Центр окружности описанной около треугольника точка пересечения его медиан

Центр описанной окружности

Где находится центр описанной около треугольника окружности? Что можно сказать о центре окружности, описанной около многоугольника?

Центр описанной около треугольника окружности является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Центр окружности описанной около треугольника точка пересечения его медиан

окружность (O;R) — описанная около ∆ ABC.

O — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам ∆ ABC.

Центр окружности описанной около треугольника точка пересечения его медианСоединим отрезками точки O и A, O и C.

OA=OC (как радиусы), следовательно, треугольник AOC — равнобедренный с основанием AC (по определению).

Центр окружности описанной около треугольника точка пересечения его медианПо свойству равнобедренного треугольника, высота и медиана, проведенные к основанию AC, совпадают):

Центр окружности описанной около треугольника точка пересечения его медиан

Следовательно, центр описанной окружности — точка O — лежит на прямой, перпендикулярной стороне AC и проходящей через ее середину, то есть на серединном перпендикуляре к AC.

Центр окружности описанной около треугольника точка пересечения его медианАналогично доказывается, что точка O лежит на серединном перпендикуляре к стороне AB.

Так как серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке, то точка O — центр описанной около треугольника ABC окружности.

Что и требовалось доказать.

Аналогичные рассуждения можно применить и для многоугольника, около которого можно описать окружность.

Центр описанной около многоугольника окружности является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам этого многоугольника.

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

2 Comments

на мой взгляд у вас опечатка — «Соединим отрезками точки O и A, O и C.

OA=OB( написано ОВ вместо ОС) (как радиусы), следовательно, треугольник AOB — равнобедренный с основанием AC (по определению).»

Видео:2038 центр окружности описанной около треугольника ABC лежит на стороне ABСкачать

2038 центр окружности описанной около треугольника ABC лежит на стороне AB

Центр окружности описанной около треугольника точка пересечения его медиан

Какие из следующих утверждений верны?

1) Около всякого треугольника можно описать не более одной окружности.

2) В любой треугольник можно вписать не менее одной окружности.

3) Центром окружности, описанной около треугольника, является точка пересечения биссектрис.

4) Центром окружности, вписанной в треугольник, является точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.

Если утверждений несколько, запишите их номера в порядке возрастания.

Проверим каждое из утверждений.

1) «Около всякого треугольника можно описать не более одной окружности.» — верно, oколо треугольника можно описать окружность, притом только одну.

2) «В любой треугольник можно вписать не менее одной окружности.» — верно, в любой треугольник можно вписать окружность.

3) «Центром окружности, описанной около треугольника, является точка пересечения биссектрис.» — неверно, центром описанной около треугольника окружности является точка пересечения серединных перпендикуляров треугольника.

4) «Центром окружности, вписанной в треугольник, является точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.» — неверно, центром вписанной в треугольник окружности является точка пересечения биссектрис треугольника.

Выражение «не более одной» означает, что окружностей не может быть больше одной. Выражение «не менее одной» означает, что окружностей не может быть меньше одной. В частности, «ровно одна окружность» удовлетворяет как условию «не более одной», так и условию «не менее одной».

Утверждение «В любой треугольник можно вписать не менее одной окружности» можно сформулировать так: «В любой треугольник можно вписать хотя бы одну окружность». Если бы это утверждение было неверным, это означало бы, что существуют треугольники, в которые нельзя вписать хотя бы одну окружность, но таких треугольников не существует, поэтому утверждение является верным.

Видео:Построить описанную окружность (Задача 1)Скачать

Построить описанную окружность (Задача 1)

Окружность, описанная около треугольника.
Треугольник, вписанный в окружность. Теорема синусов

Центр окружности описанной около треугольника точка пересечения его медианСерединный перпендикуляр к отрезку
Центр окружности описанной около треугольника точка пересечения его медианОкружность описанная около треугольника
Центр окружности описанной около треугольника точка пересечения его медианСвойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов
Центр окружности описанной около треугольника точка пересечения его медианДоказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности

Центр окружности описанной около треугольника точка пересечения его медиан

Видео:Уравнение окружности описанной около треугольникаСкачать

Уравнение окружности описанной около треугольника

Серединный перпендикуляр к отрезку

Определение 1 . Серединным перпендикуляром к отрезку называют, прямую, перпендикулярную к этому отрезку и проходящую через его середину (рис. 1).

Центр окружности описанной около треугольника точка пересечения его медиан

Теорема 1 . Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку находится на одном и том же расстоянии от концов этого отрезка.

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на серединном перпендикуляре к отрезку AB (рис.2), и докажем, что треугольники ADC и BDC равны.

Центр окружности описанной около треугольника точка пересечения его медиан

Действительно, эти треугольники являются прямоугольными треугольниками, у которых катеты AC и BC равны, а катет DC является общим. Из равенства треугольников ADC и BDC вытекает равенство отрезков AD и DB . Теорема 1 доказана.

Теорема 2 (Обратная к теореме 1) . Если точка находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.

Доказательство . Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью предположим, что некоторая точка E находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, но не лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку. Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра (рис.3). В этом случае отрезок EA пересекает серединный перпендикуляр в некоторой точке, которую мы обозначим буквой D .

Центр окружности описанной около треугольника точка пересечения его медиан

Докажем, что отрезок AE длиннее отрезка EB . Действительно,

Центр окружности описанной около треугольника точка пересечения его медиан

Центр окружности описанной около треугольника точка пересечения его медиан

Таким образом, в случае, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра, мы получили противоречие.

Центр окружности описанной около треугольника точка пересечения его медиан

Теперь рассмотрим случай, когда точки E и A лежат по одну сторону от серединного перпендикуляра (рис.4). Докажем, что отрезок EB длиннее отрезка AE . Действительно,

Центр окружности описанной около треугольника точка пересечения его медиан

Центр окружности описанной около треугольника точка пересечения его медиан

Полученное противоречие и завершает доказательство теоремы 2

Видео:Замечательные точки треуг-ка. 8 класс.Скачать

Замечательные точки треуг-ка. 8 класс.

Окружность, описанная около треугольника

Определение 2 . Окружностью, описанной около треугольника , называют окружность, проходящую через все три вершины треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, вписанным в окружность, или вписанным треугольником .

Центр окружности описанной около треугольника точка пересечения его медиан

Видео:✓ Самая сложная задача в ОГЭ-2020 | Задание 26. Математика | Геометрия | Борис ТрушинСкачать

✓ Самая сложная задача в ОГЭ-2020 | Задание 26. Математика | Геометрия | Борис Трушин

Свойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов

Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):

Центр окружности описанной около треугольника точка пересечения его медиан,

где a , b , c – стороны треугольника, A , B , С – углы треугольника, R – радиус описанной окружности.

Для любого треугольника справедливо равенство:

где A , B , С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Для любого треугольника справедливо равенство:

Центр окружности описанной около треугольника точка пересечения его медиан

где a , b , c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

ФигураРисунокСвойство
Серединные перпендикуляры
к сторонам треугольника
Центр окружности описанной около треугольника точка пересечения его медианВсе серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.
Посмотреть доказательство
Окружность, описанная около треугольникаЦентр окружности описанной около треугольника точка пересечения его медианОколо любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.
Посмотреть доказательство
Центр описанной около остроугольного треугольника окружностиЦентр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.
Центр описанной около прямоугольного треугольника окружностиЦентр окружности описанной около треугольника точка пересечения его медианЦентром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы.
Посмотреть доказательство
Центр описанной около тупоугольного треугольника окружностиЦентр окружности описанной около треугольника точка пересечения его медианЦентр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.
Теорема синусовЦентр окружности описанной около треугольника точка пересечения его медиан
Площадь треугольникаЦентр окружности описанной около треугольника точка пересечения его медиан
Радиус описанной окружностиЦентр окружности описанной около треугольника точка пересечения его медиан
Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника
Центр окружности описанной около треугольника точка пересечения его медиан

Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.

Окружность, описанная около треугольникаЦентр окружности описанной около треугольника точка пересечения его медиан

Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

Центр описанной около остроугольного треугольника окружностиЦентр окружности описанной около треугольника точка пересечения его медиан

Центр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.

Центр описанной около прямоугольного треугольника окружностиЦентр окружности описанной около треугольника точка пересечения его медиан

Центром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы.

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружностиЦентр окружности описанной около треугольника точка пересечения его медиан

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.

Теорема синусовЦентр окружности описанной около треугольника точка пересечения его медиан

Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):

Центр окружности описанной около треугольника точка пересечения его медиан,

где a , b , c – стороны треугольника, A , B , С – углы треугольника, R – радиус описанной окружности.

Площадь треугольникаЦентр окружности описанной около треугольника точка пересечения его медиан

Для любого треугольника справедливо равенство:

где A , B , С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Радиус описанной окружностиЦентр окружности описанной около треугольника точка пересечения его медиан

Для любого треугольника справедливо равенство:

Центр окружности описанной около треугольника точка пересечения его медиан

где a , b , c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Видео:ОГЭ 2019. Задание 17. Разбор задач. Геометрия. Окружность.Скачать

ОГЭ 2019.  Задание 17. Разбор задач. Геометрия. Окружность.

Доказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности

Теорема 3 . Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим два серединных перпендикуляра, проведённых к сторонам AC и AB треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 6).

Центр окружности описанной около треугольника точка пересечения его медиан

Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Следовательно, справедливо равенство:

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BC. Таким образом, все три серединных перпендикуляра проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать.

Следствие . Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

Доказательство . Рассмотрим точку O , в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника ABC (рис. 6).

При доказательстве теоремы 3 было получено равенство:

из которого вытекает, что окружность с центром в точке O и радиусами OA , OB , OC проходит через все три вершины треугольника ABC , что и требовалось доказать.

Теорема 4 (теорема синусов) . Для любого треугольника (рис. 7)

Центр окружности описанной около треугольника точка пересечения его медиан

Центр окружности описанной около треугольника точка пересечения его медиан.

Доказательство . Докажем сначала, что длина хорды окружности радиуса R хорды окружности радиуса R , на которую опирается вписанный угол величины φ , вычисляется по формуле:

l = 2Rsin φ .(1)

Рассмотрим сначала случай, когда одна из сторон вписанного угла является диаметром окружности (рис.8).

Центр окружности описанной около треугольника точка пересечения его медиан

Поскольку все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны, то для произвольного вписанного угла всегда найдется равный ему вписанный угол, у которого одна из сторон является диаметром окружности.

Формула (1) доказана.

Из формулы (1) для вписанного треугольника ABC получаем (рис.7):

🎦 Видео

Точка O центр окружности описанной около остроугольного треугольникаСкачать

Точка O центр окружности описанной около остроугольного треугольника

Окружность, описанная около треугольника. Как найти центр и радиус. Геометрия 7-8 классСкачать

Окружность, описанная около треугольника. Как найти центр и радиус. Геометрия 7-8 класс

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

36 Где лежит центр окружности, описанной около произвольного треугольникаСкачать

36 Где лежит центр окружности, описанной около произвольного треугольника

ОГЭ без рекламы математика 17 вариант задача 25Скачать

ОГЭ без рекламы  математика 17 вариант задача 25

Геометрия Радиус окружности описанной около треугольника ABC равен 6 см Найдите радиус окружностиСкачать

Геометрия Радиус окружности описанной около треугольника ABC равен 6 см Найдите радиус окружности

2031 окружность центром в точке О описана около равнобедренного треугольника ABCСкачать

2031 окружность центром в точке О описана около равнобедренного треугольника ABC

Медианы | Свойства медиан | Точка пересечения медиан на прямой ЭйлераСкачать

Медианы | Свойства медиан | Точка пересечения медиан на прямой Эйлера

Через центр О окружности, описанной около остроугольного треугольника ДВИ МГУСкачать

Через центр О окружности, описанной около остроугольного треугольника ДВИ МГУ

координаты центра тяжести треугольникаСкачать

координаты центра тяжести треугольника

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Радиус окружности описанной около равностороннего треугольникаСкачать

Радиус окружности описанной около равностороннего треугольника

Задание №122 — ГДЗ по геометрии 10 класс (Атанасян Л.С.)Скачать

Задание №122 — ГДЗ по геометрии 10 класс (Атанасян Л.С.)
Поделиться или сохранить к себе: