волчкевич|Уроки геометрии 7-8 классы

Окружность.Отношение между хордой и касательной.Скачать

Окружность.Отношение между хордой и касательной.

Угол между касательной и хордой.Скачать

Угол между касательной и хордой.
Поделиться или сохранить к себе: