Треугольник плоский или пространственный

Треугольник. Формулы определения и свойства треугольников.

В данной статье мы расскажем о классификаци и свойствах основной геометрической фигуры — треугольника. А также разберем некоторе примеры решения задач на треугольники.

Содержание:

Содержание
  1. Определение треугольника
  2. Классификация треугольников
  3. 1.Разносторонний – треугольник, у которого все стороны имеют разную длину.
  4. 2. Равнобедренный – треугольник, у которого длины двух сторон равны. Они называются боковыми сторонами AB и BC. Третья сторона называется основание СА. В данном треугольнике углы при основании равны ∠ α = ∠ β
  5. 3.Равносторонний (или правильный) – треугольник, у которого все стороны имеют одинаковую длину. Также все его углы равны 60°.
  6. 4.Остроугольный – треугольник, у которого все три угла острые, т.е. меньше 90°
  7. 5.Тупоугольный – треугольник, в котором один из углов больше 90°. Два остальных угла – острые.
  8. 6. Прямоугольный – треугольник, в котором один из углов является прямым, т.е. равен 90°. В такой фигуре две стороны, которые образуют прямой угол, называются катетами (AB и BC). Третья сторона, расположенная напротив прямого угла – это гипотенуза (CА).
  9. Свойства треугольника
  10. 1.Свойства углов и сторон треугольника.
  11. 2.Теорема синусов.
  12. 3. Теорема косинусов.
  13. 4. Теорема о проекциях
  14. Медианы треугольника
  15. Свойства медиан треугольника:
  16. Формулы медиан треугольника
  17. Плоские геометрические фигуры: свойства и основные формулы
  18. Четырёхугольник
  19. Основные свойства:
  20. Квадрат
  21. Основные формулы:
  22. Свойства:
  23. Прямоугольник
  24. Основные формулы:
  25. Свойства:
  26. Параллелограмм
  27. Определения:
  28. Основные формулы:
  29. Свойства:
  30. Ромб
  31. Основные формулы:
  32. Свойства:
  33. Трапеция
  34. Определения:
  35. Основные формулы:
  36. Свойства:
  37. Треугольник
  38. Определения:
  39. Основные формулы:
  40. Свойства:
  41. Окружность
  42. Определения:
  43. Основные формулы:
  44. Пространственные фигуры — виды, изображения, свойства с примерами решения
  45. Пространственные фигуры
  46. Изображение пространственных фигур
  47. 📽️ Видео

Видео:Математика. Пространственные тела. Плоские фигуры.Скачать

Математика. Пространственные тела. Плоские фигуры.

Определение треугольника

Треугольник — это фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки — его сторонами. В геометрических задачах треугольник обычно изображают специальным симовлом — △, после которго пишут названия вершин треугольника напр. △ABC.

Треугольник плоский или пространственный

Треугольник ABC (△ABC)

  • Точки A, B и C — вершины треугольника. Принято писать их большими буквами.
  • Отрезки AB, BC и СА — стороны треугольника. Обычно сторонам присваивают свои названия маленькими буквами. Имя выбирают по первой вершине каждой стороны. Напр. у стороны AB первая вершина А поэтому эта сторона называется а. Тоесть AB = a, BC = b, CА = c.
  • Стороны треугольника в местах соединения образуют три угла, которым обычно дают названия буквами греческого алфавита α, β, γ. Причем напротив стороны a лежит угол α, b — β, с — γ.

Углы треугольника, также, можно обозначать специальным символом — . После которого пишут вершины треугольника в таком порядке чтобы вершина обозначающегося угла была в серединке. Например:

Видео:Учим плоские геометрические фигуры с паровозиком Чух-Чухом - часть первая (1). Геометрия для детейСкачать

Учим плоские геометрические фигуры с паровозиком Чух-Чухом - часть первая (1). Геометрия для детей

Классификация треугольников

Все треугольники можно разделить на несколько видов, различающихся между собой величиной углов или длинами сторон. Такая классификация позволяет выделить особенности каждого из них.

1.Разносторонний – треугольник, у которого все стороны имеют разную длину.

Треугольник плоский или пространственный

2. Равнобедренный – треугольник, у которого длины двух сторон равны. Они называются боковыми сторонами AB и BC. Третья сторона называется основание СА. В данном треугольнике углы при основании равны ∠ α = ∠ β

Треугольник плоский или пространственный

3.Равносторонний (или правильный) – треугольник, у которого все стороны имеют одинаковую длину. Также все его углы равны 60°.

Треугольник плоский или пространственный

4.Остроугольный – треугольник, у которого все три угла острые, т.е. меньше 90°

Треугольник плоский или пространственный

5.Тупоугольный – треугольник, в котором один из углов больше 90°. Два остальных угла – острые.

Треугольник плоский или пространственный

6. Прямоугольный – треугольник, в котором один из углов является прямым, т.е. равен 90°. В такой фигуре две стороны, которые образуют прямой угол, называются катетами (AB и BC). Третья сторона, расположенная напротив прямого угла – это гипотенуза (CА).

Треугольник плоский или пространственный

Видео:Объемные Геометрические ФИГУРЫ Загадки для ДЕТЕЙСкачать

Объемные Геометрические ФИГУРЫ Загадки для ДЕТЕЙ

Свойства треугольника

1.Свойства углов и сторон треугольника.

Треугольник плоский или пространственный

  • Сумма всех углов треугольника равна 180°:
  • Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины оставшейся стороны:
  • В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы:

2.Теорема синусов.

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

a=b=c
sin αsin βsin γ

3. Теорема косинусов.

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

4. Теорема о проекциях

Для остроугольного треугольника:

Видео:Развивающие мультики - плоские и объемные геометрические фигурыСкачать

Развивающие мультики - плоские и объемные геометрические фигуры

Медианы треугольника

Медиана треугольника ― отрезок внутри треугольника, который соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Треугольник плоский или пространственный

Свойства медиан треугольника:

1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке O. (Точка пересечения медиан называется центроидом)

2. В точке пересечения медианы треугольника делятся в отношении два к одному (2:1)

AO=BO=CO=2
ODOEOF1

3. Медиана треугольника делит треугольник на две равновеликие по площади части

4. Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.

5. Из векторов, образующих медианы, можно составить треугольник.

Треугольник плоский или пространственный

Формулы медиан треугольника

Формулы медиан треугольника через стороны:

Видео:Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | Математика

Плоские геометрические фигуры: свойства и основные формулы

Треугольник плоский или пространственныйВ статье описываются геометрические фигуры: определение, основные свойства и формулы.

Плоские геометрические фигуры:

Четырехугольник (общее для всех четырехугольников)
Квадрат
Прямоугольник
Параллелограмм
Трапеция
Треугольник
Окружность

Геометрические фигуры — это любое сочетание точек, линий и поверхностей. Геометрические фигуры разделяются на плоские и объемные.

Плоские геометрические фигуры — это фигуры, все точки которых лежат на одной плоскости. Объемные геометрические фигуры — это фигуры, не все точки которых лежат на одной плоскости.

Видео:Параллельное проектирование и его свойства Изображение пространственных фигурСкачать

Параллельное проектирование и его свойства  Изображение пространственных фигур

Четырёхугольник

Четырёхугольник – это геометрическая фигура (многоугольник), состоящая из четырёх точек (вершин) и четырёх отрезков (сторон), которые последовательно соединяют вершины. При этом никакие три точки не лежат на одной прямой.

Основные свойства:

  • Сумма углов четырёхугольника равна 360°
  • Не существует четырёхугольников, у которых все углы острые или все углы тупые.
  • Каждый угол четырёхугольника всегда меньше суммы трёх остальных углов.
  • Каждая сторона четырёхугольника всегда меньше суммы трёх остальных сторон.

В четырёхугольник можно вписать окружность, если суммы его противолежащих сторон равны. Центр вписанной в четырёхугольник окружности является точкой пересечения биссектрис всех четырёх углов этого четырёхугольника.

Четырёхугольник можно описать окружностью, если сумма его противолежащих углов равна 180°.Центр описанной около четырёхугольника окружности является точкой пересечения всех четырёх серединных перпендикуляров сторон этого четырёхугольника.

Видео:Математика. 1 класс. Пространственные фигуры /13.10.2020/Скачать

Математика. 1 класс. Пространственные фигуры /13.10.2020/

Квадрат

Квадрат – правильный четырёхугольник, то есть четырёхугольник, у которого все углы равны и все стороны равны.

Основные формулы:

Периметр: P=4a, где P-периметр, a-сторона
Площадь: S=a 2 или S=d 2 /2
Сторона и диагональ связаны соотношениями: a=d/√2, d=a√2
Радиус описанной окружности: R=d или R=a/√(2)
Радиус вписанной окружности: r=a/2

Треугольник плоский или пространственныйгде a-сторона, d-диагональ, P-периметр, S-площадь
*Корень квадратный вычисляется из всего, что стоит в скобках после знака √, например, √(2) – корень квадратный из 2.

Свойства:

  • Все стороны равны, все углы равны и составляют 90°;
  • Диагонали квадрата равны и перпендикулярны;
  • У квадрата центры вписанной и описанной окружностей совпадают и находятся в точке пересечения его диагоналей;
  • Квадрат является одновременно частным случаем ромба и прямоугольника.

Видео:связь плоских и пространственных фигурСкачать

связь плоских и пространственных фигур

Прямоугольник

Прямоугольник – четырехугольник, у которого все углы прямые.

Основные формулы:

Периметр: P=(a+b)*2
Площадь по сторонам: S = a*b
Площадь по диагонали и углу между ними: S = d²* sin γ. / 2
Стороны и диагональ связаны соотношением: d=√(a 2 +b 2 )/2 (теорема Пифагора)
Радиус описанной окружности: R= √(a 2 +b 2 )/2 (теорема Пифагора)

Треугольник плоский или пространственныйгде a, b – длины сторон прямоугольника, d-диагональ, P-периметр, S-площадь
γ угол между диагоналями
*Корень квадратный вычисляется из всего, что стоит в скобках после знака √, например, √(a 2 +b 2 ) – корень квадратный из (a 2 +b 2 ).

Свойства:

  • Диагонали прямоугольника равны и делятся точкой пересечения пополам.
  • Около любого прямоугольника можно описать окружность с центром в точке пересечения его диагоналей и радиусом, который равен половине диагонали.

Видео:Математика. Пространственные фигуры. Пирамида, конус.Скачать

Математика. Пространственные фигуры. Пирамида, конус.

Параллелограмм

Параллелограмм – четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, то есть лежат на параллельных прямых.

Определения:

Высота параллелограмма – это перпендикуляр, проведённый из вершины параллелограмма к противоположной стороне.

Основные формулы:

Стороны и диагональ связаны соотношением: (d1) 2 +(d2) 2 =(a 2 +b 2 )*2
Периметр: P=(a+b)*2
Площадь по стороне и высоте: S = a*h
S (Площадь) по двум сторонам и углу между ними: S=a*b*sin α
S (Площадь) по двум диагоналям и углу между ними: S=(d1*d2)/2*sin γ

Треугольник плоский или пространственныйгде a, b – длины сторон, d1, d2 –диагонали, P-периметр, S-площадь,
h-высота, проведенная к противоположной стороне
α – угол между сторонами параллелограмма,
γ – угол между диагоналями параллелограмма (острый).

Свойства:

  • У параллелограмма противоположные стороны равны и противоположные углы равны.
  • Сумма любых двух соседних углов параллелограмма равна 180°.
  • Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
  • Каждая диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника.
  • Две диагонали параллелограмма делят его на четыре равновеликих треугольника (равны площади всех 4-х треугольников)
  • Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.
  • Частными случаями параллелограмма являются прямоугольник, квадрат и ромб.

Видео:Геометрические фигуры. Создаём животных (роботов) из геометрических фигур. Математика 1 класс.Скачать

Геометрические фигуры. Создаём животных (роботов) из геометрических фигур. Математика 1 класс.

Ромб

Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны.

Основные формулы:

Периметр: P=4*a
Площадь по стороне и высоте: S=a*h
Площадь по диагоналям: S = (d1*d2)/2
Радиус окружности, вписанной в ромб: r=h/2 или r =(d1*d2)/4a
Площадь по стороне и радиусу вписанной окружности: S=2*a*r
Площадь по стороне и углу: S = a 2 · sin α

Треугольник плоский или пространственныйгде a – длина стороны, d1, d2 –диагонали, P-периметр, S-площадь,
h -высота, проведенная к противоположной стороне
α – угол между сторонами ромба

Свойства:

  • Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и являются биссектрисами его углов.
  • В любой ромб можно вписать окружность с центром в точке пересечения его диагоналей. Радиус окружности: r=h/2 или r = d1*d2/4a.

Видео:Геометрические тела.Скачать

Геометрические тела.

Трапеция

Трапеция – четырёхугольник, у которого только две противолежащие стороны параллельны.

Определения:

  • Параллельные стороны называются основаниями трапеции, непараллельные – боковыми сторонами.
  • Высота трапеции – перпендикуляр, проведённый из произвольной точки одного основания трапеции к прямой, содержащей другое основание трапеции.
  • Средняя линия (первая средняя линия) трапеции – отрезок, который соединяет середины боковых сторон данной трапеции.Средняя линия трапеции параллельна её основаниям и равна их полусумме.
  • Средняя линия (вторая средняя линия) – отрезок, соединяющий середины оснований, проходит через точку пересечения диагоналей.
  • Равнобокая трапеция – трапеция,у которой боковые стороны равны (c=d). У равнобокой трапеции:диагонали равны, углы при основании равны, сумма противолежащих углов равна 180°.Около трапеции можно описать окружность тогда и только тогда, когда она равнобокая.
  • Прямоугольная трапеция – трапеция, у которой одна из её боковых сторон перпендикулярна основаниям.

Основные формулы:

Периметр: P=a+b+c+d
Площадь определить: S=h*(a+b)/2
Стороны и диагональ равнобокой трапеции: d² = ab+c²
Радиус вписанной окружности: r = h/2

Треугольник плоский или пространственныйгде a,b – основания, c,d – боковые стороны (с – боковые стороны в случае, если трапеция равнобокая), d1, d2 –диагонали,
P-периметр, S-площадь, h -высота, проведенная к противоположной стороне

Свойства:

В трапецию можно вписать окружность, если сумма её основ равна сумме боковых сторон (a+b=c+d). Центром вписанной в трапецию окружности является точка пересечения биссектрис внутренних углов трапеции.

Видео:Определение истинной величины треугольника АВС. Метод плоско-параллельного перемещенияСкачать

Определение истинной величины треугольника АВС. Метод плоско-параллельного перемещения

Треугольник

Треугольник – это геометрическая фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой (вершин треугольника) и трёх отрезков с концами в этих точках (сторон треугольника).

Определения:

  • Углами (внутренними углами) треугольника называются три угла, каждый из которых образован лучами, выходящими из вершин треугольника и проходящими через две другие вершины.
  • Высота треугольника – перпендикуляр, опущенный из любой вершины треугольника на противолежащую сторону или на продолжение стороны
  • Медиана треугольника– отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.
  • Биссектрисой треугольника, проведённой из данной вершины, называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий эту вершину с точкой на противолежащей стороне
  • Равные треугольники – треугольники, у которых соответствующие стороны равны и соответствующие углы равны
  • Равнобедренный треугольник– треугольник, у которого две стороны равны. Равные стороны называют боковыми сторонами, а третью – основанием равнобедренного треугольника.
  • Равносторонний или правильный треугольник – треугольник, у которого все стороны равны.
  • Прямоугольный треугольник – треугольник, у которого есть прямой угол. Стороны, прилежащие к прямому углу, называются катетами, противолежащая прямому углу – гипотенузой.

Основные формулы:

Периметр: P=a+b+c
Площадь по стороне и высоте: S=(a*h)/2
Площадь: по сторонам и углу между ними: S=(a*b)/2* sin γ
по трем сторонам и радиусу описанной окружности: S=(a*b*c)/4R
по трем сторонам и радиусу вписанной окружности: S=(a+b+c)/2*r
Площадь прямоугольного треугольника: S=(a*b)/2
Стороны прямоугольного треугольника: c 2 =a 2 +b 2 (Теорема Пифагора)

Треугольник плоский или пространственныйгде a,b, c – стороны (a,b –катеты , с – гипотенуза в случае прямоугольного треугольника)
d1, d2 –диагонали, h -высота, проведенная к противоположной стороне,
P-периметр, S-площадь, γ – угол между сторонами a и b
r – радиус вписанной окружности, R – радиус описанной окружности

Свойства:

  • В треугольнике против большего угла лежит большая сторона, против большей стороны лежит больший угол.
  • Сумма углов треугольника равна 180°:
  • Длина каждой стороны треугольника больше разности и меньше суммы длин двух других сторон: |a-b| 2 =a 2 +b 2 (Теорема Пифагора).В прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда больше любого из катетов.

Видео:Что такое угол? Виды углов: прямой, острый, тупой, развернутый уголСкачать

Что такое угол? Виды углов: прямой, острый, тупой,  развернутый угол

Окружность

Окружность – замкнутая плоская кривая, все точки которой одинаково удалены от данной точки (центра окружности), которая лежит в той же плоскости, что и кривая.

Определения:

  • Радиус – отрезок, который соединяет центр окружности с любой её точкой.
  • Хорда – отрезок, который соединяет какие-либо две точки окружности (AB).
  • Диаметр – хорда, проходящая через центр окружности(d). Диаметр – наибольшая хорда окружности. Наименьшей хорды окружности не существует.
  • Касательная – прямая, которая лежит в одной плоскости с окружностью и имеет с ней только одну общую точку (E)
  • Секущая – прямая, которая пересекает окружность в двух различных точках.

Основные формулы:

Длина окружности: L = 2πR
Площадь круга: S = π*r 2 или S = π*d 2 /4

Треугольник плоский или пространственныйгде π = 3,14 (3,1415926535) – величина постоянная,
где r-радиус, d –диаметр, L – длина окружности, S-площадь.

Видео:СЕЧЕНИЯ. СТРАШНЫЙ УРОК | Математика | TutorOnlineСкачать

СЕЧЕНИЯ. СТРАШНЫЙ УРОК | Математика | TutorOnline

Пространственные фигуры — виды, изображения, свойства с примерами решения

Пространственные фигуры:

Геометрические фигуры делятся на плоские и пространственные в зависимости от того, все или не все точки фигуры принадлежат одной плоскости.

Видео:Учим объёмные геометрические фигуры с паровозиком Чух-Чухом - часть 1. Мультик для детейСкачать

Учим объёмные геометрические фигуры с паровозиком Чух-Чухом - часть 1. Мультик для детей

Пространственные фигуры

Некоторые пространственные фигуры — призма (рис. 1), пирамида (рис. 2), цилиндр (рис. 3), конус (рис. 4), шар (рис. 5). Раздел геометрии, в котором изучаются плоские фигуры, называется планиметрией, а раздел, в котором изучаются пространственные фигуры, — стереометрией.

Треугольник плоский или пространственный

Ту или иную пространственную фигуру приходится изображать на плоскости листа в тетради или на плоскости доски. Соответствующий рисунок выполняют таким образом, чтобы он создавал то же впечатление, что и сама изображаемая фигура. При этом невидимые линии делают штриховыми.

Треугольник плоский или пространственный

На рисунке 6 изображены параллелограмм Треугольник плоский или пространственныйи треугольник Треугольник плоский или пространственныйкоторые пересекаются по отрезку Треугольник плоский или пространственныйЧасть Треугольник плоский или пространственныйтреугольника Треугольник плоский или пространственныйнаходится на параллелограммом Треугольник плоский или пространственныйчасть Треугольник плоский или пространственный— под ним. При этом часть Треугольник плоский или пространственныйчетырёхугольника Треугольник плоский или пространственныйвидна, а часть — не видна. Обращаем внимание на то, что точки Треугольник плоский или пространственныйи Треугольник плоский или пространственныйтреугольника Треугольник плоский или пространственныйне принадлежат параллелограмму Треугольник плоский или пространственныйа значит, и его стороне Треугольник плоский или пространственный

Треугольник плоский или пространственный

На рисунке 7 изображена треугольная пирамида Треугольник плоский или пространственныйкоторую пересекает плоскость по четырёхугольнику Треугольник плоский или пространственныйПри этом у пирамиды невидимым является ребро Треугольник плоский или пространственныйа у сечения Треугольник плоский или пространственный— его стороны Треугольник плоский или пространственныйи Треугольник плоский или пространственный

Представление пространственной фигуры на рисунке называют изображением фигуры.

Важным классом пространственных фигур являются многогранники, под которыми понимают тела, ограниченные плоскими многоугольниками.

Эти многоугольники называются гранями многогранника, их вершины — вершинами многогранника, а стороны — рёбрами многогранника.

Отрезок, соединяющий две вершины многогранника, не принадлежащие одной грани, называется диагональю многогранника (рис. 8).

Треугольник плоский или пространственный

Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону от плоскости каждой своей грани. На рисунке 9 изображён невыпуклый многогранник.

Треугольник плоский или пространственный

Б) Мы будем изучать простейшие выпуклые многогранники — призмы и пирамиды.

Призмой называется многогранник, две грани которого — равные Треугольник плоский или пространственныйугольники, а остальные Треугольник плоский или пространственныйграней — параллелограммы.

Равные грани-многоугольники призмы называют её основаниями, а остальные грани — боковыми гранями. Рёбра боковых граней, не принадлежащие основаниям, называются боковыми рёбрами (рис. 10).

В зависимости от количества сторон основания призмы отличают треугольную, четырёхугольную, пятиугольную и т. д. призмы. На рисунке 11 изображена шестиугольная призма.

Совокупность боковых граней призмы образуют боковую поверхность.

Площадь боковой поверхности призмы равна сумме площадей боковых граней.

Призмы разделяются на прямые и наклонные.

Прямая призма — призма, боковые грани которой являются прямоугольниками. Обычно, изображая прямую призму, её боковые рёбра проводят вертикально (рис. 12).

Призма прямая, если боковые рёбра перпендикулярны рёбрам основания призмы.

Треугольник плоский или пространственный

Призма наклонная, если боковые рёбра не перпендикулярны рёбрам основания призмы.

Прямая призма называется правильной, если её основания являются правильными многоугольниками.

Призма, основаниями которой являются параллелограммы, называется параллелепипедом.

Параллелепипед, как и призма, может быть и прямым (рис. 13), и наклонным (рис. 14).

Треугольник плоский или пространственный

Прямой параллелепипед, основания которого являются прямоугольниками, называется прямоугольным параллелепипедом.

Все грани прямоугольного параллелепипеда являются прямоугольниками.

Три ребра прямоугольного параллелепипеда, сходящиеся в одной вершине, называются измерениями прямоугольного параллелепипеда.

Прямоугольный параллелепипед с равными измерениями называется кубом.

Все грани куба — равные друг другу квадраты.

В) Пирамидой называется многогранник, одна грань которого — многоугольник, а остальные являются треугольниками с общей вершиной.

На рисунке 15 изображена пирамида Треугольник плоский или пространственныйМногоугольник Треугольник плоский или пространственныйназывают основанием пирамиды, треугольные грани Треугольник плоский или пространственный Треугольник плоский или пространственныйбоковыми гранями, а общую вершину Треугольник плоский или пространственныйбоковых граней — вершиной пирамиды. Обычно в записи обозначения пирамиды первая буква соответствует её вершине.

В зависимости от количества сторон основания пирамиды отличают треугольную, четырёхугольную, пятиугольную и т. д. пирамиды. Пирамида на рисунке 15 — пятиугольная, а на рисунке 16 — треугольная.

Треугольник плоский или пространственный

Пирамида, основание которой — правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий её вершину с центром основания, перпендикулярен любой прямой, проведённой в плоскости основания через этот центр, называется правильной.

Высота боковой грани правильной пирамиды, опущенная из вершины пирамиды, называется апофемой пирамиды.

На рисунке 17 изображена правильная четырёхугольная пирамида Треугольник плоский или пространственныйотрезок Треугольник плоский или пространственный— одна из её апофем.

Треугольник плоский или пространственный

Теорема 1. У правильной пирамиды равны её: а) боковые грани; б) апофемы.

Доказательство: Пусть Треугольник плоский или пространственный— правильная пирамида и точка Треугольник плоский или пространственный— центр её основания (рис. 18).

а) Поскольку треугольники Треугольник плоский или пространственныйи Треугольник плоский или пространственныйоба прямоугольные, имеют общий катет Треугольник плоский или пространственныйи равные катеты Треугольник плоский или пространственныйи Треугольник плоский или пространственныйто они равны. Поэтому равны и их гипотенузы Треугольник плоский или пространственныйи Треугольник плоский или пространственныйАналогично доказывается, что другие боковые рёбра также равны Треугольник плоский или пространственный

Боковые грани пирамиды — равнобедренные треугольники с равными боковыми сторонами. Основания этих треугольников также равны друг другу как стороны правильного многоугольника, который лежит в основании пирамиды. Поэтому боковые грани равны между собой по трём сторонам.

б) Поскольку боковые грани пирамиды Треугольник плоский или пространственныйравны между собой, то равны и их высоты, проведённые из вершины Треугольник плоский или пространственныйэто значит, что все апофемы пирамиды Треугольник плоский или пространственныйравны.

Треугольник плоский или пространственный

Теорема 2. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна произведению полупериметра её основания и апофемы.

Доказательство: Пусть Треугольник плоский или пространственный— правильная пирамида (см. рис. 18). Площадь Треугольник плоский или пространственныйеё боковой поверхности состоит из площадей боковых граней, которые являются равными друг другу равнобедренными треугольниками с равными апофемами Треугольник плоский или пространственныйПоэтому

Треугольник плоский или пространственный

где Треугольник плоский или пространственный— полупериметр основания пирамиды, Треугольник плоский или пространственный— апофема пирамиды

Г) Ещё один класс пространственных фигур составляют тела вращения, к которым относятся цилиндр, конус, шар.

Цилиндром называется тело, полученное вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон (рис. 19). При этом вращении одна сторона прямоугольника остаётся неподвижной, её называют осью цилиндра. Сторона, противолежащая оси, образует поверхность, которую называют боковой поверхностью цилиндра, а саму сторону — образующей цилиндра. Ещё две стороны прямоугольника при вращении образуют поверхности, которые являются равными кругами, эти круги называют основаниями цилиндра (рис. 20). На рисунке 21 дано изображение цилиндра.

Треугольник плоский или пространственный

Конусом называется тело, полученное вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов (рис. 22), который называют осью конуса. Второй катет описывает круг, который называют основанием конуса; неподвижную вершину треугольника, которая не принадлежит основанию, называют вершиной конуса. Гипотенуза при вращении образует поверхность, которую называют боковой поверхностью конуса, саму гипотенузу называют образующей конуса (рис. 23). На рисунке 24 дано изображение конуса.

Треугольник плоский или пространственный

Шаром называется тело, полученное вращением круга вокруг своего диаметра (рис. 25). При этом вращении окружность описывает поверхность, которую называют сферой (рис. 26). На рисунке 27 дано изображение шара.

Треугольник плоский или пространственный

Пример:

Найдите площадь боковой поверхности прямой четырёхугольной призмы, в основании которой лежит прямоугольник с измерениями 4 см и 5 см, а боковое ребро равно 6 см.

Решение:

Пусть Треугольник плоский или пространственный— прямая призма; Треугольник плоский или пространственный— прямоугольник, Треугольник плоский или пространственный= 4 см, Треугольник плоский или пространственный= 5 см, Треугольник плоский или пространственный= 6 см (рис. 28).

Треугольник плоский или пространственный

Треугольник плоский или пространственный— прямоугольники ( Треугольник плоский или пространственный— прямая призма), поэтому Треугольник плоский или пространственный

Треугольник плоский или пространственный

Ответ: Треугольник плоский или пространственный

Боковая поверхность прямой призмы равна произведению периметра её основания и бокового ребра. Докажите это самостоятельно.

Пример:

Боковая поверхность правильной четырёхугольной пирамиды равна Треугольник плоский или пространственныйа её апофема — 12 см. Найдите площадь основания пирамиды.

Решение:

Пусть Треугольник плоский или пространственный— правильная четырёхугольная пирамида; Треугольник плоский или пространственный— апофема; Треугольник плоский или пространственный= 12 см (рис. 29).

Треугольник плоский или пространственныйтак как пирамида правильная, поэтому Треугольник плоский или пространственный

Тогда Треугольник плоский или пространственныйТреугольник плоский или пространственныйтак как Треугольник плоский или пространственный— квадрат.

Треугольник плоский или пространственный

Ответ: Треугольник плоский или пространственный

Площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площадей её боковых граней.

Пример:

Апофема правильной четырёхугольной пирамиды равна 30 см, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, — 24 см. Найдите боковую поверхность пирамиды.

Решение:

Пусть Треугольник плоский или пространственный— правильная четырёхугольная пирамида, Треугольник плоский или пространственный— апофема, Треугольник плоский или пространственный= 30 см, Треугольник плоский или пространственный— центр основания Треугольник плоский или пространственный Треугольник плоский или пространственный= 24 см (см. рис. 29).

Треугольник плоский или пространственный(см), так как Треугольник плоский или пространственный(см), так как Треугольник плоский или пространственный— квадрат, Треугольник плоский или пространственный(см).

Треугольник плоский или пространственный(см2),

так как пирамида правильная.

Ответ: Треугольник плоский или пространственный

В правильной пирамиде отрезок, соединяющий центр основания пирамиды с основанием апофемы пирамиды, — радиус окружности, вписанной в основание пирамиды. Докажите это самостоятельно.

Пример:

Сторона основания Треугольник плоский или пространственныйправильной треугольной пирамиды Треугольник плоский или пространственныйравна Треугольник плоский или пространственныйсм, а отрезок, который соединяет вершину Треугольник плоский или пространственныйпирамиды с центром Треугольник плоский или пространственныйоснования, — 8 см. Найдите:

а) боковые рёбра пирамиды;

б) боковую поверхность пирамиды;

в) полную поверхность пирамиды.

Решение:

Пусть Треугольник плоский или пространственный— правильная треугольная пирамида, Треугольник плоский или пространственныйсм, Треугольник плоский или пространственный— центр основания Треугольник плоский или пространственный= 8 см (рис. 30).

a) Треугольник плоский или пространственный(см), так как Треугольник плоский или пространственный— радиус окружности, описанной около правильной треугольника Треугольник плоский или пространственный

Треугольник плоский или пространственныйтак как Треугольник плоский или пространственный

Треугольник плоский или пространственныйтак как Треугольник плоский или пространственный— правильная треугольная пирамида.

б) Пусть Треугольник плоский или пространственный— апофема. Тогда Треугольник плоский или пространственный— середина Треугольник плоский или пространственныйТреугольник плоский или пространственныйи Треугольник плоский или пространственный).

Треугольник плоский или пространственный(медиана, проведённая к основанию равнобедренного треугольника Треугольник плоский или пространственный), поэтому Треугольник плоский или пространственный— радиус вписанной в Треугольник плоский или пространственныйокружности и Треугольник плоский или пространственный(см).

Треугольник плоский или пространственный(см), так как Треугольник плоский или пространственный

Треугольник плоский или пространственный(см),

Треугольник плоский или пространственныйтак как Треугольник плоский или пространственный— правильный.

Треугольник плоский или пространственный

В) Треугольник плоский или пространственный

Ответ: а) Треугольник плоский или пространственныйсм; б) Треугольник плоский или пространственный

в) Треугольник плоский или пространственный

Площадь полной поверхности пирамиды равна сумме площади боковой поверхности и площади основания

Изображение пространственных фигур

Чтобы получить изображение призмы, достаточно построить многоугольник — основание призмы. Из вершин основания провести прямые, параллельные некоторой фиксированной прямой, и отложить на них одинаковые отрезки. Соединив концы этих отрезков, получим многоугольник — изображение другого основания призмы.

Чтобы получить изображение пирамиды, достаточно построить изображение основания пирамиды, выбрать некоторую точку в качестве изображения вершины пирамиды и соединить её с вершинами многоугольника основания пирамиды.

Не каждый рисунок воспринимается нами как изображение реально существующей фигуры. Расхожее выражение «обман зрения» по сути является неверным. Глаза не могут обмануть нас, поскольку являются лишь промежуточным звеном между объектом и мозгом человека. Обман обычно возникает не из-за того, что мы видим, а из-за того, что неосознанно рассуждаем и непроизвольно ошибаемся.

Невозможные объекты представляют собой рисунки на двумерной плоскости, изображающие трёхмерные структуры, существование которых в реальном трёхмерном мире представляется невозможным. Классическим примером такой простой фигуры является невозможный треугольник Пенроуза (рис. 53). В этом треугольнике каждый угол сам по себе является возможным, но парадокс возникает тогда, когда мы рассматриваем его целиком. Стороны треугольника направлены одновременно и на зрителя, и от него, поэтому отдельные части треугольника не могут образовать реальный трёхмерный объект.

Треугольник плоский или пространственный

Наш мозг интерпретирует рисунок на плоскости как трёхмерную модель. Сознание задаёт «глубину», на которой находится каждая точка рисунка. Наши представления о реальном мире сталкиваются с противоречием, с определённой непоследовательностью, и приходится делать некоторые допущения: прямые двумерные линии интерпретируются как прямые трёхмерные линии; двумерные параллельные линии интерпретируются как трёхмерные параллельные линии; острые и тупые углы интерпретируются как прямые углы в перспективе; внешние линии рассматриваются как граница формы, которая крайне важна для восприятия определённого изображения.

Человеческое сознание сначала создаёт общий рисунок предмета, а затем анализирует его отдельные части. Каждый угол совместим с пространственной перспективой, но, соединившись, они образуют пространственный парадокс. Если закрыть любой из углов треугольника (рис. 54), то невозможность существования исчезает.

Треугольник плоский или пространственный

Похожие фигуры явились источником вдохновения для многих творцов. График Маурицио Эшер создал ряд литографий (рис. 55), которые принесли ему известность художника-иллюзиониста.

Треугольник плоский или пространственный

Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Взаимное расположения прямых на плоскости
  • Треугольник
  • Решение треугольников
  • Треугольники и окружность
  • Объем фигур вращения
  • Длина дуги кривой
  • Геометрические фигуры и их свойства
  • Основные фигуры геометрии и их расположение в пространстве

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

📽️ Видео

Пространственные фигуры. Прямые и плоскости. 10 класс. Вебинар | МатематикаСкачать

Пространственные фигуры. Прямые и плоскости.  10 класс. Вебинар | Математика

Математика. 1 класс. Плоские фигуры /14.10.2020/Скачать

Математика. 1 класс. Плоские фигуры /14.10.2020/

Урок 11. Плоские и пространственные фигуры.Скачать

Урок 11. Плоские и пространственные фигуры.

Элементы пространственных фигурСкачать

Элементы пространственных фигур

Учим плоские и объёмные геометрические фигурыСкачать

Учим плоские и объёмные геометрические фигуры
Поделиться или сохранить к себе: