Центр грани треугольника это

Центры тяжести многоугольников и многогранников

Центром тяжести (или центром масс) некоторого тела называется точка, обладающая тем свойством, что если подвесить тело за эту точку, то оно будет сохранять свое положение.

Ниже рассмотрены двумерные и трёхмерные задачи, связанные с поиском различных центров масс — в основном с точки зрения вычислительной геометрии.

В рассмотренных ниже решениях можно выделить два основных факта. Первый — что центр масс системы материальных точек равен среднему их координат, взятых с коэффициентами, пропорциональными их массам. Второй факт — что если мы знаем центры масс двух непересекающихся фигур, то центр масс их объединения будет лежать на отрезке, соединяющем эти два центра, причём он будет делить его в то же отношении, как масса второй фигуры относится к массе первой.

Видео:97 Медианы и центр тяжести треугольникаСкачать

97 Медианы и центр тяжести треугольника

Двумерный случай: многоугольники

На самом деле, говоря о центре масс двумерной фигуры, можно иметь в виду одну из трёх следующих задач:

  • Центр масс системы точек — т.е. вся масса сосредоточена только в вершинах многоугольника.
  • Центр масс каркаса — т.е. масса многоугольника сосредоточена на его периметре.
  • Центр масс сплошной фигуры — т.е. масса многоугольника распределена по всей его площади.

Каждая из этих задач имеет самостоятельное решение, и будет рассмотрена ниже отдельно.

Центр масс системы точек

Это самая простая из трёх задач, и её решение — известная физическая формула центра масс системы материальных точек:

Центр грани треугольника это

где Центр грани треугольника это— массы точек, Центр грани треугольника это— их радиус-векторы (задающие их положение относительно начала координат), и Центр грани треугольника это— искомый радиус-вектор центра масс.

В частности, если все точки имеют одинаковую массу, то координаты центра масс есть среднее арифметическое координат точек. Для треугольника эта точка называется центроидом и совпадает с точкой пересечения медиан:

Центр грани треугольника это

Для доказательства этих формул достаточно вспомнить, что равновесие достигается в такой точке Центр грани треугольника это, в которой сумма моментов всех сил равна нулю. В данном случае это превращается в условие того, чтобы сумма радиус-векторов всех точек относительно точки Центр грани треугольника это, домноженных на массы соответствующих точек, равнялась нулю:

Центр грани треугольника это

и, выражая отсюда Центр грани треугольника это, мы и получаем требуемую формулу.

Центр масс каркаса

Будем считать для простоты, что каркас однороден, т.е. его плотность везде одна и та же.

Но тогда каждую сторону многоугольника можно заменить одной точкой — серединой этого отрезка (т.к. центр масс однородного отрезка есть середина этого отрезка), с массой, равной длине этого отрезка.

Теперь мы получили задачу о системе материальных точек, и применяя к ней решение из предыдущего пункта, мы находим:

Центр грани треугольника это

где Центр грани треугольника это— точка-середина Центр грани треугольника это-ой стороны многоугольника, Центр грани треугольника это— длина Центр грани треугольника это-ой стороны, Центр грани треугольника это— периметр, т.е. сумма длин сторон.

Для треугольника можно показать следующее утверждение: эта точка является точкой пересечения биссектрис треугольника, образованного серединами сторон исходного треугольника. (чтобы показать это, надо воспользоваться приведённой выше формулой, и затем заметить, что биссектрисы делят стороны получившегося треугольника в тех же соотношениях, что и центры масс этих сторон).

Центр масс сплошной фигуры

Мы считаем, что масса распределена по фигуре однородно, т.е. плотность в каждой точке фигуры равна одному и тому же числу.

Случай треугольника

Утверждается, что для треугольника ответом будет всё тот же центроид, т.е. точка, образованная средним арифметическим координат вершин:

Центр грани треугольника это

Случай треугольника: доказательство

Приведём здесь элементарное доказательство, не использующее теорию интегралов.

Первым подобное, чисто геометрическое, доказательство привёл Архимед, но оно было весьма сложным, с большим числом геометрических построений. Приведённое здесь доказательство взято из статьи Apostol, Mnatsakanian «Finding Centroids the Easy Way».

Доказательство сводится к тому, чтобы показать, что центр масс треугольника лежит на одной из медиан; повторяя этот процесс ещё дважды, мы тем самым покажем, что центр масс лежит в точке пересечения медиан, которая и есть центроид.

Разобьём данный треугольник Центр грани треугольника этона четыре, соединив середины сторон, как показано на рисунке:

Центр грани треугольника это

Четыре получившихся треугольника подобны треугольнику Центр грани треугольника этос коэффициентом Центр грани треугольника это.

Треугольники №1 и №2 вместе образуют параллелограмм, центр масс которого Центр грани треугольника этолежит в точке пересечения его диагоналей (поскольку это фигура, симметричная относительно обеих диагоналей, а, значит, её центр масс обязан лежать на каждой из двух диагоналей). Точка Центр грани треугольника этонаходится посередине общей стороны треугольников №1 и №2, а также лежит на медиане треугольника Центр грани треугольника это:

Центр грани треугольника это

Пусть теперь вектор Центр грани треугольника это— вектор, проведённый из вершины Центр грани треугольника эток центру масс Центр грани треугольника этотреугольника №1, и пусть вектор Центр грани треугольника это— вектор, проведённый из Центр грани треугольника эток точке Центр грани треугольника это(которая, напомним, является серединой стороны, на которой она лежит):

Центр грани треугольника это

Наша цель — показать, что вектора Центр грани треугольника этои Центр грани треугольника этоколлинеарны.

Обозначим через Центр грани треугольника этои Центр грани треугольника этоточки, являющиеся центрами масс треугольников №3 и №4. Тогда, очевидно, центром масс совокупности этих двух треугольников будет точка Центр грани треугольника это, являющаяся серединой отрезка Центр грани треугольника это. Более того, вектор от точки Центр грани треугольника эток точке Центр грани треугольника этосовпадает с вектором Центр грани треугольника это.

Искомый центр масс Центр грани треугольника этотреугольника Центр грани треугольника этолежит посередине отрезка, соединяющего точки Центр грани треугольника этои Центр грани треугольника это(поскольку мы разбили треугольник Центр грани треугольника этона две части равных площадей: №1-№2 и №3-№4):

Центр грани треугольника это

Таким образом, вектор от вершины Центр грани треугольника эток центроиду Центр грани треугольника эторавен Центр грани треугольника это. С другой стороны, т.к. треугольник №1 подобен треугольнику Центр грани треугольника этос коэффициентом Центр грани треугольника это, то этот же вектор равен Центр грани треугольника это. Отсюда получаем уравнение:

Центр грани треугольника это

Центр грани треугольника это

Таким образом, мы доказали, что вектора Центр грани треугольника этои Центр грани треугольника этоколлинеарны, что и означает, что искомый центроид Центр грани треугольника этолежит на медиане, исходящей из вершины Центр грани треугольника это.

Более того, попутно мы доказали, что центроид делит каждую медиану в отношении Центр грани треугольника это, считая от вершины.

Случай многоугольника

Перейдём теперь к общему случаю — т.е. к случаю мноугоугольника. Для него такие рассуждения уже неприменимы, поэтому сведём задачу к треугольной: а именно, разобьём многоугольник на треугольники (т.е. триангулируем его), найдём центр масс каждого треугольника, а затем найдём центр масс получившихся центров масс треугольников.

Окончательная формула получается следующей:

Центр грани треугольника это

где Центр грани треугольника это— центроид Центр грани треугольника это-го треугольника в триангуляции заданного многоугольника, Центр грани треугольника это— площадь Центр грани треугольника это-го треугольника триангуляции, Центр грани треугольника это— площадь всего многоугольника.

Триангуляция выпуклого многоугольника — тривиальная задача: для этого, например, можно взять треугольники Центр грани треугольника это, где Центр грани треугольника это.

Случай многоугольника: альтернативный способ

С другой стороны, применение приведённой формулы не очень удобно для невыпуклых многоугольников, поскольку произвести их триангуляцию — сама по себе непростая задача. Но для таких многоугольников можно придумать более простой подход. А именно, проведём аналогию с тем, как можно искать площадь произвольного многоугольника: выбирается произвольная точка Центр грани треугольника это, а затем суммируются знаковые площади треугольников, образованных этой точкой и точками многоугольника: Центр грани треугольника это. Аналогичный приём можно применить и для поиска центра масс: только теперь мы будем суммировать центры масс треугольников Центр грани треугольника это, взятых с коэффициентами, пропорциональными их площадям, т.е. итоговая формула для центра масс такова:

Центр грани треугольника это

где Центр грани треугольника это— произвольная точка, Центр грани треугольника это— точки многоугольника, Центр грани треугольника это— центроид треугольника Центр грани треугольника это, Центр грани треугольника это— знаковая площадь этого треугольника, Центр грани треугольника это— знаковая площадь всего многоугольника (т.е. Центр грани треугольника это).

Видео:Центр тяжести треугольникаСкачать

Центр тяжести треугольника

Трёхмерный случай: многогранники

Аналогично двумерному случаю, в 3D можно говорить сразу о четырёх возможных постановках задачи:

  • Центр масс системы точек — вершин многогранника.
  • Центр масс каркаса — рёбер многогранника.
  • Центр масс поверхности — т.е. масса распределена по площади поверхности многогранника.
  • Центр масс сплошного многогранника — т.е. масса распределена по всему многограннику.

Центр масс системы точек

Как и в двумерном случае, мы можем применить физическую формулу и получить тот же самый результат:

Центр грани треугольника это

который в случае равных масс превращается в среднее арифметическое координат всех точек.

Центр масс каркаса многогранника

Аналогично двумерному случаю, мы просто заменяем каждое ребро многогранника материальной точкой, расположенной посередине этого ребра, и с массой, равной длине этого ребра. Получив задачу о материальных точках, мы легко находим её решение как взвешенную сумму координат этих точек.

Центр масс поверхности многогранника

Каждая грань поверхности многогранника — двухмерная фигура, центр масс которой мы умеем искать. Найдя эти центры масс и заменив каждую грань её центром масс, мы получим задачу с материальными точками, которую уже легко решить.

Центр масс сплошного многогранника

Случай тетраэдра

Как и в двумерном случае, решим сначала простейшую задачу — задачу для тетраэдра.

Утверждается, что центр масс тетраэдра совпадает с точкой пересечения его медиан (медианой тетраэдра называется отрезок, проведённый из его вершины в центр масс противоположной грани; таким образом, медиана тетраэдра проходит через вершину и через точку пересечения медиан треугольной грани).

Почему это так? Здесь верны рассуждения, аналогичные двумерному случаю: если мы рассечём тетраэдр на два тетраэдра с помощью плоскости, проходящей через вершину тетраэдра и какую-нибудь медиану противоположной грани, то оба получившихся тетраэдра будут иметь одинаковый объём (т.к. треугольная грань разобьётся медианой на два треугольника равной площади, а высота двух тетраэдров не изменится). Повторяя эти рассуждения несколько раз, получаем, что центр масс лежит на точке пересечения медиан тетраэдра.

Эта точка — точка пересечения медиан тетраэдра — называется его центроидом. Можно показать, что она на самом деле имеет координаты, равные среднему арифметическому координат вершин тетраэдра:

Центр грани треугольника это

(это можно вывести из того факта, что центроид делит медианы в отношении Центр грани треугольника это)

Таким образом, между случаями тетраэдра и треугольника принципиальной разницы нет: точка, равная среднему арифметическому вершин, является центром масс сразу в двух постановках задачи: и когда массы находится только в вершинах, и когда массы распределены по всей площади/объёму. На самом деле, этот результат обобщается на произвольную размерность: центр масс произвольного симплекса (simplex) есть среднее арифметическое координат его вершин.

Случай произвольного многогранника

Перейдём теперь к общему случаю — случаю произвольного многогранника.

Снова, как и в двумерном случае, мы производим сведение этой задачи к уже решённой: разбиваем многогранник на тетраэдры (т.е. производим его тетраэдризацию), находим центр масс каждого из них, и получаем окончательный ответ на задачу в виде взвешенной суммы найденных центров масс.

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№9 - Треугольник.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№9 - Треугольник.)

Пирамида

Пирамида – многогранник, основание которого — многоугольник , а остальные грани — треугольники, имеющие общую вершину.

Центр грани треугольника это

По числу углов основания различают пирамиды треугольные , четырёхугольные и т. д.

Вершина пирамиды — точка, соединяющая боковые рёбра и не лежащая в плоскости основания.

Основание — многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды.

Апофема — высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины.

Центр грани треугольника это

Высота — отрезок перпендикуляра, проведённого через вершину пирамиды к плоскости её основания (концами этого отрезка являются вершина пирамиды и основание перпендикуляра).

Центр грани треугольника это

Диагональное сечение пирамиды — сечение пирамиды, проходящее через вершину и диагональ основания.

Центр грани треугольника это

Видео:Найдите центр тяжестиСкачать

Найдите центр тяжести

Некоторые свойства пирамиды

1) Если все боковые ребра равны, то

около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр

Центр грани треугольника это

боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы

Центр грани треугольника это

Верно и обратное.

Если боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы, то все боковые ребра пирамиды равны.

Если около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр, то все боковые ребра пирамиды равны.

2) Если все грани пирамиды наклонены к плоскости основания под одним углом , то в основание пирамиды можно вписать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр

Центр грани треугольника это

Верно и обратное.

Видео:Медиана, высота и биссектриса треугольника. Центроид, инцентр, ортоцентр. Геометрия 7 класс.Скачать

Медиана, высота и биссектриса треугольника. Центроид, инцентр, ортоцентр. Геометрия 7 класс.

Виды пирамид

Пирамида называется правильной , если основанием её является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания.

Центр грани треугольника это

Для правильной пирамиды справедливо:

– боковые ребра правильной пирамиды равны;

– в правильной пирамиде все боковые грани — равные равнобедренные треугольники;

– в любую правильную пирамиду можно вписать сферу;

– около любой правильной пирамиды можно описать сферу;

– площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

Видео:координаты центра тяжести треугольникаСкачать

координаты центра тяжести треугольника

Центр грани треугольника это

Пирамида называется прямоугольной , если одно из боковых рёбер пирамиды перпендикулярно основанию. Тогда это ребро и есть высота пирамиды.

Центр грани треугольника это

Усечённой пирамидой называется многогранник, заключённый между основанием пирамиды и секущей плоскостью, параллельной её основанию.

Центр грани треугольника это

Тетраэдр – треугольная пирамида. В тетраэдре любая из граней может быть принята за основание пирамиды.

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Пирамида. Правильная пирамида

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

Центр грани треугольника это

Данный видеоурок поможет пользователям получить представление о теме Пирамида. Правильная пирамида. На этом занятии мы познакомимся с понятием пирамиды, дадим ей определение. Рассмотрим, что такое правильная пирамида и какими свойствами она обладает. Затем докажем теорему о боковой поверхности правильной пирамиды.

📽️ Видео

КАК ЗАКРЕПИТЬ ВТИРКУ? | УКРЕПЛЕНИЕ ГЕЛЕМ | ПОЛИГЕЛЬ #алена_лаврентьева #nails #ногти #маникюрСкачать

КАК ЗАКРЕПИТЬ ВТИРКУ? | УКРЕПЛЕНИЕ ГЕЛЕМ | ПОЛИГЕЛЬ #алена_лаврентьева #nails #ногти #маникюр

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Задание №443 — ГДЗ по геометрии 11 класс (Атанасян Л.С.)Скачать

Задание №443 — ГДЗ по геометрии 11 класс (Атанасян Л.С.)

Если Окунуть Палец В Это Озеро, Вы УмрётеСкачать

Если Окунуть Палец В Это Озеро, Вы Умрёте

Механика | динамика | центр масс треугольникаСкачать

Механика | динамика | центр масс треугольника

7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать

7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

Геометрия Точка O центр грани ABCD куба ABCDA1B1C1D1 ребро которого равно a (см рис) НайдитеСкачать

Геометрия Точка O центр грани ABCD куба ABCDA1B1C1D1 ребро которого равно a (см рис) Найдите

Больная шея - стандартная проблема Лэшмейкера | Костоправ Саксин АлексейСкачать

Больная шея - стандартная проблема Лэшмейкера  | Костоправ Саксин Алексей

Загадка сложных шестигранных колонн пирамиды Такео в АнгкореСкачать

Загадка сложных шестигранных колонн пирамиды Такео в Ангкоре

Я Оплачу Все, что Вы Вместите в Этот КругСкачать

Я Оплачу Все, что Вы Вместите в Этот Круг

№584. Все стороны треугольника ABC касаются сферы радиуса 5 см. Найдите расстояние от центра сферыСкачать

№584. Все стороны треугольника ABC касаются сферы радиуса 5 см. Найдите расстояние от центра сферы

Центр тяжестиСкачать

Центр тяжести

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | Математика
Поделиться или сохранить к себе: