В одной из статей секции «Теоритические исследования в области прикладной геометрии и практического решения задач инженерной графики» рассмотрена задача об определение точек пересечения окружности с эллиптическим конусом. Предложим другое решение этой задачи, чуть более точное.
Дано: окружность m, плоскость окружности перпендикулярна p2 и эллиптический конус S.
Решение. Точки пересечения окружности m и конуса S можно построить как точки пресечения окружности m с линией пересечения сферы Q и конуса S. Задача будет решаться проще, если сфера Q окажется соосна конусу.
Точки линии пересечения сферы Q и конуса S строятся с помощью плоскостей посредников рассекающих и сферу, и конус по окружностям. Для того чтобы провести такие плоскости найдены круговые сечения конуса S. Для этого построена проекции конуса на p3 S3 и сфера R имеющая с конусом S в двух их общих точках D и C общие касательные плоскости.
По теореме о двойном соприкосновении конус S и сфера R пересекаются по двум окружностям a и b, секущие плоскости Г и P будут рассекать и конус и сферу по окружностям g и е, f и l, которые построены на плоскость проекций p4. Пересечение окружностей g и е, f и l дает точки 2,3 и 1,4 принадлежащие линия пересечения d конуса S и сферы Q.
Необходимо особо подчеркнуть, что предложенным методом линия пресечения конуса S и сферы Q строятся совершенно точно, без лекальных кривых. Таким образом, точность решения задачи существенно повышается. Ответом задачи являются точки пересечения линий m и d — K и C.
Владимир Игоревич. Позвольте высказать замечания по представленной задаче. Линия пересечения эллиптического конуса S и вспомогательной сферы Q – пространственная кривая 4-ого порядка. Ее фронтальная проекция при совмещении осей S и Q – ветка гиперболы. В начертательной геометрии точное построение гиперболы невозможно, можно находить только отдельные ее точки. Хотя Вы пишете, что эта кривая построена точно, это не так. Ее точки – найдены точно в связи построением круговых сечений конуса. Сама гипербола – приближенно. В целом, Ваше решение весьма приближенное, причем, приближенное в принципе, как все решения НГ для подобных задач.
Если нет общей симметрии S и Q , то и в проекции будет кривая 4-ого порядка, также воспроизводимая приближенно по точкам. Кроме того, если плоскость заданной окружности не проецирующая, то двойного соприкосновения S и R не будет, и решение методами НГ получится еще менее точным.
Теперь современное геометрически точное элементарное решение в 3d графическом пакете: построить эллиптический конус, построить его сечение плоскостью заданной окружности – в сечении получим конику. Осталось поставить маркеры точек в пересечении заданной окружности и коники и измерить координаты. В общем случае получим 4-х точки (для Вашего примера — две точки, поскольку коника — эллипс). Координаты будут определены с погрешностью не более 10-6 (одна миллионная). Причем, решение будет для любого положения окружности (конечно, если пересечение есть).
Можно ли считать 3d решение точным — вопрос непростой. Ответ на него зависит от того, что ситать геометрически точным решением.
В целом, Ваше решение соответствует направлению задач номинации НГ на Вашей олимпиаде, о несостоятельности которых я говорил в своем докладе и замену которых на современные задачи я Вам предложил.
Ранее, в дискуссии на близкую тему на данной конференции было высказано по такому же поводу, что зато методами НГ студенты получат решение своими руками, а не нажатием кнопок. Так что лучше, получить неточное решение своими руками, или точное решение (причем быстро, красиво) на компьютере 3d?
Готов продолжить обсуждение.
С уважением. А.Л. Хейфец
Сальков Николай Андреевич (20 марта 2015 г. 22:56)
Александр Львович! Да, гипербола. И, точно определив 5 точек этой гиперболы, мы можем вполне точно (!) построить ее посредством законов проективной геометрии. Александр Львович, Вы сами говорили, что совершенно неизвестно, что именно зашито в AutoCAD’е. Представленный чертеж был выполнен при помощи КОМПАСа. Отечественного продукта. Тут мы можем, составив программу, точно найти миллион точек на 1 мм длины дуги. И тогда точность построения должна удовлетворить всех. Денис Вячеслававич Волошинов как-то писал, что при переходе на цифровую обработку информации, теряется часть этой информации, поскольку, хотя разрядная сетка регистров в процессорах вычислительных машин и может быть сделана очень большой, но все же не бесконечной. Следовательно, абсолютной (геометрической) точности на компьютере добиться в принципе невозможно. Мы можем лишь говорить о той ошибке в вычислениях, которая нас удовлетворяет — и не более того. Поэтому и в так называемой 3d-интерпретации решения вопрос о точности решения может быть закрыт — они все, в действительности, неточные. На компьютере невозможно добиться геометрически точного решения только потому, что компьютер — инструмент, а не наука. И как каждый инструмент имеет свою погрешность. Геометрия же — наука абстрактная, а потому — точная. В журнале ГиГ (том.2, №1, 2014) проф. Д.В. Волошинов пишет: «Ситуация, которую мы наблюдаем, — это ошибочное причисление науки, системы моделирования, к конкретному прикладному делу, что в корне неверно». Ну не надо путать науку с инструментом!
С уважением, Сальков.
Бойков Алексей Александрович (21 марта 2015 г. 12:58)
Андрей Николаевич! Гиперболу можно преобразовать в эллипс или окружность, подобрав подходящий конус или центр гомологии, и тогда решие найдется точно. С параболой получается.
С уважением, А.А. Бойков
Хейфец Александр Львович (21 марта 2015 г. 18:09)
Алексей Александрович, как отмечено, гипербола здесь получается лишь в частном случае, а в общем — проекция будет кривой 4-ого порядка и ее не возмешь проективной геометрией. И в целом, коллеги, что нужно в этой простой задаче и аналогичной ей: «результат или процесс поиска». Если результат — то включайте 3d редактор (как сказано выше) , если процесс — то ищите.
Видео:Линия пересечения двух поверхностей вращения (Метод вспомогательных сфер)Скачать
Чертежик
Метки
Видео:Линия пересечения двух поверхностей конус и цилиндр (Метод секущих плоскостей)Скачать
Пересечение конуса и сферы пошаговое построение
Пересечение конуса и сферы в данной статье выполняется методом вспомогательных секущих плоскостей. Ниже представлено задание на определение линии пересечения фигур.
Порядок построения на пересечение конуса и сферы:
Первоначально находятся точки в нижнем изображении, затем полученные точки переносятся в верхнее изображение.
1.) Чертятся фигуры согласно заданию.
2.) Строятся и подписываются вспомогательные секущие плоскости. Можно указать первую точку, она находится в верхней части соприкосновения фигур. Смотрите на рисунок снизу.
3.) Плоскость «а» пересекает две фигуры (обозначено синим цветом). Чертятся окружности (синим цветом показаны) на нижнем изображении, опущенные от крайних точек фигур. В месте пересечения ставятся точки.
4.) Плоскость «m» (имеет сиреневый цвет) пересекла данные фигуры. В нижнем изображении также чертятся окружности (сиреневый цвет) и в месте пересечения указываются точки.
5.) Плоскость «n». Повторяются операции выполняемых в пунктах 4 и 3.
6.) Указывают последнюю точку, расположенная в нижней части пересечения фигур
7.) Все найденные точки переносятся из нижнего изображения в верхнее. Для более понятного представления я не зря показал линии разными цветами.
8.) Соединяются точки плавной линией. Соединив, можно уже увидеть как выглядит линия пересечения.
9.) Завершающим шагом является удаление всех дополнительных линий с последующим обведением контуров фигур.
Не стоит забывать про видимые и невидимые линии чертежа и их применение.
Кода все сделано, можно взглянуть на полученный чертеж.
Видео:Построение линии пересечения поверхности конуса с проецирующей плоскостьюСкачать
Построение линии пересечения конусов методом концентрических сфер
На рисунке ниже изображены два конуса вращения. Их оси i1 и i2, пересекаясь в точке O, образуют плоскость α(i1∩i2), которая параллельна фронтальной плоскости проекций π2.
Для построения линии пересечения конусов, показанных на рисунке, целесообразно использовать метод концентрических сфер. Применение данного метода возможно в результате выполнения следующих условий:
пересекаются поверхности вращения (в частности, конус с конусом, конус с тором или цилиндром и т.д.);
оси поверхностей, пересекаясь между собой, образуют плоскость, которая параллельна одной из плоскостей проекций (в рассматриваемом примере пл. α(i1∩i2)∥π2).
Видео:Точка встречи прямой с поверхностью конусаСкачать
Алгоритм построения линии пересечения
Построение линии пересечения начинают с нахождения характерных точек, которые определяют ее границы и видимость относительно плоскостей проекций.
Определение характерных точек
Плоскость α, образованная пересекающимися осями i1 и i2, является общей плоскостью симметрии двух конусов. На рисунке показан ее горизонтальный след h0α. Пересечение пл. α с конусами происходит по образующим S2A, S2B и S1C, S1D. Данные образующие ещё называют очерковыми, так как они очерчивают границы поверхностей (на фронтальной проекции).
Точки F’’, E’’, G’’, K’’, в которых пресекаются прямые S’’2A’’, S’’2B’’ с прямыми S’’1C’’ и S’’1D’’, определяют границы линии пересечения конусов в её проекции на плоскость π2. Для нахождения F’, E’, G’ и K’ проводят линии связи из F’’, E’’, G’’, K’’ до горизонтального следа h0α.
Определение промежуточных точек
Воспользуемся методом концентрических сфер для нахождения множества промежуточных точек линии пересечения. Центром, из которого проводятся вспомогательные сферы, является точка O пересечения осей i1 и i2 рассматриваемых конусов.
Радиус Rmax наибольшей сферы, применяемой в построениях, равен длине отрезка O’’G’’ – расстоянию от точки O до наиболее удаленной от нее точки G пересечения очерковых образующих.
Сфера минимального радиуса Rmin – это сфера, вписанная в один из конусов и пересекающая другой. На рисунке ниже Rmin= O’’H’’, где O’’H’’⊥ S’’2B’’.
Рассмотрим построение точек 1, 2, 3 и 4. Сфера радиусом Rmin пересекается с конусом, в которой она вписана, по окружности. Данная окружность проецируется на фронтальную плоскость проекций в виде отрезка P’’H’’. Кроме того, сфера радиусом Rmin пересекается со вторым конусом по двум окружностям, диаметры которых соответственно равны длинам отрезков M’’N’’ и T’’L’’. Таким образом, на поверхности сферы лежат три окружности, которые пересекаются в общих для двух конусов точках 1, 2, 3 и 4.
Фронтальные проекции 1’’, 2’’, 3’’, 4’’ находятся на пересечении отрезков M’’N’’, T’’L’’ с P’’H’’. Для нахождения горизонтальных проекций 1’, 2’, 3’, 4’ точек 1, 2, 3, 4 на плоскости проекций π1 из центра O’ проводим две окружности с диаметрами M’’N’’ и T’’L’’. Учитывая принадлежность точек соответствующим окружностям, по линиям связи определяем их горизонтальные проекции, как это показано на рисунке выше.
С помощью вспомогательной сферы радиусом Rvar, где Rmin ≤ Rvar ≤ Rmax, найдены точки 5 и 6. Как видно из построений, они находятся на пересечении двух окружностей, которые проецируются на фронтальную плоскость в виде отрезков W’’U’’ и Q’’V’’.
В описываемом способе решения каждая сфера играет роль посредника, содержащего на своей поверхности кривые (окружности), принадлежащие пересекающимся конусам. Действуя в соответствии с приведенным выше алгоритмом, необходимо найти такое количество точек, которое позволит определить геометрическую форму линии пересечения на каждой из проекций.
Найденные точки соединяем плавными кривыми с учетом их видимости. Как видно на рисунке, в результате пересечения конусов образовались две замкнутые линии. Они показаны красным цветом.
