Треугольник вписанный в эллипс (2 видео)

Задача 28847 4.3.46) В эллипс x^2+y^2/4=1 вписан.

Содержание

Условие
Решение
Самый большой треугольник, который может быть вписан в эллипс
Эллипс Штейнера
Связанные понятия
📸 Видео

Условие

4.3.46) В эллипс x^2+y^2/4=1 вписан правильный треугольник, одна из вершин которого совпадает с правой вершиной эллипса. Найти координаты двух других вершин треугольника.

Решение

Правая вершина эллипса имеет координаты
A(1;0)
Треугольник КАМ — равносторонний, значит все его углы имеют гра.дусную меру 60 градусов.
∠ КАР= ∠ МАР=30 градусов,
k_(прямой АК)=tg150 градусов=-sqrt(3/3)
уравнение прямой АК имеет вид:
y=(-sqrt(3)/3)x+b
Подставим координаты точки А в это уравнение:
0=(-sqrt(3)/3)+b
⇒ b=sqrt(3)/3

Точка К — точка пересечения прямой АК и эллипса.
Координаты точки найдем из системы:
<x^2+(y^2/4)=1
<y=(-sqrt(3)/3)x+(sqrt(3)/3)

x^2+(sqrt(3)/3)^2*(-x+1)^2/4=1
4x^2+(1/3)*(x^2-2x+1)=4
13x^2-2x-11=0
D=(-2)^2-4*(13)*(-11)=4*(1+143)=4*144=(2*12)^2
x_(1)=(2-24)/26=-22/26=-11/13 или x_(2)=1 ( это абсцисса точки А)
y_(1)=(sqrt(3)/3)*((11/13)+1)=8sqrt(3)/13

K(-11/13; 8sqrt(3)/13).
В силу симметрии эллипса относительно координатных осей
M(-11/13; -8sqrt(3)/13)

О т в е т. (-11/13; 8sqrt(3)/13); (-11/13; -8sqrt(3)/13).

Видео:Построить эллипс вписанный в треугольник.Скачать

Самый большой треугольник, который может быть вписан в эллипс

Для данного эллипса с длиной большой оси 2a и 2b задача состоит в том, чтобы найти область наибольшего треугольника, которая может быть вписана в него.

Примеры:

Подход: Итак, мы знаем, что эллипс — это просто масштабированная тень круга. Давайте найдем коэффициент масштабирования.

x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 is an ellipse. Rewrite this as:
(y*(a/b))^2+x^2 = a^2

Это просто уменьшенный по вертикали круг радиуса a (думаю, что свет падает сверху под углом), а вертикальный коэффициент a / b . Самый большой треугольник в эллипсе — это увеличенная версия самого большого треугольника в круге. Используя небольшую геометрию и принимая во внимание симметрию, мы можем понять, что самый большой такой треугольник является равносторонним. Его стороны будут √3a, а площадь будет (3√3) a ^ 2/4

Переводя это в термины эллипса — мы масштабируем горизонтальное измерение с коэффициентом a / b , и площадь самого большого треугольника в эллипсе равна

Ниже приведена реализация вышеуказанного подхода:

// C ++ Программа для поиска самого большого треугольника
// который может быть вписан в эллипс
#include

using namespace std;

// Функция для поиска области
// треугольника

float trianglearea( float a, float b)

// a и b не могут быть отрицательными

float area = (3 * sqrt (3) * pow (a, 2)) / (4 * b);

Видео:Как начертить овал. Эллипс вписанный в ромбСкачать

Эллипс Штейнера

Существует единственное аффинное преобразование, которое переводит правильный треугольник в данный треугольник.

Образ вписанной окружности правильного треугольника при таком преобразовании является эллипсом, который называют вписанным эллипсом Штейнера, а образ описанной окружности также является эллипсом, который называют описанным эллипсом Штейнера.

Связанные понятия

В геометрии конциклическими (или гомоциклическими) точками называют точки, находящиеся на одной окружности. Три точки на плоскости, не лежащие на одной прямой, всегда лежат на одной окружности, поэтому иногда термин «конциклические» прилагают только к наборам из 4 или более точек.

Многогранник, многоугольник или мозаика является изотоксальным или рёберно транзитивным, если его симметрии действуют транзитивно на его рёбрах. Неформально это означает, что имеется только один вид рёбер у объекта — если даны два ребра, существует параллельный перенос, вращение и/или зеркальное отражение, переводящее одно ребро в другое, не меняя область, занимаемую объектом.

В геометрии центральные прямые — это некоторые специальные прямые, связанные с треугольником и лежащие в плоскости треугольника. Особое свойство, которое отличает прямые как пифагоров триеугольникцентральные прямые проявляется через уравнение прямой в основе фиботаччи трилинейных координатах. Это особое свойство также связано с понятием центр треугольника. Понятие центральной прямой было введено Кларком Кимберлингом в статье, опубликованной в 1994 году.

В геометрии политоп (многогранник, многоугольник или замощение, например) изогонален или вершинно транзитивен, если, грубо говоря, все его вершины эквивалентны. Отсюда следует, что все вершины окружены одним и тем же видом граней в том же самом (или обратном) порядке и с теми же самыми углами между соответствующими гранями.