Центр описанной окружности равнобедренной трапеции лежит на пересечении диагоналей

Трапеция. Свойства трапеции

Трапеция – четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна (а другая пара сторон не параллельна).

Центр описанной окружности равнобедренной трапеции лежит на пересечении диагоналей

Параллельные стороны трапеции называются основаниями. Другие две — боковые стороны .
Если боковые стороны равны, трапеция называется равнобедренной .

Центр описанной окружности равнобедренной трапеции лежит на пересечении диагоналей

Трапеция, у которой есть прямые углы при боковой стороне, называется прямоугольной .

Центр описанной окружности равнобедренной трапеции лежит на пересечении диагоналей

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции .

Центр описанной окружности равнобедренной трапеции лежит на пересечении диагоналей

Видео:Основания равнобедренной трапеции равны 72 и 30. Центр окружности, описанной около трапеции... (ЕГЭ)Скачать

Основания равнобедренной трапеции равны 72 и 30. Центр окружности, описанной около трапеции... (ЕГЭ)

Свойства трапеции

1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Центр описанной окружности равнобедренной трапеции лежит на пересечении диагоналей

2. Биссектриса любого угла трапеции отсекает на её основании (или продолжении) отрезок, равный боковой стороне.

Центр описанной окружности равнобедренной трапеции лежит на пересечении диагоналей

3. Треугольники Центр описанной окружности равнобедренной трапеции лежит на пересечении диагоналейи Центр описанной окружности равнобедренной трапеции лежит на пересечении диагоналей, образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны.

Коэффициент подобия – Центр описанной окружности равнобедренной трапеции лежит на пересечении диагоналей

Отношение площадей этих треугольников есть Центр описанной окружности равнобедренной трапеции лежит на пересечении диагоналей.

Центр описанной окружности равнобедренной трапеции лежит на пересечении диагоналей

4. Треугольники Центр описанной окружности равнобедренной трапеции лежит на пересечении диагоналейи Центр описанной окружности равнобедренной трапеции лежит на пересечении диагоналей, образованные отрезками диагоналей и боковыми сторонами трапеции, имеют одинаковую площадь.

Центр описанной окружности равнобедренной трапеции лежит на пересечении диагоналей

5. В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований трапеции равна сумме её боковых сторон.

Центр описанной окружности равнобедренной трапеции лежит на пересечении диагоналей

6. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований и лежит на средней линии.

Центр описанной окружности равнобедренной трапеции лежит на пересечении диагоналей

7. Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.

Центр описанной окружности равнобедренной трапеции лежит на пересечении диагоналей

8. Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности.

Центр описанной окружности равнобедренной трапеции лежит на пересечении диагоналей

Видео:Малоизвестные свойства равнобедренной трапеции. Разбор задачи 17 ЕГЭ профиль.Скачать

Малоизвестные свойства равнобедренной трапеции. Разбор задачи 17 ЕГЭ профиль.

Свойства и признаки равнобедренной трапеции

1. В равнобедренной трапеции углы при любом основании равны.

Центр описанной окружности равнобедренной трапеции лежит на пересечении диагоналей

2. В равнобедренной трапеции длины диагоналей равны.

3. Если трапецию можно вписать в окружность, то трапеция – равнобедренная.

Центр описанной окружности равнобедренной трапеции лежит на пересечении диагоналей

4. Около равнобедренной трапеции можно описать окружность.

5. Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.

Центр описанной окружности равнобедренной трапеции лежит на пересечении диагоналей

Видео:Радиус описанной окружности трапецииСкачать

Радиус описанной окружности трапеции

Вписанная окружность

Если в трапецию вписана окружность с радиусом Центр описанной окружности равнобедренной трапеции лежит на пересечении диагоналейи она делит боковую сторону точкой касания на два отрезка — Центр описанной окружности равнобедренной трапеции лежит на пересечении диагоналейи Центр описанной окружности равнобедренной трапеции лежит на пересечении диагоналей, то Центр описанной окружности равнобедренной трапеции лежит на пересечении диагоналей

Центр описанной окружности равнобедренной трапеции лежит на пересечении диагоналей

Видео:Задача 6 №27926 ЕГЭ по математике. Урок 141Скачать

Задача 6 №27926 ЕГЭ по математике. Урок 141

Площадь

Центр описанной окружности равнобедренной трапеции лежит на пересечении диагоналейили Центр описанной окружности равнобедренной трапеции лежит на пересечении диагоналейгде Центр описанной окружности равнобедренной трапеции лежит на пересечении диагоналей– средняя линия

Центр описанной окружности равнобедренной трапеции лежит на пересечении диагоналей

Смотрите хорошую подборку задач с трапецией (входят в ГИА и часть В ЕГЭ) здесь и здесь.

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

Видео:Замечательное свойство трапеции | ЕГЭ по математике 2020Скачать

Замечательное свойство трапеции | ЕГЭ по математике 2020

Центр описанной окружности равнобедренной трапеции лежит на пересечении диагоналей

Напомним свойства трапеции, которые часто используются при решении задач. Некоторые из этих свойств были доказаны в заданиях для 9-го класса, другие попробуйте доказать самостоятельно. Приведённые рисунки напоминают ход доказательства.

$$ 4.^$$. Диагонали трапеции разбивают её на четыре треугольника с общей вершиной (рис. 20). Площади треугольников, прилежащих к боковым сторонам, равны, а треугольники прилежащие к основаниям — подобны.

$$ 4.^$$. В любой трапеции середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка пересечения продолжении боковых сторон, лежат на одной прямой (на рис. 21 точки `M`, `N`, `O` и `K`).

Центр описанной окружности равнобедренной трапеции лежит на пересечении диагоналей

$$ 4.^$$. В равнобокой трапеции углы при основании равны (рис. 22).

$$ 4.^$$. В равнобокой трапеции прямая, проходящая через середины оснований, перпендикулярна основаниям и является осью симметрии трапеции (рис. 23).

$$ 4.^$$. В равнобокой трапеции диагонали равны (рис. 24).

$$ 4.^$$. В равнобокой трапеции высота, опущенная на большее основание из конца меньшего основания, делит его на два отрезка, один из которых равен полуразности оснований, а другой – их полусумме

(рис. 25, основания равны `a` и `b`, `a>b`).

Центр описанной окружности равнобедренной трапеции лежит на пересечении диагоналей

$$ 4.^$$. Во всякой трапеции середины боковых сторон и середины диагоналей лежат на одной прямой (рис. 26).

$$ 4.^$$. Во всякой трапеции отрезок, соединяющий середины диагоналей, параллелен основаниям и равен полуразности оснований (рис. 27).

Центр описанной окружности равнобедренной трапеции лежит на пересечении диагоналей

$$ 4.^$$.В равнобокой трапеции `d^2=c^2+ab`, где `d` — диагональ, `c` — боковая сторона, `a` и `b` основания.

Во всякой трапеции сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов боковых сторон и удвоенного произведения оснований, т. е. `d_1^2+d_2^2=c_1^2+c_2^2+2*ab`.

$$ 4.^$$. Во всякой трапеции с основаниями `a` и `b` отрезок с концами на боковых сторонах, проходящий через точку пересечения диагоналей параллельно основаниям, равен `(2ab)/(a+b)` (на рис. 28 отрезок `MN`).

$$ 4.^$$. Трапецию можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда она равнобокая.

Докажем, например, утверждение $$ 4.^$$ .

Применяем теорему косинусов (см. рис. 29а и б):

`ul(DeltaACD):` `d_1^2=a^2+c_2^2-2a*c_2*cos varphi`,

`ul(DeltaBCD):` `d_2^2=b^2+c_2^2+2b*c_2*cos varphi` (т. к. `cos(180^@-varphi)=-cos varphi`).

Проводим `CK«||«BA` (рис. 29в), рассматриваем треугольник `ul(KCD):` `c_1^2=c_2^2+(a-b)^2-2c_2*(a-b)*cos varphi`. Используя последнее равенство, заменяем выражение в скобках в (2), получаем:

`d_1^2+d_2^2=c_1^2+c_2^2+2ab`.

В случае равнобокой трапеции `d_1=d_2`, `c_1=c_2=c`, поэтому получаем

`d^2=c^2+ab`.

Центр описанной окружности равнобедренной трапеции лежит на пересечении диагоналей

Отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, равен `5`, одна из диагоналей равна `6`. Найти площадь трапеции, если её диагонали перпендикулярны.

`AC=6`, `BM=MC`, `AN=ND`, `MN=5` (рис. 30а). Во всякой трапеции середины оснований и точка пересечения диагоналей лежат на од-ной прямой (свойство $$ 4.^$$). Треугольник `BOC` прямоугольный (по условию `AC_|_BD`), `OM` — его медиана, проведённая из вершины прямого угла, она равна половине гипотенузы: `OM=1/2BC`. Аналогично устанавливается `ON=1/2AD`, поэтому `MN=1/2(BC+AD)`. Через точку `D` проведём прямую, параллельную диагонали `AC`, пусть `K` — её точка пересечения с прямой `BC` (рис. 30б).

Центр описанной окружности равнобедренной трапеции лежит на пересечении диагоналей

По построению `ACKD` — параллелограмм, `DK=AC`, `CK=AD` и `/_BDK=90^@`

(т. к. угол `BDK` — это угол между диагоналями трапеции).

Прямоугольный треугольник `ul(BDK)` с гипотенузой `BK=BC+AD=2MN=10` и катетом `DK=6` имеет площадь `S=1/2DK*BD=1/2DKsqrt(BK^2-DK^2)=24`. Но площадь треугольника `BDK` равна площади трапеции, т. к. если `DP_|_BK`, то

Диагонали трапеции, пересекаясь, разбивают её на четыре треугольника с общей вершиной. Найти площадь трапеции, если площади треугольников, прилежащих к основаниям, равны `S_1` и `S_2`.

Пусть `BC=a`, `AD=b`, и пусть `h` — высота трапеции (рис. 31). По свойству $$ 4.^$$ `S_(ABO)=S_(CDO)`, обозначим эту площадь `S_0` (действительно, `S_(ABD)=S_(ACD)`, т. к. у них общие основания и равные высоты, т. е. `S_(AOB)+S_(AOD)=S_(COD)+S_(AOD)`, откуда следует `S_(AOB)=S_(COD)`). Так как `S_(ABC)=S_0 + S_1=1/2ah` и `S_(ACD)=S_0+S_2=1/2bh`, то `(S_0+S_1)/(S_0 + S_2)=a/b`.

Далее, треугольники `BOC` и `DOA` подобны, площади подобных треугольников относятся как квадраты соответствующих сторон, значит, `(S_1)/(S_2)=(a/b)^2`. Таким образом, `(S_0+S_1)/(S_0+S_2)=sqrt((S_1)/(S_2))`.Отсюда находим `S_0=sqrt(S_1S_2)`, и поэтому площадь трапеции будет равна

Центр описанной окружности равнобедренной трапеции лежит на пересечении диагоналей

Основания равнобокой трапеции равны `8` и `10`, высота трапеции равна `3` (рис. 32).

Центр описанной окружности равнобедренной трапеции лежит на пересечении диагоналей

Найти радиус окружности, описанной около этой трапеции.

Трапеция равнобокая, по свойству $$ 4.^$$ около этой трапеции можно описать окружность. Пусть `BK_|_AD`, по свойству $$ 4.^$$

Из прямоугольного треугольника `ABK` находим `AB=sqrt(1+9)=sqrt(10)` и `sinA=(BK)/(AB)=3/(sqrt10)`. Окружность, описанная около трапеции `ABCD`, описана и около треугольника `ABD`, значит (формула (1), § 1), `R=(BD)/(2sinA)`. Отрезок `BD` находим из прямоугольного треугольника `KDB:` `BD=sqrt(BK^2+KD^2)=3sqrt(10)` (или по формуле `d^2=c^2+ab`), тогда

$$ 4.^$$. Площадь трапеции равна площади треугольника, две стороны которого равны диагоналям трапеции, а третья равна сумме оснований.

$$ 4.^$$. Если `S_1` и `S_2` — площади треугольников, прилежащих к основаниям, то площади треугольников, прилежащих к боковым сторонам равны `sqrt(S_1S_2)`, а площадь всей трапеции равна `(sqrt(S_1) +sqrt(S_2))^2`.

$$ 4.^$$. Радиус окружности, описанной около трапеции, находится по формуле `R+a/(2sin alpha)`, где `a` — какая-то сторона (или диагональ трапеции), `alpha` — смотрящий на неё вписанный угол.

Видео:Трапеция. Практическая часть - решение задачи. 8 класс.Скачать

Трапеция. Практическая часть - решение задачи. 8 класс.

Радиус описанной окружности трапеции

Как найти радиус описанной окружности для трапеции?

В зависимости от данных условия, сделать это можно разными способами. Готовой формулы радиуса описанной около трапеции окружности нет.

I. Радиус описанной около трапеции окружности как радиус окружности, описанной около треугольника, вершины которого — вершины трапеции

Описанная около трапеции окружность проходит через все её вершины, следовательно, является описанной для любого из треугольников, вершины которых являются вершинами трапеции.

В общем случае радиус описанной около треугольника окружности может быть найден по одной из формул

Центр описанной окружности равнобедренной трапеции лежит на пересечении диагоналей

где a — сторона треугольника, α — противолежащий ей угол;

либо по формуле

Центр описанной окружности равнобедренной трапеции лежит на пересечении диагоналей

где a, b, c — стороны, S — площадь треугольника.

Центр описанной окружности равнобедренной трапеции лежит на пересечении диагоналей

Для трапеции ABCD радиус может быть найден, например, как радиус окружности, описанной около треугольника ABD:

Центр описанной окружности равнобедренной трапеции лежит на пересечении диагоналей

Центр описанной окружности равнобедренной трапеции лежит на пересечении диагоналей

где синус угла A можно найти из прямоугольного треугольника ABF:

Центр описанной окружности равнобедренной трапеции лежит на пересечении диагоналей

III. Радиус описанной около трапеции окружности как расстояние до точки пересечения серединных перпендикуляров

Центр описанной окружности равнобедренной трапеции лежит на пересечении диагоналейРадиус описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров с сторонам трапеции. (Можно рассуждать иначе: в равнобедренном треугольнике AOD (AO=OD=R) высота ON является также медианой. Для треугольника BOC — аналогично).

Если известна высота трапеции KN=h, основания AD=a, BC=b, можно обозначить ON=x.

Если центр окружности лежит внутри трапеции, OK=h-x, из прямоугольных треугольников ANO и BKO можно выразить

Центр описанной окружности равнобедренной трапеции лежит на пересечении диагоналей

Центр описанной окружности равнобедренной трапеции лежит на пересечении диагоналей

и приравнять правые части

Центр описанной окружности равнобедренной трапеции лежит на пересечении диагоналей

Центр описанной окружности равнобедренной трапеции лежит на пересечении диагоналей

Центр описанной окружности равнобедренной трапеции лежит на пересечении диагоналей

Решив это уравнения относительно x, можно найти R.

IV. Если диагональ трапеции перпендикулярна боковой стороне, центр описанной окружности лежит на середине большего основания и радиус равен половине большего основания.

Центр описанной окружности равнобедренной трапеции лежит на пересечении диагоналей

Центр описанной окружности равнобедренной трапеции лежит на пересечении диагоналей

точка O — середина AD

Центр описанной окружности равнобедренной трапеции лежит на пересечении диагоналей

Центр описанной окружности равнобедренной трапеции лежит на пересечении диагоналейЕсли диагональ трапеции образует с боковой стороной тупой угол, центр описанной окружности лежит вне трапеции, за большим основанием.

I вариант нахождения радиуса для этого случая не изменяется.

Центр описанной окружности равнобедренной трапеции лежит на пересечении диагоналейВо II случае OK=h+x, соответственно, изменяется уравнение для нахождения x и R.

Позже рассмотрим конкретные задачи нахождения радиуса описанной около трапеции окружности.

🌟 Видео

Геометрия Центр окружности, описанной около равнобокой трапеции, принадлежит ее большему основаниюСкачать

Геометрия Центр окружности, описанной около равнобокой трапеции, принадлежит ее большему основанию

В равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны. Высота трапеции равна 12.Скачать

В равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны. Высота трапеции равна 12.

№388. Докажите, что в равнобедренной трапеции: а) углы при каждом основании равныСкачать

№388. Докажите, что в равнобедренной трапеции: а) углы при каждом основании равны

Вписанная и описанная трапеции. КлассикаСкачать

Вписанная и описанная трапеции. Классика

ОГЭ Задача 26 Окружность в трапецииСкачать

ОГЭ Задача 26 Окружность в трапеции

Нафиг теорему синусов 3 задание проф. ЕГЭ по математике (часть II)Скачать

Нафиг теорему синусов 3 задание проф. ЕГЭ по математике (часть II)

Задача про трапецию, описанную около окружностиСкачать

Задача про трапецию, описанную около окружности

ВСЯ ГЕОМЕТРИЯ ЗА 30 МИНУТСкачать

ВСЯ ГЕОМЕТРИЯ ЗА 30 МИНУТ

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

Задание 25_Признак равнобедренной трапецииСкачать

Задание 25_Признак равнобедренной трапеции

Геометрия Равнобокая трапеция вписана в окружность, центр которой принадлежит одному из основанияСкачать

Геометрия Равнобокая трапеция вписана в окружность, центр которой принадлежит одному из основания

SOS-ГЕОМЕТРИЯ! Отрезки и углы, смежные и вертикальные углы | Математика TutorOnlineСкачать

SOS-ГЕОМЕТРИЯ! Отрезки и углы, смежные и вертикальные углы | Математика TutorOnline

#95. Задание 6: описанная окружностьСкачать

#95. Задание 6: описанная окружность

Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапецииСкачать

Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции
Поделиться или сохранить к себе: