Курс школьной геометрии » Окружность

Углы опирающиеся на 1 и ту же дугу окружности

Обновлено
Углы, связанные с окружностью
Углы опирающиеся на 1 и ту же дугу окружностиВписанные и центральные углы
Углы опирающиеся на 1 и ту же дугу окружностиУглы, образованные хордами, касательными и секущими
Углы опирающиеся на 1 и ту же дугу окружностиДоказательства теорем об углах, связанных с окружностью
Содержание
  1. Вписанные и центральные углы
  2. Теоремы о вписанных и центральных углах
  3. Теоремы об углах, образованных хордами, касательными и секущими
  4. Доказательства теорем об углах, связанных с окружностью
  5. Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу
  6. Центральные и вписанные углы
  7. Центральный угол и вписанный угол
  8. Свойства центральных и вписанных углов
  9. Примеры решения задач
  10. 📽️ Видео

Видео:Вписанные углы в окружностиСкачать

Вписанные углы в окружности

Вписанные и центральные углы

Определение 1 . Центральным углом называют угол, вершина которого совпадает с центром окружности, а стороны являются радиусами радиусами (рис. 1).

Углы опирающиеся на 1 и ту же дугу окружности

Определение 2 . Вписанным углом называют угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны являются хордами хордами (рис. 2).

Углы опирающиеся на 1 и ту же дугу окружности

Напомним, что углы можно измерять в градусах и в радианах. Дуги окружности также можно измерять в градусах и в радианах, что вытекает из следующего определения.

Определение 3 . Угловой мерой (угловой величиной) дуги окружности является величина центрального угла, опирающегося на эту дугу.

Видео:Равенство вписанных в окружность углов, опирающихся на одну и ту же дугу.Скачать

Равенство вписанных в окружность углов, опирающихся на одну и ту же дугу.

Теоремы о вписанных и центральных углах

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
около этого треугольника окружности.

ФигураРисунокТеорема
Вписанный уголУглы опирающиеся на 1 и ту же дугу окружности
Вписанный уголУглы опирающиеся на 1 и ту же дугу окружностиВписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.
Вписанный уголУглы опирающиеся на 1 и ту же дугу окружностиВписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды
Вписанный уголУглы опирающиеся на 1 и ту же дугу окружностиДва вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды
Вписанный уголУглы опирающиеся на 1 и ту же дугу окружностиВписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр
Окружность, описанная около прямоугольного треугольникаУглы опирающиеся на 1 и ту же дугу окружности

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Углы опирающиеся на 1 и ту же дугу окружности

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.

Углы опирающиеся на 1 и ту же дугу окружности

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды

Углы опирающиеся на 1 и ту же дугу окружности

Два вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды

Углы опирающиеся на 1 и ту же дугу окружности

Вписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр

Углы опирающиеся на 1 и ту же дугу окружности

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
около этого треугольника окружности.

Углы опирающиеся на 1 и ту же дугу окружности

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия | Математика

Теоремы об углах, образованных хордами, касательными и секущими

Вписанный угол
Окружность, описанная около прямоугольного треугольника

Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

ФигураРисунокТеоремаФормула
Угол, образованный пересекающимися хордамиУглы опирающиеся на 1 и ту же дугу окружностиУглы опирающиеся на 1 и ту же дугу окружности
Угол, образованный секущими, которые пересекаются вне кругаУглы опирающиеся на 1 и ту же дугу окружностиУглы опирающиеся на 1 и ту же дугу окружности
Угол, образованный касательной и хордой, проходящей через точку касанияУглы опирающиеся на 1 и ту же дугу окружностиУглы опирающиеся на 1 и ту же дугу окружности
Угол, образованный касательной и секущейУглы опирающиеся на 1 и ту же дугу окружностиУглы опирающиеся на 1 и ту же дугу окружности
Угол, образованный двумя касательными к окружностиУглы опирающиеся на 1 и ту же дугу окружностиУглы опирающиеся на 1 и ту же дугу окружности

Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Углы опирающиеся на 1 и ту же дугу окружности

Углы опирающиеся на 1 и ту же дугу окружности

Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

Углы опирающиеся на 1 и ту же дугу окружности

Углы опирающиеся на 1 и ту же дугу окружности

Углы опирающиеся на 1 и ту же дугу окружности

Углы опирающиеся на 1 и ту же дугу окружности

Угол, образованный пересекающимися хордами хордами
Углы опирающиеся на 1 и ту же дугу окружности
Формула: Углы опирающиеся на 1 и ту же дугу окружности
Угол, образованный секущими секущими , которые пересекаются вне круга
Формула: Углы опирающиеся на 1 и ту же дугу окружности

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Угол, образованный касательной и хордой хордой , проходящей через точку касания
Углы опирающиеся на 1 и ту же дугу окружности
Формула: Углы опирающиеся на 1 и ту же дугу окружности
Угол, образованный касательной и секущей касательной и секущей
Формула: Углы опирающиеся на 1 и ту же дугу окружности

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Угол, образованный двумя касательными касательными к окружности
Формулы: Углы опирающиеся на 1 и ту же дугу окружности

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Видео:Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу окружности. Задание А2 из ЦТ 2020 #цт2020Скачать

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу окружности. Задание А2 из ЦТ 2020 #цт2020

Доказательства теорем об углах, связанных с окружностью

Теорема 1 . Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Доказательство . Рассмотрим сначала вписанный угол ABC , сторона BC которого является диаметром окружности диаметром окружности , и центральный угол AOC (рис. 5).

Углы опирающиеся на 1 и ту же дугу окружности

Углы опирающиеся на 1 и ту же дугу окружности

Углы опирающиеся на 1 и ту же дугу окружности

Углы опирающиеся на 1 и ту же дугу окружности

Таким образом, в случае, когда одна из сторон вписанного угла проходит через центр окружности, теорема 1 доказана.

Теперь рассмотрим случай, когда центр окружности лежит внутри вписанного угла (рис. 6).

Углы опирающиеся на 1 и ту же дугу окружности

В этом случае справедливы равенства

Углы опирающиеся на 1 и ту же дугу окружности

Углы опирающиеся на 1 и ту же дугу окружности

Углы опирающиеся на 1 и ту же дугу окружности

и теорема 1 в этом случае доказана.

Осталось рассмотреть случай, когда центр окружности лежит вне вписанного угла (рис. 7).

Углы опирающиеся на 1 и ту же дугу окружности

В этом случае справедливы равенства

Углы опирающиеся на 1 и ту же дугу окружности

Углы опирающиеся на 1 и ту же дугу окружности

Углы опирающиеся на 1 и ту же дугу окружности

что и завершает доказательство теоремы 1.

Теорема 2 . Величина угла, образованного пересекающимися хордами хордами , равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 8.

Углы опирающиеся на 1 и ту же дугу окружности

Нас интересует величина угла AED , образованного пересекающимися в точке E хордами AB и CD . Поскольку угол AED – внешний угол треугольника BED , а углы CDB и ABD являются вписанными углами, то справедливы равенства

Углы опирающиеся на 1 и ту же дугу окружности

Углы опирающиеся на 1 и ту же дугу окружности

что и требовалось доказать.

Теорема 3 . Величина угла, образованного секущими секущими , пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

Углы опирающиеся на 1 и ту же дугу окружности

Углы опирающиеся на 1 и ту же дугу окружности

Нас интересует величина угла BED , образованного пересекающимися в точке E секущими AB и CD . Поскольку угол ADC – внешний угол треугольника ADE , а углы ADC , DCB и DAB являются вписанными углами, то справедливы равенства

Углы опирающиеся на 1 и ту же дугу окружности

Углы опирающиеся на 1 и ту же дугу окружности

что и требовалось доказать.

Теорема 4 . Величина угла, образованного касательной и хордой касательной и хордой , проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 10.

Углы опирающиеся на 1 и ту же дугу окружности

Углы опирающиеся на 1 и ту же дугу окружности

Нас интересует величина угла BAC , образованного касательной AB и хордой AC . Поскольку AD – диаметр диаметр , проходящий через точку касания, а угол ACD – вписанный угол, опирающийся на диаметр, то углы DAB и DCA – прямые. Поэтому справедливы равенства

Углы опирающиеся на 1 и ту же дугу окружности

Углы опирающиеся на 1 и ту же дугу окружности

что и требовалось доказать

Теорема 5 . Величина угла, образованного касательной и секущей касательной и секущей , равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 11.

Углы опирающиеся на 1 и ту же дугу окружности

Углы опирающиеся на 1 и ту же дугу окружности

Нас интересует величина угла BED , образованного касательной AB и секущей CD . Заметим, что угол BDC – внешний угол треугольника DBE , а углы BDC и BCD являются вписанными углами. Кроме того, углы DBE и DCB , в силу теоремы 4, равны. Поэтому справедливы равенства

Углы опирающиеся на 1 и ту же дугу окружности

Углы опирающиеся на 1 и ту же дугу окружности

что и требовалось доказать.

Теорема 6 .Величина угла, образованного двумя касательными к окружности касательными к окружности , равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 12.

Углы опирающиеся на 1 и ту же дугу окружности

Углы опирающиеся на 1 и ту же дугу окружности

Нас интересует величина угла BED , образованного касательными AB и CD . Заметим, что углы BOD и BED в сумме составляют π радиан. Поэтому справедливо равенство

Видео:Вписанный угол, опирающийся на диаметр. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугуСкачать

Вписанный угол, опирающийся на диаметр. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу

Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу

Вписанные углы, опирающихся на одну дугу (или на одну хорду), обладают полезным свойством, вытекающим из теоремы о вписанном угле.

Следствие из теоремы о вписанном угле.

Углы опирающиеся на 1 и ту же дугу окружности

Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу (или на одну хорду), равны.

Углы опирающиеся на 1 и ту же дугу окружности

вписанный угол равен половине соответствующего ему центрального угла.

Отсюда, любой вписанный угол, опирающийся на дугу AC, равен половине центрального угла AOC (или половине дуги AC).

Углы опирающиеся на 1 и ту же дугу окружности

Углы опирающиеся на 1 и ту же дугу окружности

Углы опирающиеся на 1 и ту же дугу окружности

Углы опирающиеся на 1 и ту же дугу окружности

Что и требовалось доказать.

Это свойство вписанных углов очень часто используется при решении задач. Позже мы рассмотрим несколько таких задач.

Видео:Всё про вписанные и центральные углы за 4 минуты | Борис Трушин |Скачать

Всё про вписанные и центральные углы за 4 минуты | Борис Трушин |

Центральные и вписанные углы

Углы опирающиеся на 1 и ту же дугу окружности

О чем эта статья:

Видео:Задача 6 №27859 ЕГЭ по математике. Урок 104Скачать

Задача 6 №27859 ЕГЭ по математике. Урок 104

Центральный угол и вписанный угол

Окружность — замкнутая линия, все точки которой равноудалены от ее центра.

Определение центрального угла:

Центральный угол — это угол, вершина которого лежит в центре окружности.
Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается.

Углы опирающиеся на 1 и ту же дугу окружности

На рисунке: центральный угол окружности EOF и дуга, на которую он опирается EF

Определение вписанного угла:

Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности.

Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается.

Углы опирающиеся на 1 и ту же дугу окружности

На рисунке: вписанный в окружность угол ABC и дуга, на которую он опирается AC

Видео:№655. Центральный угол АОВ на 30° больше вписанного угла, опирающегося на дугу АВ. НайдитеСкачать

№655. Центральный угол АОВ на 30° больше вписанного угла, опирающегося на дугу АВ. Найдите

Свойства центральных и вписанных углов

Углы просты только на первый взгляд. Свойства центрального угла и свойства вписанного угла помогут решать задачки легко и быстро.

  • Вписанный угол в два раза меньше, чем центральный угол, если они опираются на одну и ту же дугу:

Углы опирающиеся на 1 и ту же дугу окружности

Угол AOC — центральный, угол ABC — вписанный. Оба угла опираются на дугу AC, в этом случае центральный угол равен дуге AC, а угол ABC равен половине угла AOC.

  • Теорема о центральном угле: центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается:

Углы опирающиеся на 1 и ту же дугу окружности

  • Вписанные углы окружности равны друг другу, если опираются на одну дугу:

Углы опирающиеся на 1 и ту же дугу окружности

ㄥADC = ㄥABC = ㄥAEC, поскольку все три угла, вписанные в окружность, опираются на одну дугу AC.

  • Вписанный в окружность угол, опирающийся на диаметр, — всегда прямой:

Углы опирающиеся на 1 и ту же дугу окружности

ㄥACB опирается на диаметр и на дугу AB, диаметр делит окружность на две равные части. Значит дуга AB = 180 ํ, ㄥCAB равен половине дуги, на которую он опирается, значит ㄥCAB = 90 ํ.

Если есть вписанный, обязательно найдется и описанный угол. Описанный угол — это угол, образованный двумя касательными к окружности. Вот так:

Углы опирающиеся на 1 и ту же дугу окружности

На рисунке: ㄥCAB, образованный двумя касательными к окружности. AO — биссектриса ㄥCAB, значит центр окружности лежит на биссектрисе описанного угла.

Для решения задачек мало знать, какой угол называется вписанным, а какой — описанным. Нужно знать, что такое хорда и ее свойство.

Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!

Хорда — отрезок, соединяющий две точки на окружности.

Углы опирающиеся на 1 и ту же дугу окружности

  • Если две хорды в окружности пересекаются, то произведения отрезков одной равно произведению отрезков другой.

Углы опирающиеся на 1 и ту же дугу окружности

AB * AC = AE * AD
Получается, что стороны вписанного в окружность угла — это хорды.

  • Если вписанные углы опираются на одну и ту же хорду — они равны, если их вершины находятся по одну сторону от хорды.

Углы опирающиеся на 1 и ту же дугу окружности

ㄥBAC = ㄥCAB, поскольку лежат на хорде BC.

  • Если два вписанных угла опираются на одну и ту же хорду, то их суммарная градусная мера равна 180°, если их вершины находятся по разные стороны от хорды.

Углы опирающиеся на 1 и ту же дугу окружности

ㄥBAC + ㄥBDC = 180°

Видео:8 класс, 34 урок, Теорема о вписанном углеСкачать

8 класс, 34 урок, Теорема о вписанном угле

Примеры решения задач

Центральный, вписанные и описанные углы, как и любые другие, требуют тренировок в решении. Рассмотрите примеры решения задач и потренируйтесь самостоятельно.

Задачка 1. Дана окружность, дуга AC = 200°, дуга BC = 80°. Найдите, чему равен вписанный угол, опирающийся на дугу AB. ㄥACB = ?

Углы опирающиеся на 1 и ту же дугу окружности

Как решаем: окружность 360° − AC − CB = 360° − 200° − 80° = 80°
По теореме: вписанный угол равен дуге ½.
ㄥACB = ½ AB = 40°

Задачка 2. Дана окружность, ㄥAOC = 140°, найдите, чему равна величина вписанного угла.

Углы опирающиеся на 1 и ту же дугу окружности

Мы уже потренировались и знаем, как найти вписанный угол.
На рисунке в окружности центральный угол и дуга AC = 140°
Мы знаем, что вписанный угол равен половине центрального, то ㄥABC = ½ AC = 140/2 = 70°

Задачка 3. Чему равен вписанный в окружность угол, опирающийся на дугу, если эта дуга = ⅕ окружности?

Углы опирающиеся на 1 и ту же дугу окружности

СB = ⅕ от 360° = 72°
Вписанный угол равен половине дуги, поэтому ㄥCAB = ½ от CB = 72° / 2 = 36°

📽️ Видео

SOS-ГЕОМЕТРИЯ! Отрезки и углы, смежные и вертикальные углы | Математика TutorOnlineСкачать

SOS-ГЕОМЕТРИЯ! Отрезки и углы, смежные и вертикальные углы | Математика TutorOnline

ОГЭ-2022 ЗАДАНИЕ-23. ПОЛНЫЙ РАЗБОРСкачать

ОГЭ-2022 ЗАДАНИЕ-23. ПОЛНЫЙ РАЗБОР

Вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружностиСкачать

Вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружности

Вписанные и центральные углы #огэ #огэматематика #математикаСкачать

Вписанные и центральные углы #огэ #огэматематика #математика

#207. Окружность девяти точек | лемма о трезубце | ортотреугольник | прямая ЭйлераСкачать

#207. Окружность девяти точек | лемма о трезубце | ортотреугольник | прямая Эйлера

Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминанияСкачать

Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминания

🔴 Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу ... | ЕГЭ БАЗА 2018 | ЗАДАНИЕ 15 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

🔴 Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу ... | ЕГЭ БАЗА 2018 | ЗАДАНИЕ 15 | ШКОЛА ПИФАГОРА

8 класс, 33 урок, Градусная мера дуги окружностиСкачать

8 класс, 33 урок, Градусная мера дуги окружности

Урок по теме ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ 8 КЛАСССкачать

Урок по теме ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ 8 КЛАСС

Угол, вписанный в окружностьСкачать

Угол, вписанный в окружность

❓ Угол между секущими (вне окружности)Скачать

❓ Угол между секущими (вне окружности)
Поделиться или сохранить к себе:
О сайте | | © 2024 Курс школьной геометрии.