Тригонометрическая окружность 3п на 4

Тригонометрический круг: вся тригонометрия на одном рисунке

Тригонометрический круг — это самый простой способ начать осваивать тригонометрию. Он легко запоминается, и на нём есть всё необходимое.
Тригонометрический круг заменяет десяток таблиц.

  • Тригонометрическая окружность 3п на 4

Вот что мы видим на этом рисунке:

  • Перевод градусов в радианы и наоборот. Полный круг содержит градусов, или радиан.
  • Значения синусов и косинусов основных углов. Помним, что значение косинуса угла мы находим на оси , а значение синуса — на оси .
  • И синус, и косинус принимают значения от до .
  • Значение тангенса угла тоже легко найти — поделив на . А чтобы найти котангенс — наоборот, косинус делим на синус.
  • Знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса.
  • Синус — функция нечётная, косинус — чётная.
  • Тригонометрический круг поможет увидеть, что синус и косинус — функции периодические. Период равен .
  • Видео:Тригонометрическая окружность. Как выучить?Скачать

    Тригонометрическая окружность. Как выучить?

    А теперь подробно о тригонометрическом круге:

    Нарисована единичная окружность — то есть окружность с радиусом, равным единице, и с центром в начале системы координат. Той самой системы координат с осями и , в которой мы привыкли рисовать графики функций.

    Мы отсчитываем углы от положительного направления оси против часовой стрелки.

    Полный круг — градусов.
    Точка с координатами соответствует углу ноль градусов. Точка с координатами отвечает углу в , точка с координатами — углу в . Каждому углу от нуля до градусов соответствует точка на единичной окружности.

    Косинусом угла называется абсцисса (то есть координата по оси ) точки на единичной окружности, соответствущей данному углу .

    Синусом угла называется ордината (то есть координата по оси ) точки на единичной окружности, соответствущей данному углу .

    Всё это легко увидеть на нашем рисунке.

    Итак, косинус и синус — координаты точки на единичной окружности, соответствующей данному углу. Косинус — абсцисса , синус — ордината . Поскольку окружность единичная, для любого угла и синус, и косинус находятся в пределах от до :

    Простым следствием теоремы Пифагора является основное тригонометрическое тождество:

    Для того, чтобы узнать знаки синуса и косинуса какого-либо угла, не нужно рисовать отдельных таблиц. Всё уже нарисовано! Находим на нашей окружности точку, соответствующую данному углу , смотрим, положительны или отрицательны ее координаты по (это косинус угла ) и по (это синус угла ).

    Принято использовать две единицы измерения углов: градусы и радианы. Перевести градусы в радианы просто: градусов, то есть полный круг, соответствует радиан. На нашем рисунке подписаны и градусы, и радианы.

    Если отсчитывать угол от нуля против часовой стрелки — он положительный. Если отсчитывать по часовой стрелке — угол будет отрицательным. Например, угол — это угол величиной в , который отложили от положительного направления оси по часовой стрелке.

    Легко заметить, что

    Углы могут быть и больше градусов. Например, угол — это два полных оборота по часовой стрелке и еще . Поскольку, сделав несколько полных оборотов по окружности, мы возвращаемся в ту же точку с теми же координатами по и по , значения синуса и косинуса повторяются через . То есть:

    где — целое число. То же самое можно записать в радианах:

    Можно на том же рисунке изобразить ещё и оси тангенсов и котангенсов, но проще посчитать их значения. По определению,

    Видео:Как искать точки на тригонометрической окружности.Скачать

    Как искать точки на тригонометрической окружности.

    Единичная окружность

    Тригонометрическая окружность 3п на 4

    О чем эта статья:

    10 класс, ЕГЭ/ОГЭ

    Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
    Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
    (в правом нижнем углу экрана).

    Видео:🔴 ТРИГОНОМЕТРИЯ С НУЛЯ (Тригонометрическая Окружность на ЕГЭ 2024 по математике)Скачать

    🔴 ТРИГОНОМЕТРИЯ С НУЛЯ (Тригонометрическая Окружность на ЕГЭ 2024 по математике)

    Единичная окружность в тригонометрии

    Все процессы тригонометрии изучают на единичной окружности. Сейчас узнаем, какую окружность называют единичной и дадим определение.

    Единичная окружность — это окружность с центром в начале прямоугольной декартовой системы координат и радиусом, равным единице.

    Прямоугольная система координат — прямолинейная система координат с взаимно перпендикулярными осями на плоскости или в пространстве. Наиболее простая и поэтому часто используемая система координат.

    Радиус — отрезок, который соединяет центр окружности с любой точкой, лежащей на окружности, а также длина этого отрезка. Радиус составляет половину диаметра.

    Единичную окружность с установленным соответствием между действительными числами и точками окружности называют числовой окружностью.

    Тригонометрическая окружность 3п на 4

    Поясним, как единичная окружность связана с тригонометрией.

    В тригонометрии мы постоянно сталкиваемся с углами поворота. А углы поворота связаны с вращением по окружности.

    Угол поворота — это угол, который образован положительным направлением оси OX и лучом OA.

    Величины углов поворота не зависят от радиуса окружности, по которой происходит вращение, поэтому удобно работать именно с окружностью единичного радиуса. Это позволяет избавиться от коэффициентов при математическом описании. Вот и все объяснение полезности единичной тригонометрической окружности.

    Все углы, которые принадлежат одному семейству, дают одинаковые абсолютные значения тригонометрических функций, но эти значения могут различаться по знаку. Вот как:

    • Если угол находится в первом квадранте, все тригонометрические функции имеют положительные значения.
    • Для угла во втором квадранте все функции, за исключением sin и cos, отрицательны.
    • В третьем квадранте значения всех функций, кроме tg и ctg, меньше нуля.
    • В четвертом квадранте все функции, за исключением cos и sec, имеют отрицательные значения.

    Градусная мера окружности равна 360°. Чтобы решать задачи быстро, важно запомнить, где находятся углы 0°; 90°; 180°; 270°; 360°. Единичная окружность с градусами выглядит так:

    Тригонометрическая окружность 3п на 4

    Радиан — одна из мер для определения величины угла.

    Один радиан — это величина угла между двумя радиусами, проведенными так, что длина дуги между ними равна величине радиуса.

    Число радиан для полной окружности — 360 градусов.

    Длина окружности равна 2πr, что превышает длину радиуса в 2π раза.

    Поскольку по определению 1 радиан — это угол между концами дуги, длина которой равна радиусу, в полной окружности заключен угол, равный 2π радиан.

    Потренируемся переводить радианы в градусы. В полной окружности содержится 2π радиан, или 360 градусов. Таким образом:

    • 2π радиан = 360°
    • 1 радиан = (360/2π) градусов
    • 1 радиан = (180/π) градусов
    • 360° = 2π радиан
    • 1° = (2π/360) радиан
    • 1° = (π/180) радиан

    Кстати, определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса в тригонометрии дается через координаты точек на единичной окружности. Эти определения дают возможность раскрыть свойства синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

    Уравнение единичной окружности

    При помощи этого уравнения, вместе с определениями синуса и косинуса, можно записать основное тригонометрическое тождество:

    Тригонометрическая окружность 3п на 4

    Тригонометрическая окружность 3п на 4

    Курсы по математике в онлайн-школе Skysmart помогут подтянуть оценки, подготовиться к контрольным, ВПР и экзаменам.

    Видео:10 класс, 11 урок, Числовая окружностьСкачать

    10 класс, 11 урок, Числовая окружность

    Геометрия. Урок 1. Тригонометрия

    Смотрите бесплатные видео-уроки по теме “Тригонометрия” на канале Ёжику Понятно.

    Тригонометрическая окружность 3п на 4

    Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

    Содержание страницы:

    Видео:Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ | Математика TutorOnlineСкачать

    Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ | Математика TutorOnline

    Тригонометрия в прямоугольном треугольнике

    Рассмотрим прямоугольный треугольник. Для каждого из острых углов найдем прилежащий к нему катет и противолежащий.

    Тригонометрическая окружность 3п на 4

    Синус угла – отношение противолежащего катета к гипотенузе.

    sin α = Противолежащий катет гипотенуза

    Косинус угла – отношение прилежащего катета к гипотенузе.

    cos α = Прилежащий катет гипотенуза

    Тангенс угла – отношение противолежащего катета к прилежащему (или отношение синуса к косинусу).

    tg α = Противолежащий катет Прилежащий катет

    Котангенс угла – отношение прилежащего катета к противолежащему (или отношение косинуса к синусу).

    ctg α = Прилежащий катет Противолежащий катет

    Рассмотрим прямоугольный треугольник A B C , угол C равен 90 °:

    sin ∠ A = C B A B

    cos ∠ A = A C A B

    tg ∠ A = sin ∠ A cos ∠ A = C B A C

    ctg ∠ A = cos ∠ A sin ∠ A = A C C B

    sin ∠ B = A C A B

    cos ∠ B = B C A B

    tg ∠ B = sin ∠ B cos ∠ B = A C C B

    ctg ∠ B = cos ∠ B sin ∠ B = C B A C

    Видео:Отбор корней по окружностиСкачать

    Отбор корней по окружности

    Тригонометрия: Тригонометрический круг

    Тригонометрия на окружности – это довольно интересная абстракция в математике. Если понять основной концепт так называемого “тригонометрического круга”, то вся тригонометрия будет вам подвластна. В описании к видео есть динамическая модель тригонометрического круга.

    Тригонометрический круг – это окружность единичного радиуса с центром в начале координат.

    Такая окружность пересекает ось х в точках ( − 1 ; 0 ) и ( 1 ; 0 ) , ось y в точках ( 0 ; − 1 ) и ( 0 ; 1 )

    На данной окружности будет три шкалы отсчета – ось x , ось y и сама окружность, на которой мы будем откладывать углы.

    Углы на тригонометрической окружности откладываются от точки с координатами ( 1 ; 0 ) , – то есть от положительного направления оси x , против часовой стрелки. Пусть эта точка будет называться S (от слова start). Отметим на окружности точку A . Рассмотрим ∠ S O A , обозначим его за α . Это центральный угол, его градусная мера равна дуге, на которую он опирается, то есть ∠ S O A = α = ∪ S A .

    Давайте найдем синус и косинус этого угла. До этого синус и косинус мы искали в прямоугольном треугольнике, сейчас будем делать то же самое. Для этого опустим перпендикуляры из точки A на ось x (точка B ) и на ось игрек (точка C ) .

    Отрезок O B является проекцией отрезка O A на ось x , отрезок O C является проекцией отрезка O A на ось y .

    Рассмотрим прямоугольный треугольник A O B :

    cos α = O B O A = O B 1 = O B

    sin α = A B O A = A B 1 = A B

    Поскольку O C A B – прямоугольник, A B = C O .

    Итак, косинус угла – координата точки A по оси x (ось абсцисс), синус угла – координата точки A по оси y (ось ординат).

    Давайте рассмотрим еще один случай, когда угол α – тупой, то есть больше 90 ° :

    Опускаем из точки A перпендикуляры к осям x и y . Точка B в этом случае будет иметь отрицательную координату по оси x . Косинус тупого угла отрицательный .

    Можно дальше крутить точку A по окружности, расположить ее в III или даже в IV четверти, но мы пока не будем этим заниматься, поскольку в курсе 9 класса рассматриваются углы от 0 ° до 180 ° . Поэтому мы будем использовать только ту часть окружности, которая лежит над осью x . (Если вас интересует тригонометрия на полной окружности, смотрите видео на канале). Отметим на этой окружности углы 0 ° , 30 ° , 45 ° , 60 ° , 90 ° , 120 ° , 135 ° , 150 ° , 180 ° . Из каждой точки на окружности, соответствующей углу, опустим перпендикуляры на ось x и на ось y .

    Координата по оси x – косинус угла , координата по оси y – синус угла .

    Ещё одно замечание.

    Синус тупого угла – положительная величина, а косинус – отрицательная.

    Тангенс – это отношение синуса к косинусу. При делении положительной величины на отрицательную результат отрицательный. Тангенс тупого угла отрицательный .

    Котангенс – отношение косинуса к синусу. При делении отрицательной величины на положительную результат отрицательный. Котангенс тупого угла отрицательный .

    Видео:Вычисление значений тригонометрических функцийСкачать

    Вычисление значений тригонометрических функций

    Основное тригонометрическое тождество

    sin 2 α + cos 2 α = 1

    Данное тождество – теорема Пифагора в прямоугольном треугольнике O A B :

    A B 2 + O B 2 = O A 2

    sin 2 α + cos 2 α = R 2

    sin 2 α + cos 2 α = 1

    Видео:18+ Математика без Ху!ни. Формулы ПриведенияСкачать

    18+ Математика без Ху!ни. Формулы Приведения

    Тригонометрия: Таблица значений тригонометрических функций

    0 °30 °45 °60 °90 °sin α01 22 23 21cos α13 22 21 20tg α03 313нетctg αнет313 30

    Видео:Тригонометрическая окружность для непонимающихСкачать

    Тригонометрическая окружность для непонимающих

    Тригонометрия: градусы и радианы

    Как перевести градусы в радианы, а радианы в градусы? Как и когда возникла градусная мера угла? Что такое радианы и радианная мера угла? Ищите ответы в этом видео!

    Видео:Щелчок по математике I №5,6,12 Тригонометрия с нуля и до ЕГЭ за 4 часаСкачать

    Щелчок по математике I №5,6,12 Тригонометрия с нуля и до ЕГЭ за 4 часа

    Тригонометрия: Формулы приведения

    Тригонометрия на окружности имеет некоторые закономерности. Если внимательно рассмотреть данный рисунок,

    можно заметить, что:

    sin 180 ° = sin ( 180 ° − 0 ° ) = sin 0 °

    sin 150 ° = sin ( 180 ° − 30 ° ) = sin 30 °

    sin 135 ° = sin ( 180 ° − 45 ° ) = sin 45 °

    sin 120 ° = sin ( 180 ° − 60 ° ) = sin 60 °

    cos 180 ° = cos ( 180 ° − 0 ° ) = − cos 0 °

    cos 150 ° = cos ( 180 ° − 30 ° ) = − cos 30 °

    cos 135 ° = cos ( 180 ° − 45 ° ) = − cos 45 °

    cos 120 ° = cos ( 180 ° − 60 ° ) = − cos 60 °

    Рассмотрим тупой угол β :

    Для произвольного тупого угла β = 180 ° − α всегда будут справедливы следующие равенства:

    sin ( 180 ° − α ) = sin α

    cos ( 180 ° − α ) = − cos α

    tg ( 180 ° − α ) = − tg α

    ctg ( 180 ° − α ) = − ctg α

    Видео:Отбор корней по окружностиСкачать

    Отбор корней по окружности

    Тригонометрия: Теорема синусов

    В произвольном треугольнике стороны пропорциональны синусам противолежащих углов.

    a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C

    Видео:ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ОКРУЖНОСТЬ ЧАСТЬ I #shorts #математика #егэ #огэ #профильныйегэ #окружностьСкачать

    ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ОКРУЖНОСТЬ ЧАСТЬ I #shorts #математика #егэ #огэ #профильныйегэ #окружность

    Тригонометрия: Расширенная теорема синусов

    Отношение стороны к синусу противолежащего угла равно двум радиусам описанной вокруг данного треугольника окружности.

    a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C = 2 R

    Видео:Тригонометрическая окружность. Задание 4 | Математика ЕГЭ 2022 | УмскулСкачать

    Тригонометрическая окружность. Задание 4 | Математика ЕГЭ 2022 | Умскул

    Тригонометрия: Теорема косинусов

    Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

    a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c ⋅ cos ∠ A

    b 2 = a 2 + c 2 − 2 a c ⋅ cos ∠ B

    c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b ⋅ cos ∠ C

    Видео:✓ Тригонометрия: с нуля и до ЕГЭ | #ТрушинLive #030 | Борис ТрушинСкачать

    ✓ Тригонометрия: с нуля и до ЕГЭ | #ТрушинLive #030 | Борис Трушин

    Примеры решений заданий из ОГЭ

    Модуль геометрия: задания, связанные с тригонометрией.

    Видео:Тригонометрическая окружностьСкачать

    Тригонометрическая окружность

    Тригонометрия: Тригонометрические уравнения

    Это тема 10-11 классов.

    Из серии видео ниже вы узнаете, как решать простейшие тригонометрические уравнения, что такое обратные тригонометрические функции, зачем они нужны и как их использовать. Если вы поймёте эти базовые темы, то вскоре сможете без проблем решать любые тригонометрические уравнения любого уровня сложности!

    📽️ Видео

    3,5 способа отбора корней в тригонометрии | ЕГЭ по математике | Эйджей из ВебиумаСкачать

    3,5 способа отбора корней в тригонометрии | ЕГЭ по математике | Эйджей из Вебиума

    Как видеть тангенс? Тангенс угла с помощью единичного круга.Скачать

    Как видеть тангенс? Тангенс угла с помощью единичного круга.

    ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ОКРУЖНОСТЬСкачать

    ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ОКРУЖНОСТЬ

    Синус, косинус, тангенс, котангенс за 5 МИНУТСкачать

    Синус, косинус, тангенс, котангенс за 5 МИНУТ

    РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ😉 #shorts #егэ #огэ #математика #профильныйегэСкачать

    РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ😉 #shorts #егэ #огэ #математика #профильныйегэ
    Поделиться или сохранить к себе: