Центр вписанной окружности в пятиугольнике

Вписанная окружность

Центр вписанной окружности в пятиугольнике

Вписанная окружность — это окружность, которая вписана
в геометрическую фигуру и касается всех его сторон.

Окружность, точно можно вписать в такие геометрические фигуры, как:

  • Треугольник
  • Выпуклый, правильный многоугольник
  • Квадрат
  • Равнобедренная трапеция
  • Ромб

В четырехугольник, можно вписать окружность,
только при условии, что суммы длин
противоположных сторон равны.

Во все вышеперечисленные фигуры
окружность, может быть вписана, только один раз.

Окружность невозможно вписать в прямоугольник
и параллелограмм, так как окружность не будет
соприкасаться со всеми сторонам этих фигур.

Геометрические фигуры, в которые вписана окружность,
называются описанными около окружности.

Описанный треугольник — это треугольник, который описан
около окружности и все три его стороны соприкасаются с окружностью.

Описанный четырехугольник — это четырехугольник, который описан
около окружности и все четыре его стороны соприкасаются с окружностью.

Свойства вписанной окружности

В треугольник

  1. В любой треугольник может быть вписана окружность, причем только один раз.
  2. Центр вписанной окружности — точка пересечения биссектрис треугольника.
  3. Вписанная окружность касается всех сторон треугольника.
  4. Площадь треугольника, в который вписана окружность, можно рассчитать по такой формуле:

[ S = frac(a+b+c) cdot r = pr ]

p — полупериметр четырехугольника.
r — радиус вписанной окружности четырехугольника.

  • Центр окружности вписанной в треугольник равноудален от всех сторон.
  • Точка касания — это точка, в которой соприкасается
    окружность и любая из сторон треугольника.
  • От центра вписанной окружности можно провести
    перпендикуляры к любой точке касания.
  • Вписанная в треугольник окружность делит стороны
    треугольника на 3 пары равных отрезков.
  • Вписанная и описанная около треугольника окружность тесно взаимосвязаны.
    Поэтому, расстояние между центрами этих окружностей можно найти с помощью формулы Эйлера:

    с — расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника.
    R — радиус описанной около треугольника.
    r — радиус вписанной окружности треугольника.

    В четырехугольник

    1. Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность.
    2. Если у четырехугольника суммы длин его противолежащих
      сторон равны, то окружность, может быть, вписана (Теорема Пито).
    3. Центр вписанной окружности и середины двух
      диагоналей лежат на одной прямой (Теорема Ньютона, прямая Ньютона).
    4. Точка пересечения биссектрис — это центр вписанной окружности.
    5. Точка касания — это точка, в которой соприкасается
      окружность и любая из сторон четырехугольника.
    6. Площадь четырехугольника, в который вписана окружность, можно рассчитать по такой формуле:

    [ S = frac(a+b+c+d)cdot r = pr ]

    p — полупериметр четырехугольника.
    r — радиус вписанной окружности четырехугольника.

  • Точка касания вписанной окружности, которая лежит на любой из сторон,
    равноудалены от этой конца и начала этой стороны, то есть от его вершин.
  • Примеры вписанной окружности

    • Треугольник
      Центр вписанной окружности в пятиугольнике
    • Четырехугольник
      Центр вписанной окружности в пятиугольнике
    • Многоугольник
      Центр вписанной окружности в пятиугольнике

    Примеры описанного четырехугольника:
    равнобедренная трапеция, ромб, квадрат.

    Примеры описанного треугольника:
    равносторонний
    , равнобедренный,
    прямоугольный треугольники.

    Верные и неверные утверждения

    1. Радиус вписанной окружности в треугольник и радиус вписанной
      в четырехугольник вычисляется по одной и той же формуле. Верное утверждение.
    2. Любой параллелограмм можно вписать в окружность. Неверное утверждение.
    3. В любой четырехугольник можно вписать окружность. Неверное утверждение.
    4. В любой ромб можно вписать окружность. Верное утверждение.
    5. Центр вписанной окружности треугольника это точка пересечения биссектрис. Верное утверждение.
    6. Окружность вписанная в треугольник касается всех его сторон. Верное утверждение.
    7. Угол вписанный в окружность равен соответствующему центральному
      углу опирающемуся на ту же дугу. Неверное утверждение.
    8. Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник равен
      половине разности суммы катетов и гипотенузы. Верное утверждение.
    9. Вписанные углы опирающиеся на одну и ту же хорду окружности равны. Неверное утверждение.
    10. Вписанная окружность в треугольник имеет в общем
      три общие точки со всеми сторонами треугольника. Верное утверждение.

    Окружность вписанная в угол

    Окружность вписанная в угол — это окружность, которая
    лежит внутри этого угла и касается его сторон.

    Центр окружности, которая вписана в угол,
    расположен на биссектрисе этого угла.

    К центру окружности вписанной в угол, можно провести,
    в общей сложности два перпендикуляра со смежных сторон.

    Длина диаметра, радиуса, хорды, дуги вписанной окружности
    измеряется в км, м, см, мм и других единицах измерения.

    Видео:Построение пятиугольника циркулем и линейкойСкачать

    Построение пятиугольника циркулем и линейкой

    Правильный пятиугольник — построение, свойства и формулы

    Бывают задачи на построение и нахождение некоторых геометрических параметров правильного пятиугольника. Построить фигуру непросто. Для этого математики рекомендуют несколько методик, позволяющих выполнить операцию более точно или за короткий промежуток времени. У фигуры есть свойства, а также формулы, позволяющие найти ее геометрические характеристики.

    Центр вписанной окружности в пятиугольнике

    Видео:Построение пятиугольника циркулемСкачать

    Построение пятиугольника циркулем

    Точное построение фигуры

    Специалисты рекомендуют некоторую последовательность действий, по которым построить правильный пятиугольник очень просто. Для операции необходимы обыкновенная тетрадь в клеточку, циркуль, карандаш, резинка и линейка. Следует выполнить некоторые шаги:

  • Построить окружность с центром в некоторой точке О.
  • Провести два диаметра. Они должны пересекаться под прямым углом.
  • Поставить точку V (пересечение окружности с одним из диаметров), которая является вершиной фигуры.
  • По левой стороне поставить точку D. Это пересечение диаметра (оси симметрии) с окружностью.
  • Отметить на отрезке OD точку А, которая делит его пополам.
  • Выполнить построение вспомогательной окружности, центром которой является точка, полученная в 5 пункте. Кроме того, круг с радиусом CV должен проходить через V.
  • Точку, полученную при пересечении диаметра и окружности, нужно обозначить литерой B.
  • Нарисовать окружность с радиусом, равным CV, из точки V.
  • Отметить пересечение круга с первой окружностью, центром которой является точка О. Искомое место пересечения обозначить литерой F (вторая вершина пентагона).
  • Поставить иглу циркуля в точку F и провести окружность через Е.
  • Обозначить пересечение окружностей с центрами в F и O точкой G, которая будет вершиной пентагона.
  • Аналогичным образом проделать шаг 11, только центр выбрать не в F, а в G. Полученную точку следует обозначить литерой H (последняя вершина фигуры).
  • Соединить пять точек (СVEFG) между собой с помощью линейки.

    Если все пункты алгоритма выполнены правильно, то должен получиться пентагон, изображенный на рисунке 1:

    Центр вписанной окружности в пятиугольнике

    Этот способ следует применять для точных построений и чертежей деталей. Однако для решения задач, в которых необходимо схематически изобразить пятиугольник, этот вариант не подойдет.

    Видео:ПОСТРОИТЬ ПРАВИЛЬНЫЙ ПЯТИУГОЛЬНИК [construction a regular pentagon]Скачать

    ПОСТРОИТЬ ПРАВИЛЬНЫЙ ПЯТИУГОЛЬНИК [construction a regular pentagon]

    Алгоритм Биона

    Прием Биона является менее точным методом, чем первый. Он позволяет построить любой правильный многоугольник, вписанный в произвольный круг. Для операции необходимо воспользоваться алгоритмом (шаблоном) Биона, имеющим такой вид:

    Центр вписанной окружности в пятиугольнике

  • Начертить окружность с центром в точке О и радиусом R.
  • Провести в ней диаметр АD.
  • Построить правильный (равносторонний) треугольник с одной из сторон, равной диаметру.
  • Поделить диаметр на несколько равных частей (АС = СE = ED), количество которых вычисляется по формуле: (n — 2). Переменная «n» эквивалентна количеству граней правильного многоугольника, то есть n = 3. Соотношение можно записать следующей зависимостью: АС = [1 / (n — 2)] * AD = AD / 3.
  • Провести из точек С и Е прямые, перпендикулярные диаметру.
  • Точки пересечения прямых с окружностью обозначить F и G.
  • Если соединить точки, то получится пентагон ABDFG.

    Погрешность построения многоугольника с 5, 7, 9 и 10 сторонами при использовании алгоритма довольно маленькая. Ее значения равно 3,2%. Однако при n>10 погрешность составляет не более 11%.

    Видео:Как начертить пятиугольник вписанный в круг или звездаСкачать

    Как начертить пятиугольник вписанный в круг или звезда

    Приближенные методы

    Существует несколько методов, позволяющих приближенно изобразить фигуру. Однако оптимальным является построение пентагона (рис. 2), используя две окружности (описанную и вписанную).

    Метод известного математика А. Дюрера является оптимальным среди остальных, поскольку на построение затрачивается минимальное количество времени. Для его реализации следует выполнить определенные шаги алгоритма Дюрера:

    Центр вписанной окружности в пятиугольнике

  • Начертить произвольную окружность с центром в точке О.
  • Не вынимая иглу циркуля из точки О, выполнить построение другой окружности. Ее радиус нужно уменьшить таким образом, чтобы общий радиус R был равен стороне пятиугольника.
  • Отметить на окружности с большим радиусом две произвольные точки. При этом следует руководствоваться правилом: прямая, проходящая через них, должна касаться малой окружности в одной точке (касательная).
  • Отметить следующую точку, чтобы можно было соединить ее с предыдущей. Правило при этом должно соблюдаться.
  • Аналогично проделать операции с другими сторонами пентагона.

    Существует еще один метод — построение пятиугольника из десятиугольника, который вписан в окружность. Для этого следует соединить его вершины через одну. Однако способ рекомендуется применять только в том случае, когда исходная фигура уже имеется. Кстати, его следует строить также методом А. Дюрера.

    Математики рекомендуют еще один простой способ. Для его реализации необходимо начертить окружность с диаметром АD. После этого его нужно поделить на 3 равные части, то есть AB = BC = CD. Затем из точки С следует опустить перпендикуляры на окружность. Обозначить места пересечения точками E и F. Проделать такую же процедуру с точкой B, обозначив пересечения точками G и H. Остается лишь соединить все точки отрезками.

    Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

    Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

    Признаки и свойства

    Не всегда получается верно идентифицировать пятиугольник. Для этого математики предлагают признаки, которые применимы только к правильной фигуре. К ним можно отнести следующие:

  • Стороны равны между собой.
  • Любой угол правильного пятиугольника равен остальным его углам.

    Следует отметить, что признаки справедливы для любого правильного многогранника. Пять осей симметрии имеет правильный пятиугольник (сколько сторон, столько и осей). Пентагон обладает некоторыми свойствами, которые будут очень полезны при решении задач. К ним можно отнести следующие:

    Центр вписанной окружности в пятиугольнике

  • Равенство сторон.
  • Углы равны по 108 градусов.
  • Центры вписанной и описанной окружностей совпадают.
  • Сумма внутренних углов равна 180 * (5 — 2) = 540 (градусов), а внешних — 360.
  • Количество диагоналей соответствует 5.
  • Значение площади кольца, которое образуется между вписанным и описанным кругами, эквивалентно произведению квадрата длины стороны на константу Pi / 4.
  • Биссектрисы, проведенные через центр, равны.
  • Диагонали — трисектрисы внутренних углов. Одна диагональ делит его на 1/3 и 2/3 части.
  • Отношение диагонали к стороне эквивалентно «золотому сечению» и равно [1 + 5^(1/2)] / 2.

    Однако свойств недостаточно при решении задач, поскольку существуют некоторые формулы и соотношения для нахождения основных параметров пентагона.

    Видео:Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

    Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

    Расчет параметров

    С помощью соотношений можно легко найти необходимые характеристики любой фигуры. Однако в некоторых источниках не указаны условные обозначения известного параметра пентагона. Это существенно затрудняет понимание формулы, а также ее дальнейшее использование. Перед изучением следует нарисовать фигуру и обозначить некоторые величины, которыми могут быть диагонали, стороны, апофемы и радиусы.

    Центр вписанной окружности в пятиугольнике

    Рекомендуется использовать различные литеры или буквенные обозначения. Недопустимо пронумеровывать вершины, поскольку при вычислениях можно ошибиться. Нельзя использовать вместо букв цифры при обозначениях. Например, пентагон ABCDE является правильной записью. Допускается применение чисел в индексах, а именно, в пятиугольнике правильного типа ABCDE при пересечении его диагоналей образовался пентагон A1B1C1D1E1.

    Математики рекомендуют обозначать только промежуточные фигуры или их проекции литерами с индексами. Для каждой новой фигуры следует вводить другие обозначения. Не следует использовать зарезервированные переменные. Например, центр окружности в точке P является недопустимой записью, поскольку такой буквой обозначается периметр.

    Условные обозначения

    Для нахождения основных величин пентагона следует обозначить некоторые его параметры. Фигура имеет следующие обозначения:

  • Сторона: a.
  • Радиус вписанной и описанной окружностей: r и R соответственно.
  • Площадь: S.
  • Периметр и полупериметр: P и p соответственно.
  • Диагональ: d.
  • Отношение золотого сечения: Ф.

    Значения сторон равны между собой. Площадь правильного пятиугольника — характеристика двумерной фигуры, которая показывает ее размерность. Периметром называется сумма всех 5 сторон. Полупериметр вычисляется по следующему соотношению: p = P / 2. Диагонали — отрезки, проведенные из одной вершины к противоположной (несмежной).

    Соотношения и формулы

    После обозначений следует переходить к рассмотрению основных формул, при помощи которых можно вычислять параметры фигуры. Сторону можно найти, воспользовавшись такими соотношениями:

  • a = 2r * tg(36).
  • a = 2R * sin(36).
  • a = R * [(5 — (5)^(1/2)) / 2]^(1/2).

    Радиус вписанной окружности в пентагон можно найти, используя тригонометрические функции. Однако существует также формула, позволяющая вычислить приближенное значение. Это необходимо в том случае, когда под рукой нет специального онлайн-калькулятора, компьютера или таблиц Брадиса. Формулы для нахождения радиуса вписанной окружности:

    Центр вписанной окружности в пятиугольнике

  • r = a / (2tg(36)).
  • r = a * [5^(1/2) * [5 + 2 * 5^(1/2)]^(1/2) / 10].

    Математики также рекомендуют описать вокруг пентагона окружность. Это расширит возможности по поиску его основных характеристик. Однако ее радиус следует вычислить. Формулы для его нахождения выглядят таким образом:

  • R = a / (2sin(36)).
  • R = a * [10^(1/2) * [5 + 5^(1/2)]^(1/2) / 10] = (5^(1/2) — 1) * r.

    Периметр определяется просто: Р = 5а. Значение полупериметра эквивалентно половине периметра, то есть p = P / 2 = 5a / 2 = 2,5a. Площадь можно найти, используя такие формулы:

    Центр вписанной окружности в пятиугольнике

  • S = (5a^2 / 4) * ctg(36).
  • S = 5r^2 * tg(36).
  • S = 2,5 * R^2 * sin(72).
  • S = (5/12) * R * d.

    Высота правильного пятиугольника (h) — отрезок, проведенный из центра на любую из сторон. Она делит ее на две равные части, поскольку является биссектрисой и медианой равнобедренного треугольника. У последнего две стороны — радиусы описанной окружности, а третья — сторона пентагона. Высота называется также апофемой и проекцией на «а». Вычисляется ее значение по формуле h = a * tg(72) / 2.

    Величина Ф является отношением площади пентагона (S) к площади (S1) правильного пятиугольника, полученного при пересечении диагоналей первого: S / S1 = Ф^4 = 3Ф + 2 = (3 * 5^(1/2) + 7) / 2. Длина диагонали находится по такому соотношению: d = [Ф * 5^(1/2) * R]^(1/2).

    Таким образом, при решении задач необходимо знать основные признаки, свойства, соотношения и формулы для нахождения основных характеристик пентагона. Практика обязательна, поскольку теоретические знания без практического применения бесполезны.

    Видео:Деление окружности на пять равных частей. Урок 7. (Часть 1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ)Скачать

    Деление окружности на пять равных частей. Урок 7. (Часть 1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ)

    Правильный пятиугольник — построение, свойства и формулы

    Центр вписанной окружности в пятиугольнике

    Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

    Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

    Точное построение фигуры

    Специалисты рекомендуют некоторую последовательность действий, по которым построить правильный пятиугольник очень просто. Для операции необходимы обыкновенная тетрадь в клеточку, циркуль, карандаш, резинка и линейка. Следует выполнить некоторые шаги:

    1. Построить окружность с центром в некоторой точке О.
    2. Провести два диаметра. Они должны пересекаться под прямым углом.
    3. Поставить точку V (пересечение окружности с одним из диаметров), которая является вершиной фигуры.
    4. По левой стороне поставить точку D. Это пересечение диаметра (оси симметрии) с окружностью.
    5. Отметить на отрезке OD точку А, которая делит его пополам.
    6. Выполнить построение вспомогательной окружности, центром которой является точка, полученная в 5 пункте. Кроме того, круг с радиусом CV должен проходить через V.
    7. Точку, полученную при пересечении диаметра и окружности, нужно обозначить литерой B.
    8. Нарисовать окружность с радиусом, равным CV, из точки V.
    9. Отметить пересечение круга с первой окружностью, центром которой является точка О. Искомое место пересечения обозначить литерой F (вторая вершина пентагона).
    10. Поставить иглу циркуля в точку F и провести окружность через Е.
    11. Обозначить пересечение окружностей с центрами в F и O точкой G, которая будет вершиной пентагона.
    12. Аналогичным образом проделать шаг 11, только центр выбрать не в F, а в G. Полученную точку следует обозначить литерой H (последняя вершина фигуры).
    13. Соединить пять точек (СVEFG) между собой с помощью линейки.

    Если все пункты алгоритма выполнены правильно, то должен получиться пентагон, изображенный на рисунке 1:

    Центр вписанной окружности в пятиугольнике

    Этот способ следует применять для точных построений и чертежей деталей. Однако для решения задач, в которых необходимо схематически изобразить пятиугольник, этот вариант не подойдет.

    Видео:9 класс, 24 урок, Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороныСкачать

    9 класс, 24 урок, Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны

    Алгоритм Биона

    Прием Биона является менее точным методом, чем первый. Он позволяет построить любой правильный многоугольник, вписанный в произвольный круг. Для операции необходимо воспользоваться алгоритмом (шаблоном) Биона, имеющим такой вид:

    Центр вписанной окружности в пятиугольнике

    1. Начертить окружность с центром в точке О и радиусом R.
    2. Провести в ней диаметр АD.
    3. Построить правильный (равносторонний) треугольник с одной из сторон, равной диаметру.
    4. Поделить диаметр на несколько равных частей (АС = СE = ED), количество которых вычисляется по формуле: (n — 2). Переменная «n» эквивалентна количеству граней правильного многоугольника, то есть n = 3. Соотношение можно записать следующей зависимостью: АС = [1 / (n — 2)] * AD = AD / 3.
    5. Провести из точек С и Е прямые, перпендикулярные диаметру.
    6. Точки пересечения прямых с окружностью обозначить F и G.
    7. Если соединить точки, то получится пентагон ABDFG.

    Погрешность построения многоугольника с 5, 7, 9 и 10 сторонами при использовании алгоритма довольно маленькая. Ее значения равно 3,2%. Однако при n>10 погрешность составляет не более 11%.

    Видео:Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминанияСкачать

    Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминания

    Приближенные методы

    Существует несколько методов, позволяющих приближенно изобразить фигуру. Однако оптимальным является построение пентагона (рис. 2), используя две окружности (описанную и вписанную).

    Метод известного математика А. Дюрера является оптимальным среди остальных, поскольку на построение затрачивается минимальное количество времени. Для его реализации следует выполнить определенные шаги алгоритма Дюрера:

    Центр вписанной окружности в пятиугольнике

    1. Начертить произвольную окружность с центром в точке О.
    2. Не вынимая иглу циркуля из точки О, выполнить построение другой окружности. Ее радиус нужно уменьшить таким образом, чтобы общий радиус R был равен стороне пятиугольника.
    3. Отметить на окружности с большим радиусом две произвольные точки. При этом следует руководствоваться правилом: прямая, проходящая через них, должна касаться малой окружности в одной точке (касательная).
    4. Отметить следующую точку, чтобы можно было соединить ее с предыдущей. Правило при этом должно соблюдаться.
    5. Аналогично проделать операции с другими сторонами пентагона.

    Существует еще один метод — построение пятиугольника из десятиугольника, который вписан в окружность. Для этого следует соединить его вершины через одну. Однако способ рекомендуется применять только в том случае, когда исходная фигура уже имеется. Кстати, его следует строить также методом А. Дюрера.

    Математики рекомендуют еще один простой способ. Для его реализации необходимо начертить окружность с диаметром АD. После этого его нужно поделить на 3 равные части, то есть AB = BC = CD. Затем из точки С следует опустить перпендикуляры на окружность. Обозначить места пересечения точками E и F. Проделать такую же процедуру с точкой B, обозначив пересечения точками G и H. Остается лишь соединить все точки отрезками.

    Видео:Быстро и легко определяем центр любой окружностиСкачать

    Быстро и легко определяем центр любой окружности

    Признаки и свойства

    Не всегда получается верно идентифицировать пятиугольник. Для этого математики предлагают признаки, которые применимы только к правильной фигуре. К ним можно отнести следующие:

    1. Стороны равны между собой.
    2. Любой угол правильного пятиугольника равен остальным его углам.

    Следует отметить, что признаки справедливы для любого правильного многогранника. Пять осей симметрии имеет правильный пятиугольник (сколько сторон, столько и осей). Пентагон обладает некоторыми свойствами, которые будут очень полезны при решении задач. К ним можно отнести следующие:

    Центр вписанной окружности в пятиугольнике

    1. Равенство сторон.
    2. Углы равны по 108 градусов.
    3. Центры вписанной и описанной окружностей совпадают.
    4. Сумма внутренних углов равна 180 * (5 — 2) = 540 (градусов), а внешних — 360.
    5. Количество диагоналей соответствует 5.
    6. Значение площади кольца, которое образуется между вписанным и описанным кругами, эквивалентно произведению квадрата длины стороны на константу Pi / 4.
    7. Биссектрисы, проведенные через центр, равны.
    8. Диагонали — трисектрисы внутренних углов. Одна диагональ делит его на 1/3 и 2/3 части.
    9. Отношение диагонали к стороне эквивалентно «золотому сечению» и равно [1 + 5^(1/2)] / 2.

    Однако свойств недостаточно при решении задач, поскольку существуют некоторые формулы и соотношения для нахождения основных параметров пентагона.

    Видео:4K Как построить правильный пятиугольник, how to draw a regular pentagonСкачать

    4K Как построить правильный пятиугольник, how to draw a regular pentagon

    Расчет параметров

    С помощью соотношений можно легко найти необходимые характеристики любой фигуры. Однако в некоторых источниках не указаны условные обозначения известного параметра пентагона. Это существенно затрудняет понимание формулы, а также ее дальнейшее использование. Перед изучением следует нарисовать фигуру и обозначить некоторые величины, которыми могут быть диагонали, стороны, апофемы и радиусы.

    Центр вписанной окружности в пятиугольнике

    Рекомендуется использовать различные литеры или буквенные обозначения. Недопустимо пронумеровывать вершины, поскольку при вычислениях можно ошибиться. Нельзя использовать вместо букв цифры при обозначениях. Например, пентагон ABCDE является правильной записью. Допускается применение чисел в индексах, а именно, в пятиугольнике правильного типа ABCDE при пересечении его диагоналей образовался пентагон A1B1C1D1E1.

    Математики рекомендуют обозначать только промежуточные фигуры или их проекции литерами с индексами. Для каждой новой фигуры следует вводить другие обозначения. Не следует использовать зарезервированные переменные. Например, центр окружности в точке P является недопустимой записью, поскольку такой буквой обозначается периметр.

    Условные обозначения

    Для нахождения основных величин пентагона следует обозначить некоторые его параметры. Фигура имеет следующие обозначения:

    1. Сторона: a.
    2. Радиус вписанной и описанной окружностей: r и R соответственно.
    3. Площадь: S.
    4. Периметр и полупериметр: P и p соответственно.
    5. Диагональ: d.
    6. Отношение золотого сечения: Ф.

    Значения сторон равны между собой. Площадь правильного пятиугольника — характеристика двумерной фигуры, которая показывает ее размерность. Периметром называется сумма всех 5 сторон. Полупериметр вычисляется по следующему соотношению: p = P / 2. Диагонали — отрезки, проведенные из одной вершины к противоположной (несмежной).

    Соотношения и формулы

    После обозначений следует переходить к рассмотрению основных формул, при помощи которых можно вычислять параметры фигуры. Сторону можно найти, воспользовавшись такими соотношениями:

    Радиус вписанной окружности в пентагон можно найти, используя тригонометрические функции. Однако существует также формула, позволяющая вычислить приближенное значение. Это необходимо в том случае, когда под рукой нет специального онлайн-калькулятора, компьютера или таблиц Брадиса. Формулы для нахождения радиуса вписанной окружности:

    Центр вписанной окружности в пятиугольнике

    Математики также рекомендуют описать вокруг пентагона окружность. Это расширит возможности по поиску его основных характеристик. Однако ее радиус следует вычислить. Формулы для его нахождения выглядят таким образом:

    Периметр определяется просто: Р = 5а. Значение полупериметра эквивалентно половине периметра, то есть p = P / 2 = 5a / 2 = 2,5a. Площадь можно найти, используя такие формулы:

    Центр вписанной окружности в пятиугольнике

    1. S = (5a^2 / 4) * ctg(36).
    2. S = 5r^2 * tg(36).
    3. S = 2,5 * R^2 * sin(72).
    4. S = (5/12) * R * d.

    Высота правильного пятиугольника (h) — отрезок, проведенный из центра на любую из сторон. Она делит ее на две равные части, поскольку является биссектрисой и медианой равнобедренного треугольника. У последнего две стороны — радиусы описанной окружности, а третья — сторона пентагона. Высота называется также апофемой и проекцией на «а». Вычисляется ее значение по формуле h = a * tg(72) / 2.

    Величина Ф является отношением площади пентагона (S) к площади (S1) правильного пятиугольника, полученного при пересечении диагоналей первого: S / S1 = Ф^4 = 3Ф + 2 = (3 * 5^(1/2) + 7) / 2. Длина диагонали находится по такому соотношению: d = [Ф * 5^(1/2) * R]^(1/2).

    Таким образом, при решении задач необходимо знать основные признаки, свойства, соотношения и формулы для нахождения основных характеристик пентагона. Практика обязательна, поскольку теоретические знания без практического применения бесполезны.

    🔥 Видео

    Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

    Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

    Как нарисовать правильный пятиугольник | Видеоурок MATHANIMATIONСкачать

    Как нарисовать правильный пятиугольник | Видеоурок MATHANIMATION

    Построение пятиугольникаСкачать

    Построение пятиугольника

    Задача 6 №27916 ЕГЭ по математике. Урок 133Скачать

    Задача 6 №27916 ЕГЭ по математике. Урок 133

    Центр вписанной окружности.Скачать

    Центр вписанной окружности.

    ЕГЭ задание 16 Правильный пятиугольникСкачать

    ЕГЭ задание 16 Правильный пятиугольник

    Площадь многоугольника через радиус вписанной окружностиСкачать

    Площадь многоугольника через радиус вписанной окружности

    Дмитрий Евстафьев: большая европейская войнаСкачать

    Дмитрий Евстафьев: большая европейская война
  • Поделиться или сохранить к себе: