Центр вписанной окружности треугольника является точка пересечения его высот

Центр вписанной в треугольник окружности

Где лежит центр вписанной в треугольник окружности? Что можно сказать о центре окружности, вписанной в многоугольник?

Центр вписанной в треугольник окружности является точкой пересечения биссектрис этого треугольника.

Центр вписанной окружности треугольника является точка пересечения его высот

O — точка пересечения биссектрис треугольника ABC.

Центр вписанной окружности треугольника является точка пересечения его высот

окр. (O; r) — вписанная.

O — точка пересечения биссектрис ∆ ABC.

Обозначим точки касания вписанной в треугольник окружности со сторонами AC, BC и AB соответственно M, K. F.

Центр вписанной окружности треугольника является точка пересечения его высотСоединим отрезками центр окружности с точками A, M и F.

Центр вписанной окружности треугольника является точка пересечения его высот

Центр вписанной окружности треугольника является точка пересечения его высот

(как радиусы, проведенные в точки касания). Следовательно, треугольники AOF и AOM — прямоугольные.

У них общая гипотенуза AO, катеты OF=OM (как радиусы).

Следовательно, треугольники AOF и AOM равны (по катету и гипотенузе).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ∠OAF=∠OAM.

Значит, точка O лежит на биссектрисе треугольника, проведенной из вершины A.

Аналогично из равенства треугольников BOF и BOK, COM и COK доказывается, что точка O лежит на биссектрисах треугольника ABC, проведенных из вершин B и C.

Следовательно, центр вписанной в треугольник окружности лежит в точке пересечении биссектрис этого треугольника.

Что и требовалось доказать.

Доказательство теоремы можно основать непосредственно на свойстве биссектрисы угла.

1) OM=OF=OK (как радиусы),

2) OM⊥AC, OM⊥AB, OK⊥BC (как радиусы, проведённые в точку касания).

Значит точка O равноудалена от сторон углов BAC, ABC и ACB.

Так как любая точка, лежащая внутри неразвёрнутого угла и равноудалённая от сторон этого угла, лежит на его биссектрисе, то AO, BO и CO — биссектрисы треугольника ABC, O — точка их пересечения.

Аналогично, центр вписанной в многоугольник окружности (если в него можно вписать окружность) лежит в точке пересечения биссектрис этого многоугольника.

Видео:✓ Расстояние от вершины треугольника до точки пересечения высот | Ботай со мной #113 | Борис ТрушинСкачать

✓ Расстояние от вершины треугольника до точки пересечения высот | Ботай со мной #113 | Борис Трушин

Окружность, вписанная в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла

Центр вписанной окружности треугольника является точка пересечения его высотСуществование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
Центр вписанной окружности треугольника является точка пересечения его высотФормулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник
Центр вписанной окружности треугольника является точка пересечения его высотВывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Видео:№17 Лемма о трезубце | Вписанная и вневписанная окружности | Это будет на ЕГЭ 2024 по математикеСкачать

№17 Лемма о трезубце | Вписанная и вневписанная окружности | Это будет на ЕГЭ 2024 по математике

Существование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла

Определение 1 . Биссектрисой угла называют луч, делящий угол на две равные части.

Теорема 1 (Основное свойство биссектрисы угла) . Каждая точка биссектрисы угла находится на одном и том же расстоянии от сторон угла (рис.1).

Центр вписанной окружности треугольника является точка пересечения его высот

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на биссектрисе угла BAC , и опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.1). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны острые углы DAF и DAE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

что и требовалось доказать.

Теорема 2 (обратная теорема к теореме 1) . Если некоторая точка находится на одном и том же расстоянии от сторон угла, то она лежит на биссектрисе угла (рис.2).

Центр вписанной окружности треугольника является точка пересечения его высот

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую внутри угла BAC и находящуюся на одном и том же расстоянии от сторон угла. Опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.2). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

Центр вписанной окружности треугольника является точка пересечения его высот

что и требовалось доказать.

Определение 2 . Окружность называют окружностью, вписанной в угол , если она касается касается сторон этого угла.

Теорема 3 . Если окружность вписана в угол, то расстояния от вершины угла до точек касания окружности со сторонами угла равны.

Доказательство . Пусть точка D – центр окружности, вписанной в угол BAC , а точки E и F – точки касания окружности со сторонами угла (рис.3).

Центр вписанной окружности треугольника является точка пересечения его высот

Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE (как радиусы окружности радиусы окружности ), а гипотенуза AD – общая. Следовательно

что и требовалось доказать.

Замечание . Теорему 3 можно сформулировать и по-другому: отрезки касательных касательных , проведенных к окружности из одной точки, равны.

Определение 3 . Биссектрисой треугольника называют отрезок, являющийся частью биссектрисы угла треугольника, и соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне.

Теорема 4 . В любом треугольнике все три биссектрисы пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим две биссектрисы, проведённые из вершин A и C треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 4).

Центр вписанной окружности треугольника является точка пересечения его высот

Опустим из точки O перпендикуляры OD , OE и OF на стороны треугольника. Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла BAC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла ACB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Следовательно, справедливо равенство:

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на биссектрисе угла ABC . Таким образом, все три биссектрисы треугольника проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать

Определение 4 . Окружностью, вписанной в треугольник , называют окружность, которая касается всех сторон треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, описанным около окружности .

Центр вписанной окружности треугольника является точка пересечения его высот

Следствие . В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну. Центром вписанной в треугольник окружности является точка, в которой пересекаются все биссектрисы треугольника.

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Формулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Формулы, позволяющие найти радиус вписанной в треугольник окружности , удобно представить в виде следующей таблицы.

Центр вписанной окружности треугольника является точка пересечения его высот

a, b, c – стороны треугольника,
S – площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр

Центр вписанной окружности треугольника является точка пересечения его высот.

Центр вписанной окружности треугольника является точка пересечения его высот

Центр вписанной окружности треугольника является точка пересечения его высот

Центр вписанной окружности треугольника является точка пересечения его высот

a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Центр вписанной окружности треугольника является точка пересечения его высот

ФигураРисунокФормулаОбозначения
Произвольный треугольникЦентр вписанной окружности треугольника является точка пересечения его высот
Равнобедренный треугольникЦентр вписанной окружности треугольника является точка пересечения его высот
Равносторонний треугольникЦентр вписанной окружности треугольника является точка пересечения его высот
Прямоугольный треугольникЦентр вписанной окружности треугольника является точка пересечения его высот

Центр вписанной окружности треугольника является точка пересечения его высот

где
a, b, c – стороны треугольника,
S –площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Центр вписанной окружности треугольника является точка пересечения его высот.

Центр вписанной окружности треугольника является точка пересечения его высот

где
a, b, c – стороны треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Центр вписанной окружности треугольника является точка пересечения его высот.

Центр вписанной окружности треугольника является точка пересечения его высот

Центр вписанной окружности треугольника является точка пересечения его высот

где
a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Центр вписанной окружности треугольника является точка пересечения его высот

Произвольный треугольник
Центр вписанной окружности треугольника является точка пересечения его высот
Равнобедренный треугольник
Центр вписанной окружности треугольника является точка пересечения его высот
Равносторонний треугольник
Центр вписанной окружности треугольника является точка пересечения его высот
Прямоугольный треугольник
Центр вписанной окружности треугольника является точка пересечения его высот
Произвольный треугольник
Центр вписанной окружности треугольника является точка пересечения его высот

Центр вписанной окружности треугольника является точка пересечения его высот

где
a, b, c – стороны треугольника,
S –площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Центр вписанной окружности треугольника является точка пересечения его высот.

Центр вписанной окружности треугольника является точка пересечения его высот

Центр вписанной окружности треугольника является точка пересечения его высот

где
a, b, c – стороны треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Центр вписанной окружности треугольника является точка пересечения его высот.

Равнобедренный треугольникЦентр вписанной окружности треугольника является точка пересечения его высот

Центр вписанной окружности треугольника является точка пересечения его высот

Равносторонний треугольникЦентр вписанной окружности треугольника является точка пересечения его высот

Центр вписанной окружности треугольника является точка пересечения его высот

где
a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Прямоугольный треугольникЦентр вписанной окружности треугольника является точка пересечения его высот

Центр вписанной окружности треугольника является точка пересечения его высот

Видео:Диагностическая работа-1 в формате ОГЭ. Задача-25Скачать

Диагностическая работа-1 в формате ОГЭ. Задача-25

Вывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Теорема 5 . Для произвольного треугольника справедливо равенство

Центр вписанной окружности треугольника является точка пересечения его высот

где a, b, c – стороны треугольника, r – радиус вписанной окружности, Центр вписанной окружности треугольника является точка пересечения его высот– полупериметр (рис. 6).

Центр вписанной окружности треугольника является точка пересечения его высот

Центр вписанной окружности треугольника является точка пересечения его высот

с помощью формулы Герона получаем:

Центр вписанной окружности треугольника является точка пересечения его высот

Центр вписанной окружности треугольника является точка пересечения его высот

Центр вписанной окружности треугольника является точка пересечения его высот

что и требовалось.

Теорема 6 . Для равнобедренного треугольника справедливо равенство

Центр вписанной окружности треугольника является точка пересечения его высот

где a – боковая сторона равнобедренного треугольника, b – основание, r – радиус вписанной окружности (рис. 7).

Центр вписанной окружности треугольника является точка пересечения его высот

Центр вписанной окружности треугольника является точка пересечения его высот

Центр вписанной окружности треугольника является точка пересечения его высот

то, в случае равнобедренного треугольника, когда

Центр вписанной окружности треугольника является точка пересечения его высот

Центр вписанной окружности треугольника является точка пересечения его высот

Центр вписанной окружности треугольника является точка пересечения его высот

Центр вписанной окружности треугольника является точка пересечения его высот

Центр вписанной окружности треугольника является точка пересечения его высот

Центр вписанной окружности треугольника является точка пересечения его высот

что и требовалось.

Теорема 7 . Для равностороннего треугольника справедливо равенство

Центр вписанной окружности треугольника является точка пересечения его высот

где a – сторона равностороннего треугольника, r – радиус вписанной окружности (рис. 8).

Центр вписанной окружности треугольника является точка пересечения его высот

Центр вписанной окружности треугольника является точка пересечения его высот

то, в случае равностороннего треугольника, когда

Центр вписанной окружности треугольника является точка пересечения его высот

Центр вписанной окружности треугольника является точка пересечения его высот

что и требовалось.

Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в равносторонний треугольник, непосредственно, т.е. без использования общих формул для радиусов окружностей, вписанных в произвольный треугольник или в равнобедренный треугольник.

Теорема 8 . Для прямоугольного треугольника справедливо равенство

Центр вписанной окружности треугольника является точка пересечения его высот

Центр вписанной окружности треугольника является точка пересечения его высот

Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

Центр вписанной окружности треугольника является точка пересечения его высот

Поскольку четырёхугольник CDOF является прямоугольником прямоугольником , у которого соседние стороны DO и OF равны, то этот прямоугольник – квадрат квадрат . Следовательно,

В силу теоремы 3 справедливы равенства

Центр вписанной окружности треугольника является точка пересечения его высот

Центр вписанной окружности треугольника является точка пересечения его высот

Следовательно, принимая также во внимание теорему Пифагора, получаем

Центр вписанной окружности треугольника является точка пересечения его высот

Центр вписанной окружности треугольника является точка пересечения его высот

что и требовалось.

Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, с помощью общей формулы для радиуса окружности, вписанной в произвольный треугольник.

Видео:Точка пересечения биссектрис, медиан, высот, серединных перпендикуляровСкачать

Точка пересечения биссектрис, медиан, высот, серединных перпендикуляров

Окружность, вписанная в треугольник

Видео:Центром вписанной в треугольник окружности ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Центром вписанной в треугольник окружности ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Определение окружности, вписанной в треугольник

Определение 1. Окружностью, вписанной в треугольник называется окружность, которая находится внутри треугольника и касается всех его сторон (Рис.1).

Центр вписанной окружности треугольника является точка пересечения его высот

Можно дать и другое определение окружности, вписанной в треугольник.

Определение 2. Окружностью, вписанной в треугольник называется наибольшая окружность, которая может находится внутри треугольника.

При этом треугольник называется треугольником описанным около окружности . Центр вписанной в треугольник окружности явлется точка пересечения биссектрис треугольника. Центр окружности вписанной в треугольник называется инцентром треугольника.

Видео:ГЕОМЕТРИЯ 8 класс: 4 замечательные точкиСкачать

ГЕОМЕТРИЯ 8 класс: 4 замечательные точки

Теорема об окружности, вписанной в треугольник

Теорема 1. В любой треугольник можно вписать окружность.

Центр вписанной окружности треугольника является точка пересечения его высот

Доказательство. Пусть задан произвольный треугольник ABC (Рис.2). Обозначим точкой O точку пересечения биссектрис треугольника. Проведем из точки O перпендикуляры OK, OL и OM к сторонам AB, AC, BC, соответственно. Поскольку точка O равноудалена от сторон треугольника ABC, то OK=OL=OM. Тогда окружность с центром O и радиусом OK проходит через три точки K, L, M. Стороны AB, AC, BC треугольника ABC касаются этой окружности в точках K, L, M, поскольку они перпендикулярны к радиусам OK, OL, OM, соответственно. Следовательно, окружность с центром O и радиусом OK является вписанной в треугольник ABC.Центр вписанной окружности треугольника является точка пересечения его высот

Замечание 1. В любой треугольник можно вписать только одну окружность.

Доказательство. Допустим, что в треугольник можно вписать две окружности. Тогда центр каждой из этих окружностей равноудален от сторон треугольника и совпадает с точкой O пересечения биссектрис треугольника. Радиус этих окружностей равен расстоянию от точки O до сторон треугольника. Поэтому эти окружности совпадают.Центр вписанной окружности треугольника является точка пересечения его высот

📸 Видео

Точка пересечения высот | ЕГЭ-2018. Задание 16. Математика. Профильный уровень | Борис ТрушинСкачать

Точка пересечения высот | ЕГЭ-2018. Задание 16. Математика. Профильный уровень | Борис Трушин

Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Центр вписанной окружности #ShortsСкачать

Центр вписанной окружности #Shorts

Задание 16 ЕГЭ по математикеСкачать

Задание 16 ЕГЭ по математике

8 класс, 37 урок, Теорема о пересечении высот треугольникаСкачать

8 класс, 37 урок, Теорема о пересечении высот треугольника

Точка O центр окружности описанной около остроугольного треугольникаСкачать

Точка O центр окружности описанной около остроугольного треугольника

Задание 25 Вписанный треугольникСкачать

Задание 25 Вписанный треугольник

ВСЕ свойства ортоцентра для №16 на ЕГЭ 2023 по математикеСкачать

ВСЕ свойства ортоцентра для №16 на ЕГЭ 2023 по математике

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

Окружности) треугольника ✧ Запомнить за 1 мин!Скачать

Окружности) треугольника ✧  Запомнить за 1 мин!

#31. Регион ВсОШ 2023, 11.5Скачать

#31. Регион ВсОШ 2023, 11.5

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Замечательные точки треугольника | Ботай со мной #030 | Борис Трушин ||Скачать

Замечательные точки треугольника | Ботай со мной #030 | Борис Трушин ||
Поделиться или сохранить к себе: