Центр окружности вписанной в прямоугольный треугольник находится в середине гипотенузы

Центр окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, находится на расстояниях а и Ъ от концов гипотенузы. Найдите гипотенузу треугольника

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Ваш ответ

Видео:Геометрия Центр окружности, вписанной в прямоугольный треугольник удален от концов гипотенузы на aСкачать

Геометрия Центр окружности, вписанной в прямоугольный треугольник удален от концов гипотенузы на a

решение вопроса

Видео:№694. Найдите диаметр окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, если гипотенузаСкачать

№694. Найдите диаметр окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, если гипотенуза

Похожие вопросы

  • Все категории
  • экономические 43,282
  • гуманитарные 33,619
  • юридические 17,900
  • школьный раздел 607,061
  • разное 16,829

Популярное на сайте:

Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.

Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.

Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.

Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.

Видео:Прямоугольный треугольник и описанная окружностьСкачать

Прямоугольный треугольник и описанная окружность

Окружность, вписанная в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла

Центр окружности вписанной в прямоугольный треугольник находится в середине гипотенузыСуществование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
Центр окружности вписанной в прямоугольный треугольник находится в середине гипотенузыФормулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник
Центр окружности вписанной в прямоугольный треугольник находится в середине гипотенузыВывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Видео:Все про прямоугольный треугольник. Решаем задачи | Математика | TutorOnlineСкачать

Все про прямоугольный треугольник. Решаем задачи | Математика | TutorOnline

Существование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла

Определение 1 . Биссектрисой угла называют луч, делящий угол на две равные части.

Теорема 1 (Основное свойство биссектрисы угла) . Каждая точка биссектрисы угла находится на одном и том же расстоянии от сторон угла (рис.1).

Центр окружности вписанной в прямоугольный треугольник находится в середине гипотенузы

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на биссектрисе угла BAC , и опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.1). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны острые углы DAF и DAE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

что и требовалось доказать.

Теорема 2 (обратная теорема к теореме 1) . Если некоторая точка находится на одном и том же расстоянии от сторон угла, то она лежит на биссектрисе угла (рис.2).

Центр окружности вписанной в прямоугольный треугольник находится в середине гипотенузы

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую внутри угла BAC и находящуюся на одном и том же расстоянии от сторон угла. Опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.2). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

Центр окружности вписанной в прямоугольный треугольник находится в середине гипотенузы

что и требовалось доказать.

Определение 2 . Окружность называют окружностью, вписанной в угол , если она касается касается сторон этого угла.

Теорема 3 . Если окружность вписана в угол, то расстояния от вершины угла до точек касания окружности со сторонами угла равны.

Доказательство . Пусть точка D – центр окружности, вписанной в угол BAC , а точки E и F – точки касания окружности со сторонами угла (рис.3).

Центр окружности вписанной в прямоугольный треугольник находится в середине гипотенузы

Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE (как радиусы окружности радиусы окружности ), а гипотенуза AD – общая. Следовательно

что и требовалось доказать.

Замечание . Теорему 3 можно сформулировать и по-другому: отрезки касательных касательных , проведенных к окружности из одной точки, равны.

Определение 3 . Биссектрисой треугольника называют отрезок, являющийся частью биссектрисы угла треугольника, и соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне.

Теорема 4 . В любом треугольнике все три биссектрисы пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим две биссектрисы, проведённые из вершин A и C треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 4).

Центр окружности вписанной в прямоугольный треугольник находится в середине гипотенузы

Опустим из точки O перпендикуляры OD , OE и OF на стороны треугольника. Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла BAC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла ACB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Следовательно, справедливо равенство:

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на биссектрисе угла ABC . Таким образом, все три биссектрисы треугольника проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать

Определение 4 . Окружностью, вписанной в треугольник , называют окружность, которая касается всех сторон треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, описанным около окружности .

Центр окружности вписанной в прямоугольный треугольник находится в середине гипотенузы

Следствие . В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну. Центром вписанной в треугольник окружности является точка, в которой пересекаются все биссектрисы треугольника.

Видео:Геометрия Точка касания окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, делит его гипотенузу наСкачать

Геометрия Точка касания окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, делит его гипотенузу на

Формулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Формулы, позволяющие найти радиус вписанной в треугольник окружности , удобно представить в виде следующей таблицы.

Центр окружности вписанной в прямоугольный треугольник находится в середине гипотенузы

a, b, c – стороны треугольника,
S – площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр

Центр окружности вписанной в прямоугольный треугольник находится в середине гипотенузы.

Центр окружности вписанной в прямоугольный треугольник находится в середине гипотенузы

Центр окружности вписанной в прямоугольный треугольник находится в середине гипотенузы

Центр окружности вписанной в прямоугольный треугольник находится в середине гипотенузы

a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Центр окружности вписанной в прямоугольный треугольник находится в середине гипотенузы

ФигураРисунокФормулаОбозначения
Произвольный треугольникЦентр окружности вписанной в прямоугольный треугольник находится в середине гипотенузы
Равнобедренный треугольникЦентр окружности вписанной в прямоугольный треугольник находится в середине гипотенузы
Равносторонний треугольникЦентр окружности вписанной в прямоугольный треугольник находится в середине гипотенузы
Прямоугольный треугольникЦентр окружности вписанной в прямоугольный треугольник находится в середине гипотенузы

Центр окружности вписанной в прямоугольный треугольник находится в середине гипотенузы

где
a, b, c – стороны треугольника,
S –площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Центр окружности вписанной в прямоугольный треугольник находится в середине гипотенузы.

Центр окружности вписанной в прямоугольный треугольник находится в середине гипотенузы

где
a, b, c – стороны треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Центр окружности вписанной в прямоугольный треугольник находится в середине гипотенузы.

Центр окружности вписанной в прямоугольный треугольник находится в середине гипотенузы

Центр окружности вписанной в прямоугольный треугольник находится в середине гипотенузы

где
a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Центр окружности вписанной в прямоугольный треугольник находится в середине гипотенузы

Произвольный треугольник
Центр окружности вписанной в прямоугольный треугольник находится в середине гипотенузы
Равнобедренный треугольник
Центр окружности вписанной в прямоугольный треугольник находится в середине гипотенузы
Равносторонний треугольник
Центр окружности вписанной в прямоугольный треугольник находится в середине гипотенузы
Прямоугольный треугольник
Центр окружности вписанной в прямоугольный треугольник находится в середине гипотенузы
Произвольный треугольник
Центр окружности вписанной в прямоугольный треугольник находится в середине гипотенузы

Центр окружности вписанной в прямоугольный треугольник находится в середине гипотенузы

где
a, b, c – стороны треугольника,
S –площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Центр окружности вписанной в прямоугольный треугольник находится в середине гипотенузы.

Центр окружности вписанной в прямоугольный треугольник находится в середине гипотенузы

Центр окружности вписанной в прямоугольный треугольник находится в середине гипотенузы

где
a, b, c – стороны треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Центр окружности вписанной в прямоугольный треугольник находится в середине гипотенузы.

Равнобедренный треугольникЦентр окружности вписанной в прямоугольный треугольник находится в середине гипотенузы

Центр окружности вписанной в прямоугольный треугольник находится в середине гипотенузы

Равносторонний треугольникЦентр окружности вписанной в прямоугольный треугольник находится в середине гипотенузы

Центр окружности вписанной в прямоугольный треугольник находится в середине гипотенузы

где
a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Прямоугольный треугольникЦентр окружности вписанной в прямоугольный треугольник находится в середине гипотенузы

Центр окружности вписанной в прямоугольный треугольник находится в середине гипотенузы

Видео:Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник. ЗадачаСкачать

Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник. Задача

Вывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Теорема 5 . Для произвольного треугольника справедливо равенство

Центр окружности вписанной в прямоугольный треугольник находится в середине гипотенузы

где a, b, c – стороны треугольника, r – радиус вписанной окружности, Центр окружности вписанной в прямоугольный треугольник находится в середине гипотенузы– полупериметр (рис. 6).

Центр окружности вписанной в прямоугольный треугольник находится в середине гипотенузы

Центр окружности вписанной в прямоугольный треугольник находится в середине гипотенузы

с помощью формулы Герона получаем:

Центр окружности вписанной в прямоугольный треугольник находится в середине гипотенузы

Центр окружности вписанной в прямоугольный треугольник находится в середине гипотенузы

Центр окружности вписанной в прямоугольный треугольник находится в середине гипотенузы

что и требовалось.

Теорема 6 . Для равнобедренного треугольника справедливо равенство

Центр окружности вписанной в прямоугольный треугольник находится в середине гипотенузы

где a – боковая сторона равнобедренного треугольника, b – основание, r – радиус вписанной окружности (рис. 7).

Центр окружности вписанной в прямоугольный треугольник находится в середине гипотенузы

Центр окружности вписанной в прямоугольный треугольник находится в середине гипотенузы

Центр окружности вписанной в прямоугольный треугольник находится в середине гипотенузы

то, в случае равнобедренного треугольника, когда

Центр окружности вписанной в прямоугольный треугольник находится в середине гипотенузы

Центр окружности вписанной в прямоугольный треугольник находится в середине гипотенузы

Центр окружности вписанной в прямоугольный треугольник находится в середине гипотенузы

Центр окружности вписанной в прямоугольный треугольник находится в середине гипотенузы

Центр окружности вписанной в прямоугольный треугольник находится в середине гипотенузы

Центр окружности вписанной в прямоугольный треугольник находится в середине гипотенузы

что и требовалось.

Теорема 7 . Для равностороннего треугольника справедливо равенство

Центр окружности вписанной в прямоугольный треугольник находится в середине гипотенузы

где a – сторона равностороннего треугольника, r – радиус вписанной окружности (рис. 8).

Центр окружности вписанной в прямоугольный треугольник находится в середине гипотенузы

Центр окружности вписанной в прямоугольный треугольник находится в середине гипотенузы

то, в случае равностороннего треугольника, когда

Центр окружности вписанной в прямоугольный треугольник находится в середине гипотенузы

Центр окружности вписанной в прямоугольный треугольник находится в середине гипотенузы

что и требовалось.

Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в равносторонний треугольник, непосредственно, т.е. без использования общих формул для радиусов окружностей, вписанных в произвольный треугольник или в равнобедренный треугольник.

Теорема 8 . Для прямоугольного треугольника справедливо равенство

Центр окружности вписанной в прямоугольный треугольник находится в середине гипотенузы

Центр окружности вписанной в прямоугольный треугольник находится в середине гипотенузы

Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

Центр окружности вписанной в прямоугольный треугольник находится в середине гипотенузы

Поскольку четырёхугольник CDOF является прямоугольником прямоугольником , у которого соседние стороны DO и OF равны, то этот прямоугольник – квадрат квадрат . Следовательно,

В силу теоремы 3 справедливы равенства

Центр окружности вписанной в прямоугольный треугольник находится в середине гипотенузы

Центр окружности вписанной в прямоугольный треугольник находится в середине гипотенузы

Следовательно, принимая также во внимание теорему Пифагора, получаем

Центр окружности вписанной в прямоугольный треугольник находится в середине гипотенузы

Центр окружности вписанной в прямоугольный треугольник находится в середине гипотенузы

что и требовалось.

Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, с помощью общей формулы для радиуса окружности, вписанной в произвольный треугольник.

Видео:Формула радиуса вневписанной окружности в прямоугольный треугольник, касающейся гипотенузы.Скачать

Формула радиуса вневписанной окружности в прямоугольный треугольник, касающейся гипотенузы.

Прямоугольный треугольник, формулы, задачи в общем виде

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

Центр окружности вписанной в прямоугольный треугольник находится в середине гипотенузы

Тема этого занятия – «Прямоугольный треугольник, формулы, задачи в общем виде». Для начала дадим еще раз определение прямоугольному треугольнику, повторим основные тригонометрические функции и формулы, в которых он применяется. Решим задачи на вписанную в такие треугольники окружность и описанную вокруг них окружность.

📹 Видео

Сможешь найти радиус окружности? Окружность, вписанная в прямоугольный треугольникСкачать

Сможешь найти радиус окружности? Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник

ОГЭ Задание 25 Окружность вписанная в прямоугольный треугольникСкачать

ОГЭ Задание 25 Окружность вписанная в прямоугольный треугольник

Задание 24 Радиус окружности вписанной в прямоугольный треугольникСкачать

Задание 24  Радиус окружности вписанной в прямоугольный треугольник

Прямоугольный треугольник Полное досьеСкачать

Прямоугольный треугольник Полное досье

Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник | Геометрия 8-9 классыСкачать

Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник | Геометрия 8-9 классы

№704. Окружность с центром О описана около прямоугольного треугольника, а) ДокажитеСкачать

№704. Окружность с центром О описана около прямоугольного треугольника, а) Докажите

Математика за минуту: Объяснение формулы радиуса вписанной окружности в прямоугольный треугольник.Скачать

Математика за минуту: Объяснение формулы радиуса вписанной окружности в прямоугольный треугольник.

Окружность и треугольникСкачать

Окружность и треугольник

Найти радиус равнобедренного прямоугольного треугольника 3 задание проф. ЕГЭ по математикеСкачать

Найти радиус равнобедренного прямоугольного треугольника 3 задание проф. ЕГЭ по математике

Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен 4. Найдите гипотенузу.Скачать

Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен 4. Найдите гипотенузу.

Найти центр кругаСкачать

Найти центр круга

Строим вписанную в данный треугольник окружность (Задача 2).Скачать

Строим вписанную в данный треугольник окружность (Задача 2).
Поделиться или сохранить к себе: