Точки касания вписанной окружности в треугольник формула

Окружность, вписанная в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
Точки касания вписанной окружности в треугольник формулаСуществование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
Точки касания вписанной окружности в треугольник формулаФормулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник
Точки касания вписанной окружности в треугольник формулаВывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Видео:Математика за минуту: Объяснение формулы радиуса вписанной окружности в прямоугольный треугольник.Скачать

Математика за минуту: Объяснение формулы радиуса вписанной окружности в прямоугольный треугольник.

Существование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла

Определение 1 . Биссектрисой угла называют луч, делящий угол на две равные части.

Теорема 1 (Основное свойство биссектрисы угла) . Каждая точка биссектрисы угла находится на одном и том же расстоянии от сторон угла (рис.1).

Точки касания вписанной окружности в треугольник формула

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на биссектрисе угла BAC , и опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.1). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны острые углы DAF и DAE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

что и требовалось доказать.

Теорема 2 (обратная теорема к теореме 1) . Если некоторая точка находится на одном и том же расстоянии от сторон угла, то она лежит на биссектрисе угла (рис.2).

Точки касания вписанной окружности в треугольник формула

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую внутри угла BAC и находящуюся на одном и том же расстоянии от сторон угла. Опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.2). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

Точки касания вписанной окружности в треугольник формула

что и требовалось доказать.

Определение 2 . Окружность называют окружностью, вписанной в угол , если она касается касается сторон этого угла.

Теорема 3 . Если окружность вписана в угол, то расстояния от вершины угла до точек касания окружности со сторонами угла равны.

Доказательство . Пусть точка D – центр окружности, вписанной в угол BAC , а точки E и F – точки касания окружности со сторонами угла (рис.3).

Точки касания вписанной окружности в треугольник формула

Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE (как радиусы окружности радиусы окружности ), а гипотенуза AD – общая. Следовательно

что и требовалось доказать.

Замечание . Теорему 3 можно сформулировать и по-другому: отрезки касательных касательных , проведенных к окружности из одной точки, равны.

Определение 3 . Биссектрисой треугольника называют отрезок, являющийся частью биссектрисы угла треугольника, и соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне.

Теорема 4 . В любом треугольнике все три биссектрисы пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим две биссектрисы, проведённые из вершин A и C треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 4).

Точки касания вписанной окружности в треугольник формула

Опустим из точки O перпендикуляры OD , OE и OF на стороны треугольника. Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла BAC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла ACB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Следовательно, справедливо равенство:

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на биссектрисе угла ABC . Таким образом, все три биссектрисы треугольника проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать

Определение 4 . Окружностью, вписанной в треугольник , называют окружность, которая касается всех сторон треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, описанным около окружности .

Точки касания вписанной окружности в треугольник формула

Следствие . В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну. Центром вписанной в треугольник окружности является точка, в которой пересекаются все биссектрисы треугольника.

Видео:Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

Формулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Формулы, позволяющие найти радиус вписанной в треугольник окружности , удобно представить в виде следующей таблицы.

Точки касания вписанной окружности в треугольник формула

a, b, c – стороны треугольника,
S – площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр

Точки касания вписанной окружности в треугольник формула.

Точки касания вписанной окружности в треугольник формула

Точки касания вписанной окружности в треугольник формула

Точки касания вписанной окружности в треугольник формула

a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Точки касания вписанной окружности в треугольник формула

ФигураРисунокФормулаОбозначения
Произвольный треугольникТочки касания вписанной окружности в треугольник формула
Равнобедренный треугольникТочки касания вписанной окружности в треугольник формула
Равносторонний треугольникТочки касания вписанной окружности в треугольник формула
Прямоугольный треугольникТочки касания вписанной окружности в треугольник формула

Точки касания вписанной окружности в треугольник формула

где
a, b, c – стороны треугольника,
S –площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Точки касания вписанной окружности в треугольник формула.

Точки касания вписанной окружности в треугольник формула

где
a, b, c – стороны треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Точки касания вписанной окружности в треугольник формула.

Точки касания вписанной окружности в треугольник формула

Точки касания вписанной окружности в треугольник формула

где
a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Точки касания вписанной окружности в треугольник формула

Произвольный треугольник
Точки касания вписанной окружности в треугольник формула
Равнобедренный треугольник
Точки касания вписанной окружности в треугольник формула
Равносторонний треугольник
Точки касания вписанной окружности в треугольник формула
Прямоугольный треугольник
Точки касания вписанной окружности в треугольник формула
Произвольный треугольник
Точки касания вписанной окружности в треугольник формула

Точки касания вписанной окружности в треугольник формула

где
a, b, c – стороны треугольника,
S –площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Точки касания вписанной окружности в треугольник формула.

Точки касания вписанной окружности в треугольник формула

Точки касания вписанной окружности в треугольник формула

где
a, b, c – стороны треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Точки касания вписанной окружности в треугольник формула.

Равнобедренный треугольникТочки касания вписанной окружности в треугольник формула

Точки касания вписанной окружности в треугольник формула

Равносторонний треугольникТочки касания вписанной окружности в треугольник формула

Точки касания вписанной окружности в треугольник формула

где
a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Прямоугольный треугольникТочки касания вписанной окружности в треугольник формула

Точки касания вписанной окружности в треугольник формула

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Вывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Теорема 5 . Для произвольного треугольника справедливо равенство

Точки касания вписанной окружности в треугольник формула

где a, b, c – стороны треугольника, r – радиус вписанной окружности, Точки касания вписанной окружности в треугольник формула– полупериметр (рис. 6).

Точки касания вписанной окружности в треугольник формула

Точки касания вписанной окружности в треугольник формула

с помощью формулы Герона получаем:

Точки касания вписанной окружности в треугольник формула

Точки касания вписанной окружности в треугольник формула

Точки касания вписанной окружности в треугольник формула

что и требовалось.

Теорема 6 . Для равнобедренного треугольника справедливо равенство

Точки касания вписанной окружности в треугольник формула

где a – боковая сторона равнобедренного треугольника, b – основание, r – радиус вписанной окружности (рис. 7).

Точки касания вписанной окружности в треугольник формула

Точки касания вписанной окружности в треугольник формула

Точки касания вписанной окружности в треугольник формула

то, в случае равнобедренного треугольника, когда

Точки касания вписанной окружности в треугольник формула

Точки касания вписанной окружности в треугольник формула

Точки касания вписанной окружности в треугольник формула

Точки касания вписанной окружности в треугольник формула

Точки касания вписанной окружности в треугольник формула

Точки касания вписанной окружности в треугольник формула

что и требовалось.

Теорема 7 . Для равностороннего треугольника справедливо равенство

Точки касания вписанной окружности в треугольник формула

где a – сторона равностороннего треугольника, r – радиус вписанной окружности (рис. 8).

Точки касания вписанной окружности в треугольник формула

Точки касания вписанной окружности в треугольник формула

то, в случае равностороннего треугольника, когда

Точки касания вписанной окружности в треугольник формула

Точки касания вписанной окружности в треугольник формула

что и требовалось.

Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в равносторонний треугольник, непосредственно, т.е. без использования общих формул для радиусов окружностей, вписанных в произвольный треугольник или в равнобедренный треугольник.

Теорема 8 . Для прямоугольного треугольника справедливо равенство

Точки касания вписанной окружности в треугольник формула

Точки касания вписанной окружности в треугольник формула

Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

Точки касания вписанной окружности в треугольник формула

Поскольку четырёхугольник CDOF является прямоугольником прямоугольником , у которого соседние стороны DO и OF равны, то этот прямоугольник – квадрат квадрат . Следовательно,

В силу теоремы 3 справедливы равенства

Точки касания вписанной окружности в треугольник формула

Точки касания вписанной окружности в треугольник формула

Следовательно, принимая также во внимание теорему Пифагора, получаем

Точки касания вписанной окружности в треугольник формула

Точки касания вписанной окружности в треугольник формула

что и требовалось.

Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, с помощью общей формулы для радиуса окружности, вписанной в произвольный треугольник.

Видео:Волшебная формула для вписанной окружностиСкачать

Волшебная формула для вписанной окружности

Вписанная окружность

Точки касания вписанной окружности в треугольник формула

Вписанная окружность — это окружность, которая вписана
в геометрическую фигуру и касается всех его сторон.

Окружность, точно можно вписать в такие геометрические фигуры, как:

  • Треугольник
  • Выпуклый, правильный многоугольник
  • Квадрат
  • Равнобедренная трапеция
  • Ромб

В четырехугольник, можно вписать окружность,
только при условии, что суммы длин
противоположных сторон равны.

Во все вышеперечисленные фигуры
окружность, может быть вписана, только один раз.

Окружность невозможно вписать в прямоугольник
и параллелограмм, так как окружность не будет
соприкасаться со всеми сторонам этих фигур.

Геометрические фигуры, в которые вписана окружность,
называются описанными около окружности.

Описанный треугольник — это треугольник, который описан
около окружности и все три его стороны соприкасаются с окружностью.

Описанный четырехугольник — это четырехугольник, который описан
около окружности и все четыре его стороны соприкасаются с окружностью.

Свойства вписанной окружности

В треугольник

  1. В любой треугольник может быть вписана окружность, причем только один раз.
  2. Центр вписанной окружности — точка пересечения биссектрис треугольника.
  3. Вписанная окружность касается всех сторон треугольника.
  4. Площадь треугольника, в который вписана окружность, можно рассчитать по такой формуле:

[ S = frac(a+b+c) cdot r = pr ]

p — полупериметр четырехугольника.
r — радиус вписанной окружности четырехугольника.

  • Центр окружности вписанной в треугольник равноудален от всех сторон.
  • Точка касания — это точка, в которой соприкасается
    окружность и любая из сторон треугольника.
  • От центра вписанной окружности можно провести
    перпендикуляры к любой точке касания.
  • Вписанная в треугольник окружность делит стороны
    треугольника на 3 пары равных отрезков.
  • Вписанная и описанная около треугольника окружность тесно взаимосвязаны.
    Поэтому, расстояние между центрами этих окружностей можно найти с помощью формулы Эйлера:

    с — расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника.
    R — радиус описанной около треугольника.
    r — радиус вписанной окружности треугольника.

    В четырехугольник

    1. Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность.
    2. Если у четырехугольника суммы длин его противолежащих
      сторон равны, то окружность, может быть, вписана (Теорема Пито).
    3. Центр вписанной окружности и середины двух
      диагоналей лежат на одной прямой (Теорема Ньютона, прямая Ньютона).
    4. Точка пересечения биссектрис — это центр вписанной окружности.
    5. Точка касания — это точка, в которой соприкасается
      окружность и любая из сторон четырехугольника.
    6. Площадь четырехугольника, в который вписана окружность, можно рассчитать по такой формуле:

    [ S = frac(a+b+c+d)cdot r = pr ]

    p — полупериметр четырехугольника.
    r — радиус вписанной окружности четырехугольника.

  • Точка касания вписанной окружности, которая лежит на любой из сторон,
    равноудалены от этой конца и начала этой стороны, то есть от его вершин.
  • Примеры вписанной окружности

    • Треугольник
      Точки касания вписанной окружности в треугольник формула
    • Четырехугольник
      Точки касания вписанной окружности в треугольник формула
    • Многоугольник
      Точки касания вписанной окружности в треугольник формула

    Примеры описанного четырехугольника:
    равнобедренная трапеция, ромб, квадрат.

    Примеры описанного треугольника:
    равносторонний
    , равнобедренный,
    прямоугольный треугольники.

    Верные и неверные утверждения

    1. Радиус вписанной окружности в треугольник и радиус вписанной
      в четырехугольник вычисляется по одной и той же формуле. Верное утверждение.
    2. Любой параллелограмм можно вписать в окружность. Неверное утверждение.
    3. В любой четырехугольник можно вписать окружность. Неверное утверждение.
    4. В любой ромб можно вписать окружность. Верное утверждение.
    5. Центр вписанной окружности треугольника это точка пересечения биссектрис. Верное утверждение.
    6. Окружность вписанная в треугольник касается всех его сторон. Верное утверждение.
    7. Угол вписанный в окружность равен соответствующему центральному
      углу опирающемуся на ту же дугу. Неверное утверждение.
    8. Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник равен
      половине разности суммы катетов и гипотенузы. Верное утверждение.
    9. Вписанные углы опирающиеся на одну и ту же хорду окружности равны. Неверное утверждение.
    10. Вписанная окружность в треугольник имеет в общем
      три общие точки со всеми сторонами треугольника. Верное утверждение.

    Окружность вписанная в угол

    Окружность вписанная в угол — это окружность, которая
    лежит внутри этого угла и касается его сторон.

    Центр окружности, которая вписана в угол,
    расположен на биссектрисе этого угла.

    К центру окружности вписанной в угол, можно провести,
    в общей сложности два перпендикуляра со смежных сторон.

    Длина диаметра, радиуса, хорды, дуги вписанной окружности
    измеряется в км, м, см, мм и других единицах измерения.

    Видео:✓ Как вневписанная окружность Герону помогла | Ботай со мной #083 | Борис ТрушинСкачать

    ✓ Как вневписанная окружность Герону помогла | Ботай со мной #083 | Борис Трушин

    Окружность, вписанная в треугольник

    Что такое окружность, вписанная в треугольник? Какие у вписанной окружности свойства?

    Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон.

    Общие точки окружности и треугольника называются точками касания.

    Точки касания вписанной окружности в треугольник формулаЗапись окр. (O; r) читают: «Окружность с центром в точке O и радиусом r».

    На рисунке окр. (O; r) — вписанная в треугольник ABC.

    M, K, F- точки касания.

    Свойства вписанной в треугольник окружности.

    Точки касания вписанной окружности в треугольник формула

    1) Центр вписанной в треугольник окружности является точкой пересечения биссектрис этого треугольника.

    Точки касания вписанной окружности в треугольник формула

    2) Отрезки соединяющие центр вписанной окружности с точками касания, перпендикулярны сторонам треугольника (как радиусы, проведенные в точку касания):

    Точки касания вписанной окружности в треугольник формула

    Точки касания вписанной окружности в треугольник формула

    Точки касания вписанной окружности в треугольник формула

    Точки касания вписанной окружности в треугольник формула

    3) Вписанная в треугольник окружность делит стороны треугольника на 3 пары равных отрезков.

    Точки касания вписанной окружности в треугольник формула

    Точки касания вписанной окружности в треугольник формула

    Точки касания вписанной окружности в треугольник формула

    (как отрезки касательных, проведенные из одной точки).

    🎥 Видео

    Отрезки касательных из одной точки до точек касания окружности равны | Окружность | ГеометрияСкачать

    Отрезки касательных из одной точки до точек касания окружности равны | Окружность |  Геометрия

    8 Расстояние от вершины треугольника до точек касания вписанной окружности со сторонамиСкачать

    8 Расстояние от вершины треугольника до точек касания вписанной окружности со сторонами

    Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

    Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

    Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.Скачать

    Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.

    Формула радиуса вписанной окружности треугольника. Геометрия 9 классСкачать

    Формула радиуса вписанной окружности треугольника. Геометрия 9 класс

    Радиус вписанной окружности, формулу через площадь и полупериметрСкачать

    Радиус вписанной окружности, формулу через площадь и полупериметр

    Формулы для радиуса окружности #shortsСкачать

    Формулы для радиуса окружности #shorts

    №17 Лемма о трезубце | Вписанная и вневписанная окружности | Это будет на ЕГЭ 2024 по математикеСкачать

    №17 Лемма о трезубце | Вписанная и вневписанная окружности | Это будет на ЕГЭ 2024 по математике

    Геометрия Точка касания вписанной окружности делит гипотенузу прямоугольного треугольника на отрезкиСкачать

    Геометрия Точка касания вписанной окружности делит гипотенузу прямоугольного треугольника на отрезки

    №203. Через центр О окружности, вписанной в треугольник ABC, проведена прямая ОK, перпендикулярнаяСкачать

    №203. Через центр О окружности, вписанной в треугольник ABC, проведена прямая ОK, перпендикулярная

    Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать

    Вписанные  и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.

    Геометрия В равнобедренный треугольник вписана окружность Точка касания делит боковую сторонуСкачать

    Геометрия В равнобедренный треугольник вписана окружность Точка касания делит боковую сторону

    Геометрия Точка касания окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, делит его гипотенузу наСкачать

    Геометрия Точка касания окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, делит его гипотенузу на

    Г: В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки 5 12Скачать

    Г: В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки 5 12

    Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.Скачать

    Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.
    Поделиться или сохранить к себе: