Центр вписанной и описанной окружности квадрата совпадают

Квадрат

Центр вписанной и описанной окружности квадрата совпадаютКвадрат – ромб, у которого все углы прямые.

Квадрат – прямоугольник с равными сторонами.

Квадрат – параллелограмм, у которого все стороны равны и все углы равны.

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Свойства квадрата

Центр вписанной и описанной окружности квадрата совпадают

Все свойства параллелограмма, ромба, прямоугольника верны для квадрата.

Видео:СТОРОНА КВАДРАТА через РАДИУС вписанной и описанной окружностейСкачать

СТОРОНА КВАДРАТА через РАДИУС вписанной и описанной окружностей

Признаки квадрата

Четырехугольник будет являться квадратом, если выполняется хотя бы одно из условий:

1. Все стороны равны и среди внутренних углов есть прямой угол.

2. Диагонали равны, перпендикулярны и, пересекаясь, делятся пополам.

3. Четырехугольник обладает поворотной симметрией: он не изменится при повороте на 90˚.

Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

Описанная окружность

Около квадрата можно описать окружность. Сторона Центр вписанной и описанной окружности квадрата совпадаюти радиус Центр вписанной и описанной окружности квадрата совпадаютокружности связаны соотношением: Центр вписанной и описанной окружности квадрата совпадают

Центр вписанной и описанной окружности квадрата совпадают

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Вписанная окружность

В квадрат можно вписать окружность. Радиус вписанной окружности Центр вписанной и описанной окружности квадрата совпадаюти сторона квадрата связаны соотношением: Центр вписанной и описанной окружности квадрата совпадают

Центр вписанной и описанной окружности квадрата совпадают

Видео:Задание 16 ОГЭ по математике. Две окружности одна описана около квадрата, другая вписана в него.Скачать

Задание 16 ОГЭ по математике. Две окружности одна  описана около квадрата, другая вписана в него.

Площадь квадрата

Центр вписанной и описанной окружности квадрата совпадают

Смотрите также таблицу-шпаргалку «Площади простейших фигур» здесь.

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Плоские геометрические фигуры: свойства и основные формулы

Центр вписанной и описанной окружности квадрата совпадаютВ статье описываются геометрические фигуры: определение, основные свойства и формулы.

Плоские геометрические фигуры:

Четырехугольник (общее для всех четырехугольников)
Квадрат
Прямоугольник
Параллелограмм
Трапеция
Треугольник
Окружность

Геометрические фигуры — это любое сочетание точек, линий и поверхностей. Геометрические фигуры разделяются на плоские и объемные.

Плоские геометрические фигуры — это фигуры, все точки которых лежат на одной плоскости. Объемные геометрические фигуры — это фигуры, не все точки которых лежат на одной плоскости.

Видео:Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминанияСкачать

Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминания

Четырёхугольник

Четырёхугольник – это геометрическая фигура (многоугольник), состоящая из четырёх точек (вершин) и четырёх отрезков (сторон), которые последовательно соединяют вершины. При этом никакие три точки не лежат на одной прямой.

Основные свойства:

  • Сумма углов четырёхугольника равна 360°
  • Не существует четырёхугольников, у которых все углы острые или все углы тупые.
  • Каждый угол четырёхугольника всегда меньше суммы трёх остальных углов.
  • Каждая сторона четырёхугольника всегда меньше суммы трёх остальных сторон.

В четырёхугольник можно вписать окружность, если суммы его противолежащих сторон равны. Центр вписанной в четырёхугольник окружности является точкой пересечения биссектрис всех четырёх углов этого четырёхугольника.

Четырёхугольник можно описать окружностью, если сумма его противолежащих углов равна 180°.Центр описанной около четырёхугольника окружности является точкой пересечения всех четырёх серединных перпендикуляров сторон этого четырёхугольника.

Видео:ОГЭ Площадь квадрата, описанного около окружности #огэ #огэ2023 #алгебра #огэматематикаСкачать

ОГЭ Площадь квадрата, описанного около окружности #огэ #огэ2023 #алгебра #огэматематика

Квадрат

Квадрат – правильный четырёхугольник, то есть четырёхугольник, у которого все углы равны и все стороны равны.

Основные формулы:

Периметр: P=4a, где P-периметр, a-сторона
Площадь: S=a 2 или S=d 2 /2
Сторона и диагональ связаны соотношениями: a=d/√2, d=a√2
Радиус описанной окружности: R=d или R=a/√(2)
Радиус вписанной окружности: r=a/2

Центр вписанной и описанной окружности квадрата совпадаютгде a-сторона, d-диагональ, P-периметр, S-площадь
*Корень квадратный вычисляется из всего, что стоит в скобках после знака √, например, √(2) – корень квадратный из 2.

Свойства:

  • Все стороны равны, все углы равны и составляют 90°;
  • Диагонали квадрата равны и перпендикулярны;
  • У квадрата центры вписанной и описанной окружностей совпадают и находятся в точке пересечения его диагоналей;
  • Квадрат является одновременно частным случаем ромба и прямоугольника.

Видео:Задание 16 ОГЭ по математике. Окружность описана около квадратаСкачать

Задание 16 ОГЭ по математике. Окружность описана около квадрата

Прямоугольник

Прямоугольник – четырехугольник, у которого все углы прямые.

Основные формулы:

Периметр: P=(a+b)*2
Площадь по сторонам: S = a*b
Площадь по диагонали и углу между ними: S = d²* sin γ. / 2
Стороны и диагональ связаны соотношением: d=√(a 2 +b 2 )/2 (теорема Пифагора)
Радиус описанной окружности: R= √(a 2 +b 2 )/2 (теорема Пифагора)

Центр вписанной и описанной окружности квадрата совпадаютгде a, b – длины сторон прямоугольника, d-диагональ, P-периметр, S-площадь
γ угол между диагоналями
*Корень квадратный вычисляется из всего, что стоит в скобках после знака √, например, √(a 2 +b 2 ) – корень квадратный из (a 2 +b 2 ).

Свойства:

  • Диагонали прямоугольника равны и делятся точкой пересечения пополам.
  • Около любого прямоугольника можно описать окружность с центром в точке пересечения его диагоналей и радиусом, который равен половине диагонали.

Видео:Радиус описанной окружностиСкачать

Радиус описанной окружности

Параллелограмм

Параллелограмм – четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, то есть лежат на параллельных прямых.

Определения:

Высота параллелограмма – это перпендикуляр, проведённый из вершины параллелограмма к противоположной стороне.

Основные формулы:

Стороны и диагональ связаны соотношением: (d1) 2 +(d2) 2 =(a 2 +b 2 )*2
Периметр: P=(a+b)*2
Площадь по стороне и высоте: S = a*h
S (Площадь) по двум сторонам и углу между ними: S=a*b*sin α
S (Площадь) по двум диагоналям и углу между ними: S=(d1*d2)/2*sin γ

Центр вписанной и описанной окружности квадрата совпадаютгде a, b – длины сторон, d1, d2 –диагонали, P-периметр, S-площадь,
h-высота, проведенная к противоположной стороне
α – угол между сторонами параллелограмма,
γ – угол между диагоналями параллелограмма (острый).

Свойства:

  • У параллелограмма противоположные стороны равны и противоположные углы равны.
  • Сумма любых двух соседних углов параллелограмма равна 180°.
  • Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
  • Каждая диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника.
  • Две диагонали параллелограмма делят его на четыре равновеликих треугольника (равны площади всех 4-х треугольников)
  • Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.
  • Частными случаями параллелограмма являются прямоугольник, квадрат и ромб.

Видео:Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

Ромб

Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны.

Основные формулы:

Периметр: P=4*a
Площадь по стороне и высоте: S=a*h
Площадь по диагоналям: S = (d1*d2)/2
Радиус окружности, вписанной в ромб: r=h/2 или r =(d1*d2)/4a
Площадь по стороне и радиусу вписанной окружности: S=2*a*r
Площадь по стороне и углу: S = a 2 · sin α

Центр вписанной и описанной окружности квадрата совпадаютгде a – длина стороны, d1, d2 –диагонали, P-периметр, S-площадь,
h -высота, проведенная к противоположной стороне
α – угол между сторонами ромба

Свойства:

  • Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и являются биссектрисами его углов.
  • В любой ромб можно вписать окружность с центром в точке пересечения его диагоналей. Радиус окружности: r=h/2 или r = d1*d2/4a.

Видео:Геометрия. ОГЭ по математике. Задание 16Скачать

Геометрия. ОГЭ по математике. Задание 16

Трапеция

Трапеция – четырёхугольник, у которого только две противолежащие стороны параллельны.

Определения:

  • Параллельные стороны называются основаниями трапеции, непараллельные – боковыми сторонами.
  • Высота трапеции – перпендикуляр, проведённый из произвольной точки одного основания трапеции к прямой, содержащей другое основание трапеции.
  • Средняя линия (первая средняя линия) трапеции – отрезок, который соединяет середины боковых сторон данной трапеции.Средняя линия трапеции параллельна её основаниям и равна их полусумме.
  • Средняя линия (вторая средняя линия) – отрезок, соединяющий середины оснований, проходит через точку пересечения диагоналей.
  • Равнобокая трапеция – трапеция,у которой боковые стороны равны (c=d). У равнобокой трапеции:диагонали равны, углы при основании равны, сумма противолежащих углов равна 180°.Около трапеции можно описать окружность тогда и только тогда, когда она равнобокая.
  • Прямоугольная трапеция – трапеция, у которой одна из её боковых сторон перпендикулярна основаниям.

Основные формулы:

Периметр: P=a+b+c+d
Площадь определить: S=h*(a+b)/2
Стороны и диагональ равнобокой трапеции: d² = ab+c²
Радиус вписанной окружности: r = h/2

Центр вписанной и описанной окружности квадрата совпадаютгде a,b – основания, c,d – боковые стороны (с – боковые стороны в случае, если трапеция равнобокая), d1, d2 –диагонали,
P-периметр, S-площадь, h -высота, проведенная к противоположной стороне

Свойства:

В трапецию можно вписать окружность, если сумма её основ равна сумме боковых сторон (a+b=c+d). Центром вписанной в трапецию окружности является точка пересечения биссектрис внутренних углов трапеции.

Видео:Геометрия. ОГЭ по математике. Задание 16Скачать

Геометрия. ОГЭ по математике. Задание 16

Треугольник

Треугольник – это геометрическая фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой (вершин треугольника) и трёх отрезков с концами в этих точках (сторон треугольника).

Определения:

  • Углами (внутренними углами) треугольника называются три угла, каждый из которых образован лучами, выходящими из вершин треугольника и проходящими через две другие вершины.
  • Высота треугольника – перпендикуляр, опущенный из любой вершины треугольника на противолежащую сторону или на продолжение стороны
  • Медиана треугольника– отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.
  • Биссектрисой треугольника, проведённой из данной вершины, называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий эту вершину с точкой на противолежащей стороне
  • Равные треугольники – треугольники, у которых соответствующие стороны равны и соответствующие углы равны
  • Равнобедренный треугольник– треугольник, у которого две стороны равны. Равные стороны называют боковыми сторонами, а третью – основанием равнобедренного треугольника.
  • Равносторонний или правильный треугольник – треугольник, у которого все стороны равны.
  • Прямоугольный треугольник – треугольник, у которого есть прямой угол. Стороны, прилежащие к прямому углу, называются катетами, противолежащая прямому углу – гипотенузой.

Основные формулы:

Периметр: P=a+b+c
Площадь по стороне и высоте: S=(a*h)/2
Площадь: по сторонам и углу между ними: S=(a*b)/2* sin γ
по трем сторонам и радиусу описанной окружности: S=(a*b*c)/4R
по трем сторонам и радиусу вписанной окружности: S=(a+b+c)/2*r
Площадь прямоугольного треугольника: S=(a*b)/2
Стороны прямоугольного треугольника: c 2 =a 2 +b 2 (Теорема Пифагора)

Центр вписанной и описанной окружности квадрата совпадаютгде a,b, c – стороны (a,b –катеты , с – гипотенуза в случае прямоугольного треугольника)
d1, d2 –диагонали, h -высота, проведенная к противоположной стороне,
P-периметр, S-площадь, γ – угол между сторонами a и b
r – радиус вписанной окружности, R – радиус описанной окружности

Свойства:

  • В треугольнике против большего угла лежит большая сторона, против большей стороны лежит больший угол.
  • Сумма углов треугольника равна 180°:
  • Длина каждой стороны треугольника больше разности и меньше суммы длин двух других сторон: |a-b| 2 =a 2 +b 2 (Теорема Пифагора).В прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда больше любого из катетов.

Видео:Центры вписанной и описанной окружностей ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Центры вписанной и описанной окружностей ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Окружность

Окружность – замкнутая плоская кривая, все точки которой одинаково удалены от данной точки (центра окружности), которая лежит в той же плоскости, что и кривая.

Определения:

  • Радиус – отрезок, который соединяет центр окружности с любой её точкой.
  • Хорда – отрезок, который соединяет какие-либо две точки окружности (AB).
  • Диаметр – хорда, проходящая через центр окружности(d). Диаметр – наибольшая хорда окружности. Наименьшей хорды окружности не существует.
  • Касательная – прямая, которая лежит в одной плоскости с окружностью и имеет с ней только одну общую точку (E)
  • Секущая – прямая, которая пересекает окружность в двух различных точках.

Основные формулы:

Длина окружности: L = 2πR
Площадь круга: S = π*r 2 или S = π*d 2 /4

Центр вписанной и описанной окружности квадрата совпадаютгде π = 3,14 (3,1415926535) – величина постоянная,
где r-радиус, d –диаметр, L – длина окружности, S-площадь.

Видео:Построить описанную окружность (Задача 1)Скачать

Построить описанную окружность (Задача 1)

Квадрат вписанный в окружность

Видео:Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Вписанные  и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.

Определение

Квадрат, вписанный в окружность — это квадрат, который находится
внутри окружности и соприкасается с ней углами.

На рисунке 1 изображена окружность, описанная около
квадрата
и окружность, вписанная в квадрат.
Центр вписанной и описанной окружности квадрата совпадают

Видео:R и r для квадрата. Как вывести формулы радиуса вписанной и описанной окружностей для квадрата.Скачать

R и r для квадрата. Как вывести формулы радиуса вписанной и описанной окружностей для квадрата.

Формулы

Радиус вписанной окружности в квадрат

  1. Радиус вписанной окружности в квадрат, если известна сторона:

Радиус вписанной окружности в квадрат, если известен периметр:

Радиус вписанной окружности в квадрат, если известна площадь:

Радиус вписанной окружности в квадрат, если известен радиус описанной окружности:

Радиус вписанной окружности в квадрат, если известна диагональ:

Радиус описанной окружности около квадрата

  1. Радиус описанной окружности около квадрата, если известна сторона:

Радиус описанной окружности около квадрата, если известен периметр:

Радиус описанной окружности около квадрата, если известнаплощадь:

Радиус описанной окружности около квадрата, если известен радиус вписанной окружности:

Радиус описанной окружности около квадрата, если известнадиагональ:

Сторона квадрата

  1. Сторона квадрата вписанного в окружность, если известнаплощадь:

Сторона квадрата вписанного в окружность, если известнадиагональ:

Сторона квадрата вписанного в окружность, если известен периметр:

Площадь квадрата

  1. Площадь квадрата вписанного в окружность, если известна сторона:

Площадь квадрата вписанного в окружность, если известен радиус вписанной окружности:

Площадь квадрата вписанного в окружность, если известен радиус описанной окружности:

Площадь квадрата вписанного в окружность, если известен периметр:

Площадь квадрата вписанного в окружность, если известна диагональ:

Периметр квадрата

  1. Периметр квадрата вписанного в окружность, если известна сторона:

Периметр квадрата вписанного в окружность, если известна площадь:

Периметр квадрата вписанного в окружность, если известенрадиус вписанной окружности:

Периметр квадрата вписанного в окружность, если известен радиус описанной окружности:

Периметр квадрата вписанного в окружность, если известна диагональ:

Диагональ квадрата

  1. Диагональ квадрата вписанного в окружность, если известна сторона:

Диагональ квадрата вписанного в окружность, если известна площадь:

Диагональ квадрата вписанного в окружность, если известен периметр:

Диагональ квадрата вписанного в окружность, если известен радиус вписанной окружности:

Диагональ квадрата вписанного в окружность, если известен радиус описанной окружности:

📺 Видео

9 класс, 24 урок, Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороныСкачать

9 класс, 24 урок, Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны

ВПИСАННАЯ И ОПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэСкачать

ВПИСАННАЯ И ОПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэ

ОГЭ ЗАДАНИЕ 15 НАЙДИТЕ РАДИУС ОПИСАННОЙ ОКРУЖНОСТИ ОКОЛО КВАДРАТА #математика #2023 #огэ #mathСкачать

ОГЭ ЗАДАНИЕ 15 НАЙДИТЕ РАДИУС ОПИСАННОЙ ОКРУЖНОСТИ ОКОЛО КВАДРАТА #математика #2023 #огэ #math
Поделиться или сохранить к себе: