Тупой вписанный угол опирающийся на хорду равную радиусу окружности

Чему равен тупой вписанный угол, опирающийся на хорду

27859. Чему равен тупой вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружности? Ответ дайте в градусах.

Тупой вписанный угол опирающийся на хорду равную радиусу окружности

Построим центральный и вписанный угол на указанной хорде, обозначим вершины:

Тупой вписанный угол опирающийся на хорду равную радиусу окружности

Известно, что сумма противоположных углов четырёхугольника вписанного в окружность равна 180 0 . Поэтому определив угол ADB мы сможем вычислить искомый угол.

В условии сказано, что хорда равна радиусу окружности, следовательно треугольник АОВ равносторонний, то есть центральный угол АОВ равен 60 0 .

Так как вписанный угол равен половине центрального (по свойству вписанного угла), то

Видео:Вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружностиСкачать

Вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружности

Тупой вписанный угол опирающийся на хорду равную радиусу окружности

Задание 6. Чему равен тупой вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружности? Ответ дайте в градусах.

Тупой вписанный угол опирающийся на хорду равную радиусу окружности

Построим центральный и вписанный углы на хорде тупого угла (см. рисунок ниже).

Тупой вписанный угол опирающийся на хорду равную радиусу окружности

Из рисунка видно, что треугольник AOB – равносторонний, так как AO=OB=r – радиусы окружности, а AB=r – по условию задачи. Так как все углы равностороннего треугольника равны 60°, то градусная мера дуги AB также равна 60°. Теперь найдем вписанный угол ADB, который равен половине градусной меры дуги AB, то есть ADB=60°:2=30°. Учитывая, что сумма противоположных углов четырёхугольника вписанного в окружность равна 180°, искомый угол ACB равен:

Тупой вписанный угол опирающийся на хорду равную радиусу окружности.

Видео:Задача 6 №27859 ЕГЭ по математике. Урок 104Скачать

Задача 6 №27859 ЕГЭ по математике. Урок 104

Углы, связанные с окружностью

Тупой вписанный угол опирающийся на хорду равную радиусу окружностиВписанные и центральные углы
Тупой вписанный угол опирающийся на хорду равную радиусу окружностиУглы, образованные хордами, касательными и секущими
Тупой вписанный угол опирающийся на хорду равную радиусу окружностиДоказательства теорем об углах, связанных с окружностью

Видео:Чему равен острый вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружности?Скачать

Чему равен острый вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружности?

Вписанные и центральные углы

Определение 1 . Центральным углом называют угол, вершина которого совпадает с центром окружности, а стороны являются радиусами радиусами (рис. 1).

Тупой вписанный угол опирающийся на хорду равную радиусу окружности

Определение 2 . Вписанным углом называют угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны являются хордами хордами (рис. 2).

Тупой вписанный угол опирающийся на хорду равную радиусу окружности

Напомним, что углы можно измерять в градусах и в радианах. Дуги окружности также можно измерять в градусах и в радианах, что вытекает из следующего определения.

Определение 3 . Угловой мерой (угловой величиной) дуги окружности является величина центрального угла, опирающегося на эту дугу.

Видео:41. Геометрия на ЕГЭ по математике. Центральный и вписанный углы и их свойства.Скачать

41. Геометрия на ЕГЭ по математике. Центральный и вписанный углы и их свойства.

Теоремы о вписанных и центральных углах

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
около этого треугольника окружности.

ФигураРисунокТеорема
Вписанный уголТупой вписанный угол опирающийся на хорду равную радиусу окружности
Вписанный уголТупой вписанный угол опирающийся на хорду равную радиусу окружностиВписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.
Вписанный уголТупой вписанный угол опирающийся на хорду равную радиусу окружностиВписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды
Вписанный уголТупой вписанный угол опирающийся на хорду равную радиусу окружностиДва вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды
Вписанный уголТупой вписанный угол опирающийся на хорду равную радиусу окружностиВписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр
Окружность, описанная около прямоугольного треугольникаТупой вписанный угол опирающийся на хорду равную радиусу окружности

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Тупой вписанный угол опирающийся на хорду равную радиусу окружности

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.

Тупой вписанный угол опирающийся на хорду равную радиусу окружности

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды

Тупой вписанный угол опирающийся на хорду равную радиусу окружности

Два вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды

Тупой вписанный угол опирающийся на хорду равную радиусу окружности

Вписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр

Тупой вписанный угол опирающийся на хорду равную радиусу окружности

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
около этого треугольника окружности.

Тупой вписанный угол опирающийся на хорду равную радиусу окружности

Видео:Простая и быстрая подготовка к ЕГЭ | ЕГЭ Профиль: задание 6Скачать

Простая и быстрая подготовка к ЕГЭ | ЕГЭ Профиль: задание 6

Теоремы об углах, образованных хордами, касательными и секущими

Вписанный угол
Окружность, описанная около прямоугольного треугольника

Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

ФигураРисунокТеоремаФормула
Угол, образованный пересекающимися хордамиТупой вписанный угол опирающийся на хорду равную радиусу окружностиТупой вписанный угол опирающийся на хорду равную радиусу окружности
Угол, образованный секущими, которые пересекаются вне кругаТупой вписанный угол опирающийся на хорду равную радиусу окружностиТупой вписанный угол опирающийся на хорду равную радиусу окружности
Угол, образованный касательной и хордой, проходящей через точку касанияТупой вписанный угол опирающийся на хорду равную радиусу окружностиТупой вписанный угол опирающийся на хорду равную радиусу окружности
Угол, образованный касательной и секущейТупой вписанный угол опирающийся на хорду равную радиусу окружностиТупой вписанный угол опирающийся на хорду равную радиусу окружности
Угол, образованный двумя касательными к окружностиТупой вписанный угол опирающийся на хорду равную радиусу окружностиТупой вписанный угол опирающийся на хорду равную радиусу окружности

Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Тупой вписанный угол опирающийся на хорду равную радиусу окружности

Тупой вписанный угол опирающийся на хорду равную радиусу окружности

Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

Тупой вписанный угол опирающийся на хорду равную радиусу окружности

Тупой вписанный угол опирающийся на хорду равную радиусу окружности

Тупой вписанный угол опирающийся на хорду равную радиусу окружности

Тупой вписанный угол опирающийся на хорду равную радиусу окружности

Угол, образованный пересекающимися хордами хордами
Тупой вписанный угол опирающийся на хорду равную радиусу окружности
Формула: Тупой вписанный угол опирающийся на хорду равную радиусу окружности
Угол, образованный секущими секущими , которые пересекаются вне круга
Формула: Тупой вписанный угол опирающийся на хорду равную радиусу окружности

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Угол, образованный касательной и хордой хордой , проходящей через точку касания
Тупой вписанный угол опирающийся на хорду равную радиусу окружности
Формула: Тупой вписанный угол опирающийся на хорду равную радиусу окружности
Угол, образованный касательной и секущей касательной и секущей
Формула: Тупой вписанный угол опирающийся на хорду равную радиусу окружности

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Угол, образованный двумя касательными касательными к окружности
Формулы: Тупой вписанный угол опирающийся на хорду равную радиусу окружности

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Доказательства теорем об углах, связанных с окружностью

Теорема 1 . Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Доказательство . Рассмотрим сначала вписанный угол ABC , сторона BC которого является диаметром окружности диаметром окружности , и центральный угол AOC (рис. 5).

Тупой вписанный угол опирающийся на хорду равную радиусу окружности

Тупой вписанный угол опирающийся на хорду равную радиусу окружности

Тупой вписанный угол опирающийся на хорду равную радиусу окружности

Тупой вписанный угол опирающийся на хорду равную радиусу окружности

Таким образом, в случае, когда одна из сторон вписанного угла проходит через центр окружности, теорема 1 доказана.

Теперь рассмотрим случай, когда центр окружности лежит внутри вписанного угла (рис. 6).

Тупой вписанный угол опирающийся на хорду равную радиусу окружности

В этом случае справедливы равенства

Тупой вписанный угол опирающийся на хорду равную радиусу окружности

Тупой вписанный угол опирающийся на хорду равную радиусу окружности

Тупой вписанный угол опирающийся на хорду равную радиусу окружности

и теорема 1 в этом случае доказана.

Осталось рассмотреть случай, когда центр окружности лежит вне вписанного угла (рис. 7).

Тупой вписанный угол опирающийся на хорду равную радиусу окружности

В этом случае справедливы равенства

Тупой вписанный угол опирающийся на хорду равную радиусу окружности

Тупой вписанный угол опирающийся на хорду равную радиусу окружности

Тупой вписанный угол опирающийся на хорду равную радиусу окружности

что и завершает доказательство теоремы 1.

Теорема 2 . Величина угла, образованного пересекающимися хордами хордами , равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 8.

Тупой вписанный угол опирающийся на хорду равную радиусу окружности

Нас интересует величина угла AED , образованного пересекающимися в точке E хордами AB и CD . Поскольку угол AED – внешний угол треугольника BED , а углы CDB и ABD являются вписанными углами, то справедливы равенства

Тупой вписанный угол опирающийся на хорду равную радиусу окружности

Тупой вписанный угол опирающийся на хорду равную радиусу окружности

что и требовалось доказать.

Теорема 3 . Величина угла, образованного секущими секущими , пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

Тупой вписанный угол опирающийся на хорду равную радиусу окружности

Тупой вписанный угол опирающийся на хорду равную радиусу окружности

Нас интересует величина угла BED , образованного пересекающимися в точке E секущими AB и CD . Поскольку угол ADC – внешний угол треугольника ADE , а углы ADC , DCB и DAB являются вписанными углами, то справедливы равенства

Тупой вписанный угол опирающийся на хорду равную радиусу окружности

Тупой вписанный угол опирающийся на хорду равную радиусу окружности

что и требовалось доказать.

Теорема 4 . Величина угла, образованного касательной и хордой касательной и хордой , проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 10.

Тупой вписанный угол опирающийся на хорду равную радиусу окружности

Тупой вписанный угол опирающийся на хорду равную радиусу окружности

Нас интересует величина угла BAC , образованного касательной AB и хордой AC . Поскольку AD – диаметр диаметр , проходящий через точку касания, а угол ACD – вписанный угол, опирающийся на диаметр, то углы DAB и DCA – прямые. Поэтому справедливы равенства

Тупой вписанный угол опирающийся на хорду равную радиусу окружности

Тупой вписанный угол опирающийся на хорду равную радиусу окружности

что и требовалось доказать

Теорема 5 . Величина угла, образованного касательной и секущей касательной и секущей , равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 11.

Тупой вписанный угол опирающийся на хорду равную радиусу окружности

Тупой вписанный угол опирающийся на хорду равную радиусу окружности

Нас интересует величина угла BED , образованного касательной AB и секущей CD . Заметим, что угол BDC – внешний угол треугольника DBE , а углы BDC и BCD являются вписанными углами. Кроме того, углы DBE и DCB , в силу теоремы 4, равны. Поэтому справедливы равенства

Тупой вписанный угол опирающийся на хорду равную радиусу окружности

Тупой вписанный угол опирающийся на хорду равную радиусу окружности

что и требовалось доказать.

Теорема 6 .Величина угла, образованного двумя касательными к окружности касательными к окружности , равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 12.

Тупой вписанный угол опирающийся на хорду равную радиусу окружности

Тупой вписанный угол опирающийся на хорду равную радиусу окружности

Нас интересует величина угла BED , образованного касательными AB и CD . Заметим, что углы BOD и BED в сумме составляют π радиан. Поэтому справедливо равенство

🎥 Видео

Задача 6 №27862 ЕГЭ по математике. Урок 105Скачать

Задача 6 №27862 ЕГЭ по математике. Урок 105

Задание 27859Скачать

Задание 27859

Задача 6 №27922 ЕГЭ по математике. Урок 139Скачать

Задача 6 №27922 ЕГЭ по математике. Урок 139

Вариант №5, 6 - Разбор 1 части ЕГЭ Профиль 2024 Ященко от АбеляСкачать

Вариант №5, 6 - Разбор 1 части ЕГЭ Профиль 2024 Ященко от Абеля

ЕГЭ-2022 ||Задание №6 || Найти длину хордыСкачать

ЕГЭ-2022 ||Задание №6 || Найти длину хорды

Профильный ЕГЭ 2024. Задача 1. ОкружностьСкачать

Профильный ЕГЭ 2024. Задача 1. Окружность

Нафиг теорему синусов 3 задание проф. ЕГЭ по математике (часть I)Скачать

Нафиг теорему синусов 3 задание проф. ЕГЭ по математике (часть I)

ЕГЭ. Задачи на окружность. ХордаСкачать

ЕГЭ. Задачи на окружность. Хорда

Задача 6 №27913 ЕГЭ по математике. Урок 131Скачать

Задача 6 №27913 ЕГЭ по математике. Урок 131

Центральные и вписанные углы - задание 3 ЕГЭ-профиль-2022Скачать

Центральные и вписанные углы - задание 3 ЕГЭ-профиль-2022

Видеорешение теста задания В6 (часть 2).mp4Скачать

Видеорешение теста задания В6 (часть 2).mp4

Вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Вписанный угол - 1Скачать

Вписанный угол - 1

8 класс, 34 урок, Теорема о вписанном углеСкачать

8 класс, 34 урок, Теорема о вписанном угле
Поделиться или сохранить к себе: