Треугольник с целыми сторонами

Автор: Сагитова Елена[4],

ученица 7 класса

лицея № 19 г. Тольятти

Руководители: Утеева Р.А.,

Бабрышов Н.Г.

учитель математики высшей категории

лицея № 19 г. Тольятти

г. Тольятти, 1998.

Образец оформления введения

ВВЕДЕНИЕ

Основная цель работы: исследование
целочисленных прямоугольных треугольников.

Данная тема представляет определенный интерес, так как её истоки относятся к древности, так называемой знаменитой теореме Пифагора.

Основные задачи исследования:

1) познакомиться с понятием целочисленного прямоугольного треугольника;

2) выяснить, существуют ли целочисленные прямоугольные треугольники, гипотенузой которых является данное число n ( n £20);

3) выяснить, при каких условиях нечетное простое число является гипотенузой, а при каких – не является;

4) выяснить, какими могут быть значения катетов и гипотенузы целочисленных прямоугольных треугольников ( в смысле четности).

Основные методы решения поставленных задач: метод наблюдения за числами; метод
подбора и проб; чтение дополнительной литературы; составление таблиц и сравнение результатов; метод обобщения.

Образец оформления основной части работы

Часть 1. Основные понятия, используемые в работе

1.1. Понятие прямоугольного треугольника

Определение 1. Треугольник называется прямоугольным, если у него есть прямой угол. Стороны треугольника, образующие прямой угол называются катетами, а третья сторона, лежащая против прямого угла – гипотенузой.

Обычно длины катетов обозначают буквами a и b, длину гипотенузы – с, причем a + b >с.

1.2. Теорема Пифагора

Теорема: квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов, т.е. с помощью обозначений эту теорему можно записать так: a 2 +b 2 = с 2 .

В настоящее время известно более 150 доказательств теоремы Пифагора, на которых мы не будем останавливаться, так как это не является предметом данной работы.

Отметим лишь, что эта теорема была известна в Древнем Вавилоне еще задолго до Пифагора (580-500 гг. до н.э.), примерно за 1000 лет.
По-видимому, её назвали именем древнегреческого математика Пифагора, так как согласно
легенде, он одним из первых доказал ее.

В геометрии также доказана и обратная теорема к теореме Пифагора: если длины сторон треугольника a , b и с удовлетворяют условию a 2 +b 2 = с 2 (1), то такой треугольник будет прямоугольным.

1.3. Понятие целочисленного прямоугольного треугольника

Треугольник со сторонами 3,4 и 5 является прямоугольным ( по обратной теореме Пифагора), так как удовлетворяет указанному выше условию (1). Такие треугольники называются целочисленными прямоугольными треугольниками. Некоторые такие треугольники были известны еще в Древнем Вавилоне и Египте, например, треугольники с длинами сторон 5,12 и 13; 17, 24 и 25.

Понятие целочисленного треугольника тесно связано с понятием диофантового уравнения, т.е. уравнения вида х 2 +y 2 =z 2 , которые также называются вавилонскими, а тройка чисел, удовлетворяющая этому уравнению, называется пифагоровой.

Часть 2. Постановка и решение задач

Исследования

2.1. Постановка первой задачи

Пусть дано, например. число n =12. Существует ли целочисленный прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной 12?

Пусть х и у – катеты прямоугольного
треугольника и 0 2 +y 2 =12 2 или х 2 +y 2 =144.

Составим таблицу 1.

Из таблицы видно. что не существует целого значения у, значит не существует и целочисленного прямоугольного треугольника с гипотенузой, равной 12.

Ответ: не существует целочисленного
прямоугольного треугольника с длиной гипотенузы, равной 12.

Пусть теперь n =13. Тогда нам нужно
решить уравнение х 2 +y 2 =169.

Аналогично составим таблицу 2.

Из таблицы видно, что существует два
целых значения у: у=12 и у=5, значит с гипотенузой, равной 13, существует целочисленный прямоугольный треугольник с длинами сторон 5,12 и 13.

Для того чтобы и дальше не составлять
аналогичные таблицы, поступим по-другому. Так как по условию существования треугольника
х+у > n и, мы положили, что у £ х, значит
х 2 +y 2 £ 2х 2 , а 2х 2 ³ n 2 . Итак, 2х 2 ³169, отсюда находим, что х 2 ³84. Значит, достаточно проверить лишь три значения х 2 : 100, 121 и 144. Находим у 2 , из которых только одно значение целое. Это у=5 при х = 12.

Аналогично исследуем все остальные значения n (n £20). Результаты представим в виде
таблицы 3 ( Приложение). Ясно, что n ³3.

Треугольники со сторонами (3;4;5). (6;8;10), (9;12;15) подобны, поэтому в дальнейшем будем рассматривать только не подобные треугольники с гипотенузой n =5,13 и 17. Все эти числа оказались нечетными простыми числами.

Итак, сделаем первый вывод: существуют три ( не подобных) целочисленных прямоугольных треугольника с гипотенузой n, равной нечетному простому числу, где n£20.

2.2. Постановка второй задачи

При каких условиях нечетное простое число является гипотенузой, а при каких – не является?

Составим таблицу 4.

Выпишем простые нечетные числа в два ряда и понаблюдаем за ними:

5, 13,17,29, … и 3,7,11,19,23,31, …

8 4 12 4 4 8 4 8

Итак, сделаем второй вывод: все разности делятся на 4, причем в первом случае остаток от деления простых чисел на 4 равен 1, а во втором -3.

Возникает гипотеза: простое число вида 4к+1 является гипотенузой, а простое число вида 4к+3 –не является. Проверим ее.

2.3. Теорема о примитивной

пифагоровой тройке

Определение 2. Пифагорову тройку чисел, в которой все числа взаимно просты, называют
примитивной.

Например, (3,4,5) –примитивная пифагорова тройка, а (6,8,10) –непримитивная.

Ясно, что в примитивной пифагоровой тройке два числа не могут быть четными ( тогда и третье число должно быть четным), но все они не могут одновременно быть нечетными.

Вывод: в примитивной пифагоровой тройке должно быть одно число четное, а два нечетных.

Замечание: 1. Надеемся, что на данном
примере мы смогли показать вам, как примерно можно представить результаты своего исследования.

Мы не стали здесь приводить всю работу целиком, а показали лишь, как можно оформить её.

Образец оформления заключения

Заключение

Проведенная выше работа позволила мне сделать следующие выводы:

1. Существует три ( не подобных) целочисленных прямоугольных треугольника с гипотенузой n ( n £20), равной нечетному простому числу. В общем случае, конечно их бесконечно много, так как доказано в математике, что простых чисел бесконечно много.

2. В целочисленных примитивных прямоугольных треугольниках только одна сторона
может быть выражена четным числом, остальные две стороны – нечетным.

3. В целочисленных примитивных прямоугольных треугольниках гипотенуза не может быть выражена четным числом.

4. Стороны целочисленного прямоугольного треугольника могут быть найдены по различным формулам. Вывод одной из них представлен в
работе.

списка использованной литературы

Литература:

1. Виленкин Н.Я., Шибасов Л.П., Шибасова З.Ф. За страницами учебника математики: Арифметика. Алгебра. Геометрия: Кн. для учащихся 10-11 классов общеобразоват. учрежд. – М., 1996. С. 83-87.

2. Дорофеева А.В. Страницы истории на уроках математики /Квантор.-1991.№6.С.33-35.

3. Пойа Дж. Математика и правдоподобные
рассуждения: перевод с анг. И.А. Вайнштейна /Под ред. С.А. Яновской. –Изд. 2-е.-М., 1975.С.80-82.

Елена Юрьевна Сагитова, студентка группы М 401
факультета математики и информатики ТГУ

Роза Азербаевна Утеева, доктор педагогических наук, профессор, зав.кафедрой алгебры и геометрии ТГУ

Видео:Треугольник с целыми сторонамиСкачать

Презентация по математике на тему:»Треугольники с целочисленными сторонами».

Презентация по математике на тему:»Треугольники с целочисленными сторонами».

Просмотр содержимого документа
«Презентация по математике на тему:»Треугольники с целочисленными сторонами».»

ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ТЕХНИКУМ» ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ «ПАЛЛАСОВСКИЙ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННЫЙ

«Треугольники с целочисленными сторонами»

студента 1 курса Кривоногих Константина Алексеевича

Низамова Гульнара Ахмедовна

— это треугольник, длины всех сторон которого выражаются целыми числами. Рациональный треугольник можно определить как треугольник, стороны которого являются рациональными числами

Результаты, полученные при исследовании целочисленных треугольников будут интересны как специалистам в области элементарной геометрии, так и студентам при поиске нестандартных способов и методов решения задач, связанных с теорией целых чисел

— доказать, что сложные треугольники Герона состоят из двух компонентных треугольников Пифагора, или из них исходящих, других не существует (задача).

— рассмотреть основные свойства целых треугольников;

— изучить треугольники Герона, целочисленные треугольники на двумерной решетке;

— рассмотреть целочисленные треугольники со специфичными свойствами углов, с целым отношением радиусов описанного и вписанного окружностей .

Основные свойства Целочисленных треугольников с заданным периметром.

Любая тройка положительных чисел может стать сторонами треугольника, необходимо лишь удовлетворение неравенства треугольника — самая длинная сторона должна быть короче суммы двух других сторон. Каждая такая тройка задаёт единственный треугольник. Так что число целочисленных треугольников с периметром p равно числу разбиений p на три положительные части, удовлетворяющие неравенству треугольника.

c и a ≤ b ≤ c. Число целочисленных треугольников с данной наибольшей стороной c, вершины которого лежат на или внутри полуокружности диаметра c, равно числу троек (a, b, c).» width=»640″

Целочисленные треугольники с заданной большей стороной .

Число целочисленных треугольников с заданной наибольшей стороной c равным числом троек (a, b, c), таких, что a + b c и a ≤ b ≤ c.

Число целочисленных треугольников с данной наибольшей стороной c, вершины которого лежат на или внутри полуокружности диаметра c, равно числу троек (a, b, c).

Площадь целочисленного треугольника

По формуле Герона, если T — площадь треугольника, а длины стороны равны a, b и c, то поскольку все множители под знаком корня в правой части формулы являются целыми числами, все целочисленные треугольники должны иметь целочисленное значение величины.

УГЛЫ ЦЕЛОЧИСЛЕННОГО ТРЕУГОЛЬНИКА

По теореме косинусов любой угол целочисленного треугольника имеет рациональный косинус. Если углы любого треугольника образуют арифметическую прогрессию, то один из его углов должен быть 60°.

ДЕЛЕНИЕ СТОРОНЫ ВЫСОТОЙ

Любая высота, опущенная из вершины на противоположную сторону или её продолжение, делит эту сторону (или продолжение) на отрезки рациональной длины.

Геронов треугольник — это треугольник с целочисленными сторонами и целочисленной площадью. Любой геронов треугольник имеет пропорциональные стороны.

для целых m , n и k , удовлетворяющих условиям

Героновы треугольники со сторонами в арифметической прогрессии

Треугольник с целочисленными сторонами и целочисленной площадью имеет стороны в арифметической прогрессии в том и только в том случае, когда стороны равны ( b – d , b , b + d ), где

и где g является наибольшим общим делителем чисел -2mn и +2mn.

Множитель пропорции для треугольников в общем случае является рациональным числом , где q = gcd (a,b,с) сокращает сгенерированный геронов треугольник к примитивному, а растягивает этот примитивный треугольник до требуемого размера

n . 2. a = (- ) + ( + ), b = 2mn ( + ) c = ( + )2, d = 2mn (- ) Полупериметр = m (m+n) ( + ), Площадь = mn (-) ( + )2 для взаимно простых чисел m , n с m n . 3. (a,b,c,d) = (xz,yz,,xy).» width=»640″

Полупериметр = m (m+n)

где m и n взаимно простые целые и одно из них чётно, при этом m n .

2. a = (- ) + ( + ), b = 2mn ( + )

Полупериметр = m (m+n) ( + ),

Площадь = mn (-) ( + )2

для взаимно простых чисел m , n с m n .

Целочисленные треугольники на двумерной решетке

Двумерная решётка — это правильный массив изолированных точек, в которой при выборе одной точки в качестве начала координат (0, 0) все остальные точки будут иметь вид ( x, y ), где x и y пробегают по всем положительным и отрицательным целым числам.

Следовательно, можно утверждать, что целочисленный треугольник является героновым тогда и только тогда, когда его можно нарисовать на решётке .

Целочисленные треугольники со специфичными свойствами углов. с рациональной биссектрисой

Семейство треугольников с целочисленными сторонами a,b, c и рациональной биссектрисой d угла A задаётся уравнениями

Целочисленные треугольники с одним углом

Целочисленные треугольники с углом 60° (углы в арифметической прогрессии). У всех целочисленных треугольников с углом 60° углы образуют арифметическую прогрессию. Все такие треугольники подобны.

Целочисленные треугольники с углом 60° можно получить по формуле :

со взаимно простыми целыми m , n и с 0

Целочисленные треугольники с одним углом 120°

Целочисленные треугольники с углом 120° можно получить с помощью формулы

со взаимно простыми целыми m , n и 0

В ходе выполнения исследования доказано, что сложные треугольники Герона состоят из двух компонентных треугольников Пифагора, или из них исходящих, других не существует (задача).

Однако, за исключением тривиального случая равностороннего треугольника, не существует целочисленных треугольников, углы которого образуют геометрическую или гармоническую прогрессии.

Видео:Соотношения между сторонами и углами треугольника. 7 класс.Скачать

Прямоугольные треугольники с целочисленными сторонами называются пифагоровыми (треугольник со сторонами 3, 4, 5 называют египетским), а тройки целых чисел

Видео:Треугольник с целыми сторонамиСкачать

Ваш ответ

Видео:9 класс, 15 урок, Решение треугольниковСкачать

Похожие вопросы

• Все категории
• экономические 43,282
• гуманитарные 33,619
• юридические 17,900
• школьный раздел 607,029
• разное 16,829

Популярное на сайте:

Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.

Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.

Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.

Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.

💡 Видео

Соотношения между сторонами и углами треугольника. Практическая часть. 7 класс.Скачать

Треугольник с целыми катетамиСкачать

Геометрия 7 класс (Урок№24 - Соотношения между сторонами и углами треугольника. Неравенство треуг.)Скачать

Что останется футбол или математика? Задача про треугольник с целочисленными сторонамиСкачать

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

Математика | Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.Скачать

7 класс, 33 урок, Теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольникаСкачать

Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnlineСкачать

Периметр треугольника. Как найти периметр треугольника?Скачать

9 класс, 12 урок, Теорема о площади треугольникаСкачать

Пифагоровы тройки 1. Египетский треугольникСкачать

Геометрия 7 класс (Урок№9 - Треугольник.)Скачать

Математика это не ИсламСкачать

7 класс, 18 урок, Свойства равнобедренного треугольникаСкачать

Решение прямоугольных треугольников. Практическая часть. 8 класс.Скачать