Тригонометрическая окружность радианы и градусы

Единичная окружность

Тригонометрическая окружность радианы и градусы

О чем эта статья:

10 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Видео:Тригонометрическая окружность. Как выучить?Скачать

Тригонометрическая окружность. Как выучить?

Единичная окружность в тригонометрии

Все процессы тригонометрии изучают на единичной окружности. Сейчас узнаем, какую окружность называют единичной и дадим определение.

Единичная окружность — это окружность с центром в начале прямоугольной декартовой системы координат и радиусом, равным единице.

Прямоугольная система координат — прямолинейная система координат с взаимно перпендикулярными осями на плоскости или в пространстве. Наиболее простая и поэтому часто используемая система координат.

Радиус — отрезок, который соединяет центр окружности с любой точкой, лежащей на окружности, а также длина этого отрезка. Радиус составляет половину диаметра.

Единичную окружность с установленным соответствием между действительными числами и точками окружности называют числовой окружностью.

Тригонометрическая окружность радианы и градусы

Поясним, как единичная окружность связана с тригонометрией.

В тригонометрии мы постоянно сталкиваемся с углами поворота. А углы поворота связаны с вращением по окружности.

Угол поворота — это угол, который образован положительным направлением оси OX и лучом OA.

Величины углов поворота не зависят от радиуса окружности, по которой происходит вращение, поэтому удобно работать именно с окружностью единичного радиуса. Это позволяет избавиться от коэффициентов при математическом описании. Вот и все объяснение полезности единичной тригонометрической окружности.

Все углы, которые принадлежат одному семейству, дают одинаковые абсолютные значения тригонометрических функций, но эти значения могут различаться по знаку. Вот как:

  • Если угол находится в первом квадранте, все тригонометрические функции имеют положительные значения.
  • Для угла во втором квадранте все функции, за исключением sin и cos, отрицательны.
  • В третьем квадранте значения всех функций, кроме tg и ctg, меньше нуля.
  • В четвертом квадранте все функции, за исключением cos и sec, имеют отрицательные значения.

Градусная мера окружности равна 360°. Чтобы решать задачи быстро, важно запомнить, где находятся углы 0°; 90°; 180°; 270°; 360°. Единичная окружность с градусами выглядит так:

Тригонометрическая окружность радианы и градусы

Радиан — одна из мер для определения величины угла.

Один радиан — это величина угла между двумя радиусами, проведенными так, что длина дуги между ними равна величине радиуса.

Число радиан для полной окружности — 360 градусов.

Длина окружности равна 2πr, что превышает длину радиуса в 2π раза.

Поскольку по определению 1 радиан — это угол между концами дуги, длина которой равна радиусу, в полной окружности заключен угол, равный 2π радиан.

Потренируемся переводить радианы в градусы. В полной окружности содержится 2π радиан, или 360 градусов. Таким образом:

  • 2π радиан = 360°
  • 1 радиан = (360/2π) градусов
  • 1 радиан = (180/π) градусов
  • 360° = 2π радиан
  • 1° = (2π/360) радиан
  • 1° = (π/180) радиан

Кстати, определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса в тригонометрии дается через координаты точек на единичной окружности. Эти определения дают возможность раскрыть свойства синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Уравнение единичной окружности

При помощи этого уравнения, вместе с определениями синуса и косинуса, можно записать основное тригонометрическое тождество:

Тригонометрическая окружность радианы и градусы

Тригонометрическая окружность радианы и градусы

Курсы по математике в онлайн-школе Skysmart помогут подтянуть оценки, подготовиться к контрольным, ВПР и экзаменам.

Видео:Радианная Мера Угла - Как Переводить Градусы в Радианы // Урок Алгебры 10 классСкачать

Радианная Мера Угла - Как Переводить Градусы в Радианы // Урок Алгебры 10 класс

Измерение углов. Градусы и радианы

Рассмотрим тригонометрические круги, изображенные на рисунке 1 и рисунке 2.

Тригонометрическая окружность радианы и градусы

Тригонометрическая окружность радианы и градусы

На тригонометрическом круге, изображенном на рисунке 1, центральные углы измерены в градусах, а на тригонометрическом круге, изображенном на рисунке 2, те же центральные углы измерены в радианах.

Углом в 1 градус называют угол, составляющий Тригонометрическая окружность радианы и градусыполного угла. Углом в k° называют угол в k раз больший угла в 1° .

Углом в 1 радиан называют центральный угол тригонометрического круга, которому соответствует дуга окружности тригонометрического круга длиной 1 . Углом в k радиан называют центральный угол тригонометрического круга в k раз больший угла в 1 радиан.

СЛЕДСТВИЕ 1 . Углом в k радиан является центральный угол тригонометрического круга, которому соответствует дуга окружности тригонометрического круга длиной k .

СЛЕДСТВИЕ 2 . Полный угол является углом в 2π радиан.

Для того, чтобы найти формулы, связывающие градусную и радианную меры угла, рассмотрим рисунки 3 и 4

Тригонометрическая окружность радианы и градусыТригонометрическая окружность радианы и градусы
Рис.3Рис.4
Тригонометрическая окружность радианы и градусы
Рис.3
Тригонометрическая окружность радианы и градусы
Рис.4

На этих рисунках изображены прямые углы, причем на рисунке 3 прямой угол измерен в градусах и равен 90° , а на рисунке 4 прямой угол измерен в радианах и равен Тригонометрическая окружность радианы и градусырадиан. Следовательно,

Тригонометрическая окружность радианы и градусы

Таким образом, формулы, связывающие градусную и радианную меры угла, имеют вид

Тригонометрическая окружность радианы и градусы

Тригонометрическая окружность радианы и градусы

Поскольку Тригонометрическая окружность радианы и градусы, то

Тригонометрическая окружность радианы и градусы

Тригонометрическая окружность радианы и градусы

По этой причине углы, составляющие целое число радиан, изображаются на тригонометрическом круге так, как это показано на рисунке 5.

Тригонометрическая окружность радианы и градусы

ЗАМЕЧАНИЕ . Тригонометрическая формула sin α означает, что рассматривается синус угла в α радиан, а тригонометрическая формула sin α° означает, что рассматривается синус угла в α градусов. По такому же правилу определяются значения косинуса, тангенса и котангенса.

ПРИМЕР . Найти наименьшее из чисел:

Тригонометрическая окружность радианы и градусы

Тригонометрическая окружность радианы и градусы

Тригонометрическая окружность радианы и градусы

то наименьшим числом является число cos 3 .

Видео:Радианная мера угла. 9 класс.Скачать

Радианная мера угла. 9 класс.

Тригонометрический круг: вся тригонометрия на одном рисунке

Тригонометрический круг — это самый простой способ начать осваивать тригонометрию. Он легко запоминается, и на нём есть всё необходимое.
Тригонометрический круг заменяет десяток таблиц.

  • Тригонометрическая окружность радианы и градусы

Вот что мы видим на этом рисунке:

  • Перевод градусов в радианы и наоборот. Полный круг содержит градусов, или радиан.
  • Значения синусов и косинусов основных углов. Помним, что значение косинуса угла мы находим на оси , а значение синуса — на оси .
  • И синус, и косинус принимают значения от до .
  • Значение тангенса угла тоже легко найти — поделив на . А чтобы найти котангенс — наоборот, косинус делим на синус.
  • Знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса.
  • Синус — функция нечётная, косинус — чётная.
  • Тригонометрический круг поможет увидеть, что синус и косинус — функции периодические. Период равен .
  • Видео:Как искать точки на тригонометрической окружности.Скачать

    Как искать точки на тригонометрической окружности.

    А теперь подробно о тригонометрическом круге:

    Нарисована единичная окружность — то есть окружность с радиусом, равным единице, и с центром в начале системы координат. Той самой системы координат с осями и , в которой мы привыкли рисовать графики функций.

    Мы отсчитываем углы от положительного направления оси против часовой стрелки.

    Полный круг — градусов.
    Точка с координатами соответствует углу ноль градусов. Точка с координатами отвечает углу в , точка с координатами — углу в . Каждому углу от нуля до градусов соответствует точка на единичной окружности.

    Косинусом угла называется абсцисса (то есть координата по оси ) точки на единичной окружности, соответствущей данному углу .

    Синусом угла называется ордината (то есть координата по оси ) точки на единичной окружности, соответствущей данному углу .

    Всё это легко увидеть на нашем рисунке.

    Итак, косинус и синус — координаты точки на единичной окружности, соответствующей данному углу. Косинус — абсцисса , синус — ордината . Поскольку окружность единичная, для любого угла и синус, и косинус находятся в пределах от до :

    Простым следствием теоремы Пифагора является основное тригонометрическое тождество:

    Для того, чтобы узнать знаки синуса и косинуса какого-либо угла, не нужно рисовать отдельных таблиц. Всё уже нарисовано! Находим на нашей окружности точку, соответствующую данному углу , смотрим, положительны или отрицательны ее координаты по (это косинус угла ) и по (это синус угла ).

    Принято использовать две единицы измерения углов: градусы и радианы. Перевести градусы в радианы просто: градусов, то есть полный круг, соответствует радиан. На нашем рисунке подписаны и градусы, и радианы.

    Если отсчитывать угол от нуля против часовой стрелки — он положительный. Если отсчитывать по часовой стрелке — угол будет отрицательным. Например, угол — это угол величиной в , который отложили от положительного направления оси по часовой стрелке.

    Легко заметить, что

    Углы могут быть и больше градусов. Например, угол — это два полных оборота по часовой стрелке и еще . Поскольку, сделав несколько полных оборотов по окружности, мы возвращаемся в ту же точку с теми же координатами по и по , значения синуса и косинуса повторяются через . То есть:

    где — целое число. То же самое можно записать в радианах:

    Можно на том же рисунке изобразить ещё и оси тангенсов и котангенсов, но проще посчитать их значения. По определению,

    📸 Видео

    Что такое радиан?Скачать

    Что такое радиан?

    ТРИГОНОМЕТРИЯ С НУЛЯ - Единичная Окружность // Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать

    ТРИГОНОМЕТРИЯ С НУЛЯ - Единичная Окружность // Подготовка к ЕГЭ по Математике

    10 класс, 11 урок, Числовая окружностьСкачать

    10 класс, 11 урок, Числовая окружность

    Выразить углы из радиан в градусы и из градусов в радианы.Скачать

    Выразить углы из радиан в градусы и из градусов в радианы.

    Как запомнить тригонометрический круг специально ничего не выучивая?Скачать

    Как запомнить тригонометрический круг специально ничего не выучивая?

    Радианы и градусы (видео 10) |Окружность и Круг | ГеометрияСкачать

    Радианы и градусы (видео 10) |Окружность и Круг | Геометрия

    ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ОКРУЖНОСТЬСкачать

    ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ОКРУЖНОСТЬ

    Перевод радиан в градусы #shortsСкачать

    Перевод радиан в градусы #shorts

    Алгебра 10 класс (Урок№29 - Радианная мера угла.)Скачать

    Алгебра 10 класс (Урок№29 - Радианная мера угла.)

    Таблица значений тригонометрических функций - как её запомнить!!!Скачать

    Таблица значений тригонометрических функций - как её запомнить!!!

    ✓ Тригонометрия: с нуля и до ЕГЭ | #ТрушинLive #030 | Борис ТрушинСкачать

    ✓ Тригонометрия: с нуля и до ЕГЭ | #ТрушинLive #030 | Борис Трушин

    Перевод радиан в градусы (видео 12) |Окружность и Круг | ГеометрияСкачать

    Перевод радиан в градусы (видео 12) |Окружность и Круг | Геометрия

    Формулы приведения - как их легко выучить!Скачать

    Формулы приведения - как их легко выучить!

    Градусы VS РадианыСкачать

    Градусы VS Радианы

    5. Как найти точки на тригонометрической окружности. Отрицательные углы в градусах и радианах.Скачать

    5. Как найти точки на тригонометрической окружности. Отрицательные углы в градусах и радианах.

    Тригонометрия. Градусы и РадианыСкачать

    Тригонометрия. Градусы и Радианы
    Поделиться или сохранить к себе: