Центр описанной около ромба окружности

Центр описанной около ромба окружности

Какие из следующих утверждений верны?

1) Около любого ромба можно описать окружность.

2) В любой треугольник можно вписать не менее одной окружности.

3) Центром окружности, описанной около треугольника, является точка пересечения биссектрис.

4) Центром окружности, вписанной в треугольник, является точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.

Проверим каждое из утверждений.

1) «Около любого ромба можно описать окружность.»— неверно, чтобы около четырёхугольника можно было описать окружность, необходимо, чтобы сумма противоположных углов четырёхугольника составляла 180°. Это верно не для любого ромба.

2) «В любой треугольник можно вписать не менее одной окружности.» — верно, в любой треугольник можно вписать окружность.

3) «Центром окружности, описанной около треугольника, является точка пересечения биссектрис.» — неверно, центром описанной около треугольника окружности является точка пересечения серединных перпендикуляров треугольника.

4) «Центром окружности, вписанной в треугольник, является точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.» — неверно, центром вписанной в треугольник окружности является точка пересечения биссектрис треугольника.

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Описанная окружность

Окружность описанная около многоугольника — это окружность, на которой лежат все вершины многоугольника. Вписанный в окружность многоугольник — это многоугольник, все вершины которого лежат на окружности. На рисунке 1 четырехугольник АВСD вписан в окружность с центром О, а четырехугольник АЕСD не является вписанным в эту окружность, так как вершина Е не лежит на окружности.

Центр описанной около ромба окружности

Теорема

Около любого треугольника можно описать окружность.

Доказательство

Дано: произвольный Центр описанной около ромба окружностиАВС.

Доказать: около Центр описанной около ромба окружностиАВС можно описать окружность.

Доказательство:

1. Проведем серединные перпендикуляры к сторонам Центр описанной около ромба окружностиАВС, которые пересекутся в точке О (по свойству серединных перпендикуляров треугольника). Соединим точку О с точками А, В и С (Рис. 2).

Центр описанной около ромба окружности

Точка О равноудалена от вершин Центр описанной около ромба окружностиАВС (по теореме о серединном перпендикуляре), поэтому ОА = ОВ = ОС. Следовательно, окружность с центром О радиуса ОА проходит через все три вершины треугольника, значит, является описанной около Центр описанной около ромба окружностиАВС. Теорема доказана.

Замечание 1

Около треугольника можно описать только одну окружность.

Доказательство

Предположим, что около треугольника можно описать две окружности. Тогда центр каждой из них равноудален от его вершин и поэтому совпадает с точкой О пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника, а радиус равен расстоянию от точки О до вершин треугольника. Следовательно, эти окружности совпадают, т.е. около треугольника можно описать только одну окружность. Что и требовалось доказать.

Замечание 2

Около четырехугольника не всегда можно описать окружность.

Доказательство

Рассмотрим, например, ромб, не являющийся квадратом. Такой ромб можно «поместить» в окружность так, что две его вершины будут лежать на этой окружности (Рис. 3), но нельзя «поместить» ромб в окружность так, чтобы все его вершины лежали на окружности, т.к. диаметр окружности, равный одной из диагоналей ромба, будет больше (меньше) второй диагонали, т.е. нельзя описать окружность. Что и требовалось доказать.

Центр описанной около ромба окружности

Если же около четырехугольника можно описать окружность, то его углы обладают следующим замечательным свойством:

В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180 0 .

Доказательство

Рассмотрим четырехугольник АВСD, вписанный в окружность (Рис. 4).

Центр описанной около ромба окружности

Углы В и Dвписанные, тогда по теореме о вписанном угле: Центр описанной около ромба окружностиВ = Центр описанной около ромба окружностиЦентр описанной около ромба окружностиАDС, Центр описанной около ромба окружностиD = Центр описанной около ромба окружностиЦентр описанной около ромба окружностиАВС, откуда следует Центр описанной около ромба окружностиВ + Центр описанной около ромба окружностиD = Центр описанной около ромба окружностиЦентр описанной около ромба окружностиАDС + Центр описанной около ромба окружностиЦентр описанной около ромба окружностиАВС = Центр описанной около ромба окружности(Центр описанной около ромба окружностиАDС + Центр описанной около ромба окружностиАВС). Дуги АDС и АВС вместе составляют окружность, градусная мера которой равна 360 0 , т.е. Центр описанной около ромба окружностиАDС + Центр описанной около ромба окружностиАВС = 360 0 , тогда Центр описанной около ромба окружностиВ + Центр описанной около ромба окружностиD = Центр описанной около ромба окружностиЦентр описанной около ромба окружности360 0 = 180 0 . Что и требовалось доказать.

Верно и обратное утверждение:

Если сумма противоположных углов четырехугольника равна 180 0 , то около него можно описать окружность.

Доказательство

Дано: четырехугольник АВСD, Центр описанной около ромба окружностиBАD + Центр описанной около ромба окружностиBСD = 180 0 .

Доказать: около АВСD можно описать окружность.

Доказательство:

Проведем окружность через три вершины четырехугольника: А, В и D (Рис. 5), — и докажем, что она проходит также через вершину С, т.е. является описанной около четырехугольника АВСD.

Центр описанной около ромба окружности

Предположим, что это не так. Тогда вершина С лежит либо внутри круга, либо вне его.

Рассмотрим первый случай, когда точка С лежит внутри круга (Рис. 6).

Центр описанной около ромба окружности

Центр описанной около ромба окружностиВСDвнешний угол Центр описанной около ромба окружностиСFD, следовательно, Центр описанной около ромба окружностиBСD = Центр описанной около ромба окружностиВFD + Центр описанной около ромба окружностиFDE. (1)

Углы ВFD и FDEвписанные. По теореме о вписанном угле Центр описанной около ромба окружностиВFD = Центр описанной около ромба окружностиЦентр описанной около ромба окружностиВАD и Центр описанной около ромба окружностиFDE = Центр описанной около ромба окружностиЦентр описанной около ромба окружностиЕF, тогда, подставляя данные равенства в (1), получим: Центр описанной около ромба окружностиBСD = Центр описанной около ромба окружностиЦентр описанной около ромба окружностиВАD + Центр описанной около ромба окружностиЦентр описанной около ромба окружностиЕF = Центр описанной около ромба окружности(Центр описанной около ромба окружностиВАD + Центр описанной около ромба окружностиЕF), следовательно, Центр описанной около ромба окружностиВСDЦентр описанной около ромба окружностиЦентр описанной около ромба окружностиЦентр описанной около ромба окружностиВАD.

Центр описанной около ромба окружностиBАD вписанный, тогда по теореме о вписанном угле Центр описанной около ромба окружностиBАD = Центр описанной около ромба окружностиЦентр описанной около ромба окружностиВЕD, тогда Центр описанной около ромба окружностиBАD + Центр описанной около ромба окружностиBСDЦентр описанной около ромба окружностиЦентр описанной около ромба окружности(Центр описанной около ромба окружностиВЕD + Центр описанной около ромба окружностиВАD).

Дуги ВЕD и ВАD вместе составляют окружность, градусная мера которой равна 360 0 , т.е. Центр описанной около ромба окружностиВЕD + Центр описанной около ромба окружностиВАD = 360 0 , тогда Центр описанной около ромба окружностиBАD + Центр описанной около ромба окружностиBСDЦентр описанной около ромба окружностиЦентр описанной около ромба окружностиЦентр описанной около ромба окружности360 0 = 180 0 .

Итак, мы получили, что Центр описанной около ромба окружностиBАD + Центр описанной около ромба окружностиBСDЦентр описанной около ромба окружности180 0 . Но это противоречит условию Центр описанной около ромба окружностиBАD + Центр описанной около ромба окружностиBСD =180 0 , и, значит, наше предположение ошибочно, т.е. точка С лежит на окружности, значит, около четырехугольника АВСD можно описать окружность.

Рассмотрим второй случай, когда точка С лежит вне круга (Рис. 7).

Центр описанной около ромба окружности

По теореме о сумме углов треугольника в Центр описанной около ромба окружностиВСF: Центр описанной около ромба окружностиС + Центр описанной около ромба окружностиВ + Центр описанной около ромба окружностиF = 180 0 , откуда Центр описанной около ромба окружностиС = 180 0 — ( Центр описанной около ромба окружностиВ + Центр описанной около ромба окружностиF). (2)

Центр описанной около ромба окружностиВ вписанный, тогда по теореме о вписанном угле Центр описанной около ромба окружностиВ = Центр описанной около ромба окружностиЦентр описанной около ромба окружностиЕF. (3)

Центр описанной около ромба окружностиF и Центр описанной около ромба окружностиВFD смежные, поэтому Центр описанной около ромба окружностиF + Центр описанной около ромба окружностиВFD = 180 0 , откуда Центр описанной около ромба окружностиF = 180 0 — Центр описанной около ромба окружностиВFD = 180 0 — Центр описанной около ромба окружностиЦентр описанной около ромба окружностиВАD. (4)

Подставим (3) и (4) в (2), получим:

Центр описанной около ромба окружностиС = 180 0 — (Центр описанной около ромба окружностиЦентр описанной около ромба окружностиЕF + 180 0 — Центр описанной около ромба окружностиЦентр описанной около ромба окружностиВАD) = 180 0 — Центр описанной около ромба окружностиЦентр описанной около ромба окружностиЕF — 180 0 + Центр описанной около ромба окружностиЦентр описанной около ромба окружностиВАD = Центр описанной около ромба окружности(Центр описанной около ромба окружностиВАDЦентр описанной около ромба окружностиЕF), следовательно, Центр описанной около ромба окружностиСЦентр описанной около ромба окружностиЦентр описанной около ромба окружностиЦентр описанной около ромба окружностиВАD.

Центр описанной около ромба окружностиА вписанный, тогда по теореме о вписанном угле Центр описанной около ромба окружностиА = Центр описанной около ромба окружностиЦентр описанной около ромба окружностиВЕD, тогда Центр описанной около ромба окружностиА + Центр описанной около ромба окружностиСЦентр описанной около ромба окружностиЦентр описанной около ромба окружности(Центр описанной около ромба окружностиВЕD + Центр описанной около ромба окружностиВАD). Но это противоречит условию Центр описанной около ромба окружностиА + Центр описанной около ромба окружностиС =180 0 , и, значит, наше предположение ошибочно, т.е. точка С лежит на окружности, значит, около четырехугольника АВСD можно описать окружность. Что и требовалось доказать.

Примечание:

Окружность всегда можно описать:

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

Ромб. Формулы, признаки и свойства ромба

Центр описанной около ромба окружностиЦентр описанной около ромба окружности
Рис.1Рис.2

Видео:Радиус вписанной в ромб окружности (6701)Скачать

Радиус вписанной в ромб окружности (6701)

Признаки ромба

∠BAC = ∠CAD или ∠BDA = ∠BDC

Δ ABO = Δ BCO = Δ CDO = Δ ADO

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Основные свойства ромба

∠BAC = ∠CAD, ∠ABD = ∠DBC, ∠BCA = ∠ACD, ∠ADB = ∠BDC

AC 2 + BD 2 = 4AB 2

Видео:Задача 6 №27914 ЕГЭ по математике. Урок 132Скачать

Задача 6 №27914 ЕГЭ по математике. Урок 132

Сторона ромба

Формулы определения длины стороны ромба:

1. Формула стороны ромба через площадь и высоту:

a =S
ha

2. Формула стороны ромба через площадь и синус угла:

a =√ S
√ sinα
a =√ S
√ sinβ

3. Формула стороны ромба через площадь и радиус вписанной окружности:

a =S
2 r

4. Формула стороны ромба через две диагонали:

a =√ d 1 2 + d 2 2
2

5. Формула стороны ромба через диагональ и косинус острого угла ( cos α ) или косинус тупого угла ( cos β ):

a =d 1
√ 2 + 2 cosα
a =d 2
√ 2 — 2 cosβ

6. Формула стороны ромба через большую диагональ и половинный угол:

a =d 1
2 cos ( α /2)
a =d 1
2 sin ( β /2)

7. Формула стороны ромба через малую диагональ и половинный угол:

a =d 2
2 cos ( β /2)
a =d 2
2 sin ( α /2)

8. Формула стороны ромба через периметр:

a =Р
4

Видео:найти радиус окружности, описанной вокруг треугольникаСкачать

найти радиус окружности, описанной вокруг треугольника

Диагонали ромба

Формулы определения длины диагонали ромба:

d 1 = a √ 2 + 2 · cosα

d 1 = a √ 2 — 2 · cosβ

d 2 = a √ 2 + 2 · cosβ

d 2 = a √ 2 — 2 · cosα

d 1 = 2 a · cos ( α /2)

d 1 = 2 a · sin ( β /2)

d 2 = 2 a · sin ( α /2)

d 2 = 2 a · cos ( β /2)

7. Формулы диагоналей через площадь и другую диагональ:

d 1 =2S
d 2
d 2 =2S
d 1

8. Формулы диагоналей через синус половинного угла и радиус вписанной окружности:

d 1 =2 r
sin ( α /2)
d 2 =2 r
sin ( β /2)

Видео:2038 центр окружности описанной около треугольника ABC лежит на стороне ABСкачать

2038 центр окружности описанной около треугольника ABC лежит на стороне AB

Периметр ромба

Периметром ромба называется сумма длин всех сторон ромба.

Длину стороны ромба можно найти за формулами указанными выше.

Формула определения длины периметра ромба:

Видео:Задача 6 №27913 ЕГЭ по математике. Урок 131Скачать

Задача 6 №27913 ЕГЭ по математике. Урок 131

Площадь ромба

Формулы определения площади ромба:

4. Формула площади ромба через две диагонали:

S =1d 1 d 2
2

5. Формула площади ромба через синус угла и радиус вписанной окружности:

S =4 r 2
sinα

6. Формулы площади через большую диагональ и тангенс острого угла ( tgα ) или малую диагональ и тангенс тупого угла ( tgβ ):

S =1d 1 2 · tg ( α /2)
2
S =1d 2 2 · tg ( β /2)
2

Видео:Геометрия. ОГЭ по математике. Задание 16Скачать

Геометрия. ОГЭ по математике. Задание 16

Окружность вписанная в ромб

Формулы определения радиуса круга вписанного в ромб:

1. Формула радиуса круга вписанного в ромб через высоту ромба:

r =h
2

2. Формула радиуса круга вписанного в ромб через площадь и сторону ромба:

r =S
2 a

3. Формула радиуса круга вписанного в ромб через площадь и синус угла:

r =√ S · sinα
2

4. Формулы радиуса круга вписанного в ромб через сторону и синус любого угла:

r =a · sinα
2
r =a · sinβ
2

5. Формулы радиуса круга вписанного в ромб через диагональ и синус угла:

r =d 1 · sin ( α /2)
2
r =d 2 · sin ( β /2)
2

6. Формула радиуса круга вписанного в ромб через две диагонали:

r =d 1 · d 2
2√ d 1 2 + d 2 2

7. Формула радиуса круга вписанного в ромб через две диагонали и сторону:

r =d 1 · d 2
4 a

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

📹 Видео

Радиус описанной окружностиСкачать

Радиус описанной окружности

Геометрия Докажите, что если около ромба можно описать окружность, то этот ромб является квадратомСкачать

Геометрия Докажите, что если около ромба можно описать окружность, то этот ромб является квадратом

Все про РОМБ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // Геометрия 8 классСкачать

Все про РОМБ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // Геометрия 8 класс

№700. Докажите, что в любой ромб можно вписать окружность.Скачать

№700. Докажите, что в любой ромб можно вписать окружность.

Площадь ромба. Легче понять...Скачать

Площадь ромба. Легче понять...

ОГЭ ЗАДАНИЕ 16 ЦЕНТР ОКРУЖНОСТИ ОПИСАННОЙ ОКОЛО ТРЕУГОЛЬНИКА АБС ЛЕЖИТ НА СТОРОНЕ АБ РАДИУС 14,5Скачать

ОГЭ ЗАДАНИЕ 16 ЦЕНТР ОКРУЖНОСТИ ОПИСАННОЙ ОКОЛО ТРЕУГОЛЬНИКА АБС ЛЕЖИТ НА СТОРОНЕ АБ РАДИУС 14,5

8. Ортоцентр и центр описанной окружности. РасстоянияСкачать

8. Ортоцентр и центр описанной окружности. Расстояния

ОГЭ Площадь квадрата, описанного около окружности #огэ #огэ2023 #алгебра #огэматематикаСкачать

ОГЭ Площадь квадрата, описанного около окружности #огэ #огэ2023 #алгебра #огэматематика

Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Вписанные  и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.

ОГЭ 2019. Задание 17. Разбор задач. Геометрия. Окружность.Скачать

ОГЭ 2019.  Задание 17. Разбор задач. Геометрия. Окружность.

Вписанная и описанная около равнобедренного треугольника, окружностьСкачать

Вписанная и описанная около равнобедренного треугольника,  окружность
Поделиться или сохранить к себе: