Три окружности одного радиуса проходят через одну точку (5 видео)

Математика. Задачи с тремя равными окружностями.

Окружность — это совокупность всех точек на плоскости, которые находятся на одинаковом расстоянии от заданной точки О, которая называется центром окружности.

Радиус окружности R — расстояние от центра окружности О до любой точки окружности.

Основные свойства окружности

1. Диаметр окружности равен двум радиусам.

2. Кратчайшее расстояние от центра окружности к секущей (хорде) всегда меньше радиуса.

3. Через три точки, которые не лежат на одной прямым, можно провести только одну окружность.

4. Среди всех замкнутых кривых с одинаковой длиной, окружность имеет наибольшую площадь.

5. Если две окружности соприкасаются в одной точке, то эта точка лежит на прямой, что проходит через центры этих окружностей.

Касательная окружности и ее свойства

Определение. Касательная окружности — прямая, которая касается окружности только в одной точке.

Основные свойства касательных к окружности

1. Касательная всегда перпендикулярна к радиусу окружности, проведенного в точке соприкосновения.

2. Кратчайшее расстояние от центра окружности к касательной равна радиусу окружности.

3. Если две касательные, с точками соприкосновения B и C, на одной окружности не параллельны, то они пересекаются в точке A, а отрезок между точкой соприкосновения и точкой пересечения одной касательной равен таком же отрезке на другой касательной:

Также, если провести прямую через центр окружности О и точку пересечения A этих касательных, то углы образованный между этой прямой и касательными будут равны:

Секущая окружности и ее свойства

Определение. Секущая окружности — прямая, которая проходит через две точки окружности.

Основные свойства секущих

1. Если с точки вне окружности (Q) выходят две секущие, которые пересекают окружность в двух точках A и B для одной секущей и C и D для другой секущей, то произведения отрезков двух секущих равны между собою:

2. Если из точки Q вне окружности выходит секущая прямая, что пересекает окружность в двух точках A и B, и касательная с точкой соприкосновения C, то произведение отрезков секущей равна квадрату длины отрезка касательной:

Хорда окружности ее длина и свойства

Определение. Хорда окружности — отрезок, который соединяет две точки окружности.

1. Длина хорды через центральный угол и радиус:

2. Длина хорды через вписанный угол и радиус:

Основные свойства хорд

1. Две одинаковые хорды стягивают две одинаковые дуги:

если хорды AB = CD, то

2. Если хорды параллельные, то дуги между ними будут одинаковые:

если хорды AB ∣∣ CD, то

3. Если радиус окружности перпендикулярен к хорде, то он разделяет хорду пополам в точке их пересечения:

4. Если две хорды AB и CD пересекаются в точке Q, то произведение отрезков, что образовались при пересечении, одной хорды равны произведению отрезков другой хорды:

5. Хорды с одинаковой длиной находятся на одинаковом расстоянии от центра окружности.

если хорды AB = CD, то

6. Чем больше хорда тем ближе она к центру.

Содержание

Окружность. Относительное взаимоположение окружностей.
Простая задача про круги, которая выглядит сложной
Строим внутренний треугольник
Строим проекцию
Вычисляем длину секций
🔍 Видео

Видео:51 Три окружности одного радиуса проходят через одну точкуСкачать

Окружность. Относительное взаимоположение окружностей.

Если две окружности имеют только одну общую точку, то говорят, что они касаются.

Если же две окружности имеют две общие точки, то говорят, что они пересекаются.

Трех общих точек две не сливающиеся окружности иметь не могут, потому, что в противном случае через три точки можно было бы провести две различные окружности, что невозможно.

Будем называть линией центров прямую, проходящую через центры двух окружностей (например, прямую OO₁).

Теорема.

Если две окружности имеют общую точку по одну сторону от линии центров, то они имеют общую точку и по другую сторону от этой линии, т.е. такие окружности пересекаются.

Пусть окружности O и O₁ имеют общую точку A, лежащую вне линии центров OO_1. Требуется доказать, что эти окружности имеют еще общую точку по другую сторону от прямой OO₁.

Опустим из A на прямую OO₁ перпендикуляр AB и продолжим его на расстояние BA₁, равное AB. Докажем теперь, что точка A₁ принадлежит обеим окружностям. Из построения видно, что точки O и O₁ лежат на перпендикуляре, проведенном к отрезку AA₁ через его середину. Из этого следует, что точка O одинаково удалена от A и A₁. То же можно сказать и о точке O₁. Значит обе окружности, при продолжении их, пройдут через A₁.Таким образом, окружности имеют две общие точки : A (по условию) и A₁ (по доказанному). Следовательно, они пересекаются.

Следствие.

Общая хорда (AA₁) двух пересекающихся окружностей перпендикулярна к линии центров и делится ею пополам.

Теоремы.

1. Если две окружности имеют общую точку на линии их центров или на ее продолжении, то они касаются.

2. Обратно: если две окружности касаются, то общая их точка лежит на линии центров или на ее продолжении.

Признаки различных случаев относительного положения окружностей.

Пусть имеем две окружности с центрами O и O₁, радиусами R и R₁ и расстоянием между центрами d.

Эти окружности могут находиться в следующих 5-ти относительных положениях:

1. Окружности лежат одна вне другой, не касаясь. В этом случае, очевидно, d > R + R₁ .

2. Окружности имеют внешнее касание. Тогда d = R + R₁, так как точка касания лежит на линии центров O O₁.

3. Окружности пересекаются. Тогда d R + R₁, потому что в треугольнике OAO₁ сторона OO₁ меньше суммы, но больше разности двух других сторон.

4. Окружности имеют внутреннее касание. В этом случае в d = R — R₁, потому что точка касания лежит на продолжении линии OO₁.

5. Одна окружность лежит внутри другой, не касаясь. Тогда, очевидно,

d R + R₁, то окружности расположены одна вне другой, не касаясь.

2. Если d = R + R₁, то окружности касаются извне.

3. Если d R — R₁, то окружности пересекаются.

4. Если d = R — R₁, то окружности касаются изнутри.

5. Если d R Е R₁. Значит, все эти случаи исключаются. Остается один возможный, именно тот, который требовалось доказать. Таким образом, перечисленные признаки различных случаев относительно положения двух окружностей не только необходимы, но и достаточны.

Видео:№14. Три прямые проходят через одну точку. Через каждые две из них проведена плоскость.Скачать

Простая задача про круги, которая выглядит сложной

Но на деле она точно простая.

Разберём свежую задачу с канала MindYourDecisions. Это не про программирование, но развивает логическое мышление.

Дано: есть три одинаковых круга с диаметром в 1 метр. Круги соприкасаются друг с другом, а вокруг них натянута эластичная лента.

Что нужно: найти длину этой ленты.

Кажется, что это очень сложная задача, где нужно знать сложные формулы расчёта кривизны и точек натяжения, но на деле всё будет гораздо проще. Если знаете английский — посмотрите оригинальный ролик, там классная анимация:

Видео:Существуют три прямые, которые проходят через одну точку. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Строим внутренний треугольник

Первое, что мы сделаем, — соединим центры всех кругов в один треугольник:

В геометрии есть такое правило, что если круги касаются друг друга, то через их центры можно провести прямую линию, и точка касания кругов будет лежать на этой линии. Раз у нас диаметр равен 1, то радиус каждого круга равен 0,5. Обозначим это на рисунке:

Получается, что длина каждой стороны треугольника равна 0,5 + 0,5 = 1. Запомним это и идём дальше.

Видео:Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Строим проекцию

От каждой вершины треугольника проведём под прямым углом линии к ленте:

Получились прямоугольники. У прямоугольников противоположные стороны равны, поэтому раз стороны треугольника равны единице, то и эти отрезки на ленте тоже будут равны единице:

Осталось найти длину оставшихся секций:

Видео:Так периметр еще никто не находил! Задача про треугольник и окружностиСкачать

Вычисляем длину секций

Здесь нам поможет знание о том, что полный оборот внутри круга — это 360 градусов.

Так как во внутреннем треугольнике все стороны равны, то это равносторонний треугольник. А раз так, то углы в нём равны 60 градусов. Добавим сюда по два прямых угла по 90 градусов из прямоугольников:

Решаем уравнение: 90 + 60 + 90 + X = 360 → X = 120 градусов.

Но 120 градусов — это ровно треть круга, а у нас таких частей как раз три:

Это значит, что из них можно составить один целый круг. При этом мы знаем, что у этого круга радиус 0,5, а диаметр тогда равен единице. Этого достаточно, чтобы посчитать длину окружности: L = π × d → L = 3,14.

Складываем это число с длинами трёх отрезков и получаем полную длину: 3 + π