Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc

Геометрия в 9-ом классе

Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc

Решение более сложных задач для 9 класса. Рассмотрены задачи из планиметрии.

Просмотр содержимого документа
«Геометрия в 9-ом классе»

Геометрия в 9-ом классе

Дана окружность ω радиуса r=8. Прямая aa, проходящая через точку A, лежащую вне окружности ω, пересекает окружность ω в точках B и C. Известно, что AB=4, AC=9.

По теореме о секущей и касательной AK 2 =AB⋅AC, откуда AK=AB⋅AC=√4⋅9=6.

Степень точки A равна AB⋅AC=AO2−r2. Отсюда AO2=r2+AB⋅AC=64+36=100, следовательно, AO=10.

Сторону AB треугольника ABC продолжили за вершину B и выбрали на луче AB точку A1 так, что точка B — середина отрезка AA1 . Сторону BC продолжили за вершину C и отметили на продолжении точку B1 так, что C — середина BB1. Аналогично, продолжили сторону CA за вершину A и отметили на продолжении точку C1 так, что A – середина CC1. Найдите площадь треугольника A1B1C1, если площадь треугольника ABC равна 1.

Соединим точки A и B1, B и C1, C и A1 отрезками. Полученные отрезки являются медианами в треугольниках C1CB1, A1AC1, B1BA1 соответственно. Отсюда следует, что SBC1A=SBC1A1, SCA1B=SCA1B1, SAB1C=SAB1C1.

Заметим, что отрезки BA, CB, AC — медианы в треугольниках CBC1, ACA1, BAB1 соответственно. Отсюда (по свойству медианы, а также из сказанного ранее) вытекает, что SABC=SABC1=SBC1A1, SABC=SAB1C=SAB1C1.

Таким образом, мы доказали, что все маленькие треугольники, на которые разбит треугольник A1B1C1, имеют равную площадь, причем она равна 1, поскольку один из этих треугольников есть треугольник ABC. Всего маленьких треугольников ровно 7, значит, площадь треугольника A1B1C1 равна 7.

Вершины A, B, C и D параллелограмма ABCD соединили с серединами сторон BC, CD, DA и AB (обозначим эти точки через A1, B1, C1 и D1) соответственно. Найдите площадь ограниченного этими прямыми четырехугольника, если SABCD=10.

Введем следующие обозначения: K — пересечение AA1 и BB1, P — пересечение BB1 и CC1, L — пересечение CC1 и DD1 M — пересечение DD1 и AA1. Заметим, что четырехугольник KPLM параллелограмм, поскольку AA1∥CC1, BB1∥DD1.

Высоты BH1 и СH2, опущенные из точек B и C на прямую AA1, одинаковы, поскольку прямоугольные треугольники BH1A1 и CH2A1 равны по гипотенузе (BA1=A1C) и острому углу.

Заметим, что AK=2MK, это вытекает из теоремы Фалеса, поскольку AB=2AD1, а прямые BB1∥DD1. Отсюда следует, что AM=MK. Аналогично получаем, что BK=KP, CP=PL, DL=LM.

Из выше сказанного следует, что SABK=SKPLM. Действительно, SABK=12BH1⋅AK=BH1⋅MK=CH2⋅MK, а поскольку CH2 — расстояние между параллельными прямыми AA1 и CC1, то CH2 равно высоте параллелограмма, откуда получается, что CH2⋅MK=SKPLM.

Аналогично получается, что SABK=SBCP=SCDL=SDAM=SKPLM. Все эти равные площади вместе дают площадь параллелограмма ABCD. То есть 5SKPLM=SABCD, поэтому SKPLM=2.

Прямая, соединяющая центр описанной окружности и ортоцентр неравнобедренного треугольника, параллельна биссектрисе одного из его углов. Чему равен этот угол?

Без ограничения общности можно считать, что биссектриса угла C треугольника ABC параллельная прямой Эйлера HO (все обозначения стандартны). Пусть C1 — середина отрезка AB, а точка C0 — середина дуги AB, иными словами, вторая точка пересечения биссектрисы угла C с описанной окружностью треугольника ABC. Пусть CK — высота из точки C на прямую AB. Заметим, что прямые OC0 и CH параллельны, так как обе перпендикулярны прямой AB. Если точка H находится между точек C и K, или KK между C и H, то точки O и H будут находиться по разные стороны относительно прямой CC0, а это противоречит условию задачи. Поэтому точка C находится между точками H и K, что значит, что ∠С90∘.

Заметим, что четырехугольник OC0CH — параллелограмм (его стороны попарно параллельны), тогда CH=OC0=R, где R — радиус описанной окружности. Известно, что CH=2OC1, поэтому легко видеть, что в прямоугольном треугольнике OC1B катет OC1 равен половине гипотенузы OB=R, значит, ∠BOC1=60∘. Это половина центрального угла AOB, тогда вписанный угол AC0B равен 60∘, а угол C дополняет его до 180∘, то есть ∠C=180∘−60∘=120∘.

Отрезки, соединяющие основания высот остроугольного треугольника ABC, равны 5, 12 и 13. Найдите радиус описанной около треугольника ABC окружности.

Заметим, что треугольник с вершинами в основаниях высот прямоугольный (следует из теоремы Пифагора). Пусть его вершины A1, B1, C1 напротив точек A, B, C соответственно, причем A1C1=13. Тогда A1BC1 подобен треугольнику ABC, причем коэффициент подобия равен cos∠B. Известно, что отрезки, соединяющие основания высот, входят в эти точки под равными углами, причем равными соответствующим углам треугольника, то есть, в данном случае ∠AB1C1=∠CB1A1=∠B, а поскольку ∠A1B1C1=90∘, то оба уголка при вершине B1 равны по 45∘, откуда следует, что ∠B=45∘. Таким образом, AC=A1C1cos∠B=132–√AC=A1C1cos⁡∠B=132. Радиус описанной окружности треугольника ABCABC легко находится по теореме синусов: R=AC2sin∠B=132–√⋅2–√2=13R=AC2sin⁡∠B=132⋅22=13.

Внутри параллелограмма ABCDABCD взята точка OO так, что ∠OAD=∠OCD. Известно, что ∠BAD=75∘, ∠OBA=65∘, найдите градусную меру ∠ODC.

Если сделать параллельный перенос всей картинки на вектор AD→, то при этом преобразовании точка CCперейдет в точку C′, D — в точку D′

. Ясно, что точка A перейдет в точку D, а точка B перейдет в C.

Ясно, что ∠OAD = ∠O′DD′. Нетрудно заметить, что ∠OO′D=∠O′DD′, как накрест лежащие углы при параллельных прямых OO′′ и DD′′. Отсюда следует, что ∠OCD=∠OAD=∠O′DD′=∠OO′D, значит четырехугольник OCO′D — вписанный.

Отсюда можно получить, что ∠ODC=∠OO′C, который из аналогичных предыдущему рассуждений равен ∠O′CC′=∠OBC. Остается просто посчитать. Ясно, что

Пусть IA, IB, IC — центры вневписанных окружностей треугольника ABC, касающихся сторон BC, AC, AB соответственно. Известно, что BC=5√3, ∠A=60∘. Найдите радиус описанной окружности треугольника IAIBIC.

Рассмотрим точки A1, B1, C1 — пересечения с описанной окружностью треугольника ABC биссектрис его углов при вершинах A, B, C. Из обобщенной леммы о трезубце следует, что IA1=IAA1, IB1=IBB1, IC1=ICC1, где I — центр вписанной окружности треугольника ABC.

Заметим, что при гомотетии с центром в точке II и коэффициентом k=2точки A1, B1, C1 переходят в точки IA, IB, IC.

Таким образом, получается, что радиус описанной окружности треугольника IAIBIC равен удвоенному радиусу описанной окружности треугольника A1B1C1, которая совпадает с описанной окружностью треугольника ABC.

Ее радиус легко находится по теореме синусов в треугольнике ABC. Имеем

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Вневписанная окружность треугольника.

Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc

Определение.

Окружность, касающаяся стороны треугольника и продолжения двух других его сторон, называется вневписанной окружностью треугольника.

Теорема 1.

Центр окружности, вневписанной в треугольник, есть точка пересечения биссектрис двух внешних и одного внутреннего угла треугольника.

Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc

Доказательство.

BF — биссектриса ∠JBG, следовательно F равноудалена от сторон данного угла.

СF — биссектриса ∠JСH, следовательно F равноудалена от сторон данного угла.

Следовательно, точка F равноудалена от сторон ∠BAC.

Таким образом, точка F — центр окружности, касающейся стороны BC и продолжения сторон AB и AC. По определению данная окружность называется вневписанной окружностью треугольника.

Теорема 2.

Отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой касания вневписанной окружности и противолежащей стороны, делит треугольник на два треугольника равного периметра.

Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc

Доказательство.

BJ=BG, GC=CH и AJ=AH (свойство отрезков касательных, проведенных из одной точки к окружности).

PΔABC=AB+ BC +AC=AB+ BG + GC +AC=AB+ BJ + AC +CH=AJ+AH.

Так как AJ=AH, то PΔABC/2=AJ=AH и PΔABC/2+AG=AJ+AG=AH+AG=AB+BG+GA=AC+CG+GA.

Следовательно, отрезок AG поделил треугольник ABC на два треугольника равного периметра PΔABC/2+AG.

Видео:2031 окружность центром в точке О описана около равнобедренного треугольника ABCСкачать

2031 окружность центром в точке О описана около равнобедренного треугольника ABC

Вневписанная окружность (8 — 9 класс)

Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc

Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc

Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc

Методическая разработка по геометрии «Вневписанная окружность».

Литвинова Светлана Александровна,

учитель высшей квалификационной категории

МОУ гимназии № 7 г. Волгограда,

Тараева Галина Юрьевна,

учитель высшей квалификационной категории

МОУ гимназии № 7 г. Волгограда.

Действующие школьные программы по математике не предусматривают изучение понятия вневписанной окружности треугольника. Однако с ним полезно ознакомиться, так как решение некоторых типов геометрических задач, и, прежде всего задач на построение, связано с использованием этого понятия.

Вневписанная окружность представляется изысканным элементом геометрии треугольника. А вот знакомство с ней зачастую ограничивается определением, нахождением ее центра и решением нескольких популярных задач, встречающихся на конкурсных экзаменах. Но при более подробном знакомстве с вневписанной окружностью можно увидеть в ней скрытую красоту и силу.

Простейший из многоугольников – треугольник – играет в геометрии особую роль. За несколько тысячелетий геометры столь подробно изучили треугольник, что иногда говорят о «геометрии треугольника» как о самостоятельном разделе элементарной геометрии.

Первые упоминания о треугольнике и его свойствах мы находим в египетских папирусах, которым более 4000 лет. Через 2000 лет в Древней Греции изучение свойств треугольника достигает высокого уровня – достаточно вспомнить теорему Пифагора и формулу Герона.

Центральное место в геометрии треугольника занимают свойства так называемых замечательных точек и линий.

Три серединных перпендикуляра к сторонам треугольника пересекаются в одной точке – центре описанной около треугольника окружности.

Биссектрисы трех внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке – центре вписанной в треугольник окружности.

Если рассмотреть дополнительно биссектрисы трех пар внешних углов треугольника, то получаются еще три замечательных точки – центры вневписанных окружностей.

В XV — XVI веках появилось огромное количество исследований свойств треугольника. Эти исследования составили большой раздел планиметрии, получивший название «Новая геометрия треугольника». Вот одна из замечательных теорем того времени, принадлежащая Л. Эйлеру: «Середины сторон треугольника, основания его высот и середины отрезков высот от вершины до точки их пересечения лежат на одной окружности». Она обычно называется окружностью девяти точек (по количеству замечательных точек, через которые она проходит).

У каждого треугольника имеется, и притом только единственная, окружность девяти точек. Это – окружность, проходящая через следующие три тройки точек, положение которых определено для треугольника (рис.1): основания его высот D1, D2, и D3,, основания его медиан D4, D 5 и D 6, середины D7, D8 и D9 отрезков прямых от точки пересечения его высот H до его вершин.

ЭТочки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abcта окружность, найденная в XVIII в. великим ученым Л. Эйлером (поэтому ее часто также называют окружностью Эйлера), была заново открыта немецким математиком XIX века К. Фейербахом (братом известного философа).

Дополнительно К. Фейербах выяснил, что окружность девяти точек имеет еще четыре точки, тесно связанные с геометрией любого данного треугольника. Это – точки ее касания с четырьмя окружностями. Одна из этих окружностей вписанная, остальные три – вневписанные (рис.2).

ТТочки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abcочки касания этих окружностей с окружностью девяти точек D10 , D11 , D12 и D13 называются точками Фейербаха. Таким образом, окружность девяти точек в действительности является окружностью тринадцати точек.

Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abcРис.3.

Прямые в треугольнике, соединяющие его вершины с точками касания вневписанных окружностей, пересекаются в одной точке (рис.3), которая называется точкой Нагеля в честь открывшего ее немецкого математика Августа Нагеля (1821-1903).

I . Вневписанная окружность и ее свойства

1. Задачи, приводящие к понятию вневписанной окружности

В курсе геометрии 8-го класса при изучении темы «Вписанная и описанная окружности» предлагается вписать окружность в произвольный треугольник. Решение данной задачи однозначно. Но стоит изменить условие следующим образом «Построить окружность, касающуюся трех данных несовпадающих прямых AB, BC и CA», как однозначность решения пропадает.

Выясним, какие вообще бывают окружности, касающиеся трех данных прямых.

Так как прямые не совпадают, то точки А, В и С не лежат на одной прямой. Центр окружности, касающейся двух прямых, лежит на биссектрисах углов, полученных при пересечении этих прямых (рис.4).

РТочки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abcис.4.

Поэтому центры окружностей, касающихся прямых AB, BC и CA лежат на биссектрисах внешних или внутренних углов треугольника (или же на их продолжениях) (рис.5).

Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc

В итоге получаем четыре окружности с центрами О, Оа, Оb, Ос, касающиеся трех данных несовпадающих прямых. При этом одна из них будет вписанной в треугольник окружностью, а три других — вневписанными окружностями.

Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abcСуществует еще одна проблема, приводящая к понятию вневписанной окружности. Нетрудно с помощью циркуля и линейки построить треугольник по его сторонам. Чуть труднее сделать это по медианам или высотам. А вот построить треугольник по биссектрисам (в общем случае) невозможно. Если провести все три биссектрисы внешних углов треугольника, то образуются три точки их пересечения. Каждая из этих точек одинаково отстоит от прямых, содержащих стороны данного треугольника. Поэтому можно провести окружность с центром в такой точке, касающуюся всех сторон треугольника или их продолжений. Такие окружности и будут вневписанными.

2. Определение вневписанной окружности, ее центр и радиус

Дадим определение вневписанной окружности.

Определение: Вневписанной окружностью треугольника называется окружность, касающаяся одной из его сторон и продолжений двух других.

Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc

Для каждого треугольника существует три вневписанных окружности, которые расположены вне треугольника, почему они и получили название вневписанных.

Центрами вневписанных окружностей являются точки пересечения биссектрис внешних углов треугольника.

Доказательство этого следует из основного свойства биссектрисы угла: все точки, лежащие на ней равноудалены от сторон угла.

С другой стороны, центр вневписанной окружности лежит на пересечении биссектрисы одного внутреннего угла и биссектрис внешних углов при двух других вершинах.

Данное свойство вытекает из следующей теоремы.

Теорема 1. Биссектриса внутреннего угла ВАС треугольника АВС и биссектрисы двух внешних углов при вершинах В и С пересекаются в одной точке.

Доказательство. Проведем внешние биссектрисы из вершин В и С. Пусть они пересекаются в точке Оа. Докажем, что биссектриса угла ВАС проходит через точку Оа. Все точки биссектрисы СОа равноудалены от сторон угла, значит, расстояние от точки Оа до прямых ВС и АС равны, так как Оа лежит на биссектрисе угла ВСК1, то есть ОаК1 = ОаК3.

ис.7. Аналогично, равны расстояния от точки Оа до прямых ВС и АВОаК2 = ОаК3 . Тогда очевидно, что точка Оа равноудалена от прямых АС и АВ, то есть лежит на биссектрисе угла ВАС.

Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc

Из теоремы 1 следует существование окружности с центром в точке Оа, касающейся прямых АС, АВ и ВС. Данную окружность и называют вневписанной окружностью.

Таким образом, шесть биссектрис треугольника – три внутренние и три внешние – пересекаются по три в четырех точках – центрах вписанной и трех вневписанных окружностей.

Радиусом вневписанной окружности является отрезок перпендикуляра, проведенного из центра окружности к какой-либо стороне треугольника или ее продолжению.

3. Свойства вневписанной окружности и её связь с основными элементами треугольника

Теорема 2. Пусть К1 – точка касания вневписанной окружности с продолжением стороны АС треугольника АВС. Тогда длина отрезка АК1 равна полупериметру треугольника АВС.

Из курса планиметрии известны формулы, устанавливающие связи между сторонами треугольника, его площадью и радиусами вписанной и описанной окружностейТочки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc, Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc. Существует аналогичная связь и с радиусами вневписанных окружностей.

Утверждение. Пусть Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abcсоответственно площадь, полупериметр и стороны некоторого треугольника, а Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc— радиусы вневписанных окружностей, то Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc, Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abcи Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc.

Доказательство. Центром окружности, вписанной в угол А, служит точка Оа (точка пересечения биссектрис внешних углов треугольника, не смежных с углом А; радиус этой окружности есть отрезок перпендикуляра, проведенного из точки Оа к какой-либо стороне треугольника (или ее продолжению): Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc.

Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc

Аналогично можно найти центры Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abcи радиусы Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abcдвух других вневписанных окружностей.

Зная длины сторон Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abcтреугольника ABC , можно вычислить длины Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc.

Действительно, Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc, где Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc.

Отсюда Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc. Аналогично: Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc, Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc.

Для радиуса вписанной окружности Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc.

На основании доказанного можно сформулировать следующую теорему.

Теорема 3. Площадь S треугольника АВС равна Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc

Радиусы описанной, вписанной и вневписанных окружностей также связаны красивыми соотношениями:

Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc(1),

Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc(2),

Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc(3),

где Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc— радиусы вневписанных окружностей, R и r – соответственно радиусы описанной и вписанной окружностей, р – полупериметр, S- площадь треугольника.

Докажем равенство (1):

Учитывая, что Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc, Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc, Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc, имеем: Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc= =Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc=

=Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc=Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc

= Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc, так как по формуле Герона Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc.

С другой стороны: Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc= Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc

Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc=Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc. Таким образом Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc.

Докажем равенство (2): Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc=

=Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc

Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc

= Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc.

Докажем равенство (3): Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc.

Известно, что расстояние Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abcмежду центрами вписанной и описанной окружностей можно найти по формуле Эйлера: Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc.

ИТочки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abcнтересно, что отрезки, соединяющие центр вписанной в треугольник окружности с центрами вневписанных окружностей, делятся пополам окружностью, описанной вокруг этого треугольник (рис.9).

Существует также теорема, связывающая между собой радиусы вписанной и вневписанных окружностей.

Теорема 4. Радиус вписанной окружности треугольника равен Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abcсреднего гармонического радиусов вневписанных окружностей этого треугольника, т.е. Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc.

Доказательство. Как известно, среднее гармоническое неотрицательных чисел Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abcвычисляется по формуле Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc, значит, среднее гармоническое радиусов вневписанных окружностей треугольника будет равна Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc.

Преобразуем выражение Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc.

Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc. Следовательно, Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc.

Очевидно следующее следствие этой теоремы: обратное значение радиуса вписанной окружности равно сумме обратных значений радиусов вневписанных окружностей треугольника.

Если Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc, то Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc.

С использованием понятия «вневписанная окружность треугольника» можно доказать формулу Герона Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc. Прежде чем перейти к доказательству, решим две задачи.

Задача 1. Пусть а, в, с – длины сторон треугольника АВС. Найти длины отрезков, на которые делятся его стороны точками касания вписанной в него окружности.

Р Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc

ешение. Если M , P и N – точки касания, то, обозначив AM через х и воспользовавшись Рис.10. свойством отрезков касательных,

проведенных к окружности из одной точки, получим: AP = x,

ВР = BN = с – x, CM = CN = b — x. Но BN + NC = a. Отсюда с – х + b – x = a, поэтому Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc. Таким образом, AP = AM = p – a. Так же можно вычислить и A x M b x C

длины других отрезков: Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc, Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc.

Задача 2. Дан треугольник АВС; a, b, c – его стороны. Найти длины отрезков, на которые делят стороны треугольника точки касания вневписанных окружностей.

Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc

Решение. Пусть AQ = у. Тогда AS = y, QC = CT = b — y, BS=BT, а поэтому

Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc, Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc.

Аналогично можно вычислить и длины других искомых отрезков.

Переходим к выводу формулы Герона Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc.

Доказательство. Треугольники АОМ и ОbAQ подобны, так как они прямоугольные и Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc, как дополняющие угол ОАМ до прямого (Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abcкак острые углы прямоугольного треугольника АОМ, Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc, который равен 90  как угол, образованный биссектрисами двух смежных углов).

Из подобия треугольников АОМ и ОbAQ следует Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc. После подстановки (Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc) получим Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc.

Из этой пропорции следует справедливость формулы Герона: Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc, Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc, Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc.

Так как Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abcТочки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abcи Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc, то имеют место следующие соотношения между радиусами вписанной и вневписанной окружностей Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abcи Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc.

Для доказательства соотношения Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abcвоспользуемся результатами выше рассмотренных задач и рис.11. Из подобия треугольников АОМ и ОbAQ следует Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc. Таким образом Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc, откуда следует справедливость равенства Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc

Отметим еще одно свойство, которое вытекает из данных задач: (рис.11) если M и Q – соответственно точки касания вписанной и вневписанной окружности с их общей касательной АС, то АМ = CQ.

II . Применение свойств вневписанной окружности

к решению задач

1. Решение задач на доказательство

Задача 1. Две непересекающиеся окружности с радиусами R1 и R2 касаются сторон прямого угла с вершиной А. Общая внутренняя касательная с окружностями пересекает стороны угла в точках В и С. Найти площадь треугольника АВС.

РТочки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abcешение. Так как обе окружности касаются сторон угла, то одна из них будет вписанной в треугольник АВС, а другая вневписанной. Пусть Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc, где R1 и R2 – соответственно радиусы вписанной и вневписанной окружностей (рис.1). Если О– центр вневписанной окружности, а точки К и М – ее точки касания со сторонами угла А. Легко доказать, что АКОМ – квадрат со стороной R2. По теореме 2 Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc. Но так как Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abcто Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc. А Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc. Отсюда следует Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc, Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc.

Ответ: площадь треугольника равна Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc

Задача 2. К двум непересекающимся окружностям проведены две общие внешние касательные и общая внутренняя касательная. Докажите, что отрезок внутренней касательной, заключенный между внешними касательными, равен отрезку внешней касательной, заключенному между точками касания.

Р Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc

ешение. Пусть даны две окружности. Точки касания окружностей с первой внешней касательной – А и В, со второй – С и D (рис 2.) Внутренняя касательная пересекает внешние в точках М и N . Продолжим прямые АВ и С D до их пересечения в точке К. Тогда окружность с центром О2 является вписанной в треугольник М NK , а окружность с центром О1— вневписанной. Обозначим сторону М N треугольника MNK через а и его полупериметр через р. Тогда (по т.2.) АК = р и ВК = р – а. Значит, АВ = а, т. е. АВ = М N . Аналогично CD = MN.

Задача 3. В равнобедренном треугольнике с основанием 12 вписана окружность, к ней проведены три касательные так, что они отсекают от данного треугольника три малых треугольника. Сумма периметра малых треугольников равна 48. Найдите боковую сторону данного треугольника.

Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abcА

1. Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc

2. Окружность с центром О – вневписанная окружность треугольников Е A L, BKF и PDC .

Поэтому Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc , Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc , Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc , Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc , Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc , Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc

Из этого следует, что Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc .

Значит, Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc .

Задача 4. Прямые РА и РВ касаются окружности с центром О ( А и В – точки касания). Проведена третья касательная к окружности, пересекающая отрезки РА и РВ в точках Х и У. Докажите, что величина угла ХОУ не зависит от выбора третьей касательной.

Р Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc

ешение. Так как касательные РА и РВ пересекаются, то угол АРВ обозначим . Точки Х и У лежат соответственно на отрезках РА и РВ, поэтому данная окружность будет вневписанной для треугольника ХРУ. Центр окружности лежит на пересечении биссектрис, значит Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc, Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc. Величина угла ХОУ соответственно равнаТочки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc. В треугольнике РХУ Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc, Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc. Величина угла АРВ заданная, тогда имеем:Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc, Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc, Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc. Величина угла ХОУ соответственно равна: Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abcи не зависит от выбора третьей касательной.

Задача 5. Доказать, что Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc.

Доказательство. Воспользуемся тем, что радиус вписанной окружности связан с высотами треугольника соотношением Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc. А по следствию из теоремы 4 о среднем гармоническом радиусов вневписанных окружностей треугольника имеем Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc. На основании этих двух равенств и следует справедливость исходного равенства.

Задача 6. Общая внутренняя касательная к окружностям с радиусами R и r пересекает их общие внешние касательные в точках А и В и касается одной из окружностей в точке С. Докажите, что Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc

ДТочки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abcоказательство.

На основании сформулированного в теоретической части свойства Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abcимеем:

Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc, Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc. Учитывая, что Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abcполучаем: Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc

Эту же задачу можно решить, используя другие свойства вневписанной окружности.

Пусть С и D – точки касания касательной АВ с вневписанной и вписанной окружностями. Тогда АВ = ММ1= NN 1 (задача 2), МВ = ВС, NA = АС, DA = AN 1.

NN1 = NA + AN1 = AC + AD, NN1 = AC + AD = 2AD + CD,

Таким образом, BD = AC. Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc, Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc. Что и требовалось доказать.

2. Задачи на построение

Задача 1. Построить треугольник по периметру и двум углам.

Дано: углы  и  , периметр треугольника P

Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc

Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc

1. Построить отрезок, равный полупериметру (АК).

2. Из точки А построить данный по условию угол  , а из точки К восстановить перпендикуляр.

3. Построить биссектрису угла САВ.

4. Построить окружность с центром в точке пересечения биссектрисы угла А с перпендикуляром ОаК и радиусом ОаК.

5. На отрезке АК построить второй данный угол  так, чтобы его луч был касательной к окружности.

6. Данная касательная пересечет вторую сторону угла в точке В.

Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc— искомый треугольник.

Задача 2. Постройте треугольник, если дана сторона, противолежащий ей угол треугольника и сумма двух других сторон.

Решение. Пусть дана сторона а, угол А и сумма сторон b + c . Тогда известна длина

Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abcполупериметра искомого треугольникаТочки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc. Значит, известны положения точек T 1 и T 2 на сторонах угла А. Восстановив перпендикуляры в этих точках к сторонам угла А, на их пересечении получим центр вневписанной окружности, а значит, вневписанная окружность построена.

Расстояние от точки Т1 до точки касания вписанной окружности равно а. Следовательно, мы можем найти точки касания вписанной окружности искомого треугольника со сторонами угла А и построить саму вписанную окружность. Общая внутренняя касательная к построенным окружностям отсекает на сторонах угла искомый треугольник.

Задача 3. Построить треугольник ABC , если известна сторона AB , радиус r вписанной окружности и радиус r c вневписанной окружности, касающейся стороны АВ и продолжений сторон АС и ВС. Рис.3.

Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc

Предположим, что искомый треугольник построен. Отметим точки касания Т и Тс с прямой АС вписанной и вневписанной окружностей (радиусов r и r c соответственно). Воспользуемся тем, что отрезки АВ и T Тс равны по длине. Отсюда вытекает способ построения: отмечаем на прямой две точки Т и Тс на расстоянии АВ, строим по одну сторону этой прямой окружности радиусов r и r c , касающиеся ее в точках Т и Тс, проводим еще одну внешнюю и одну внутреннюю общую касательную к этим окружностям – и нужный треугольник построен. Задача имеет решение в том и только в том случае, если Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc.

Задача 4. Дан угол К, меньший развернутого, и точка Р, расположенная внутри угла, смежного с данным. Провести через точку Р прямую, отсекающую от угла К треугольник заданного периметра.

Решение. Решение основано на применении теоремы, которая, казалось бы, очень далека от ситуации, описываемой в условии задачи, — теоремы о двух касательных, проведенных к окружности из одной точки.

П Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc

усть l – какая-либо проходящая через Р прямая. М и N – точки ее пересечения со сторонами угла. Проведем вневписанную окружность треугольника MKN. AM = ME и EN = NB, где А и В – точки касания окружности со сторонами угла. Тогда периметр отсекаемого треугольника равен Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc.

1. Построить отрезки касательных Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc.

2. Восстановить из точек А и В перпендикуляры, найти их точку пересечения Оа.

4. Построить из точки Р касательную к окружности.

3. Решение стереометрических задач

При решении задач, связанных с пирамидой, полезными являются следующие утверждения.

Утверждение 1. Следующие три предложения равносильны:

а) ортогональная проекция вершины пирамиды на плоскость основания является центром вписанной окружности в многоугольник, лежащий в основании;

б) высоты боковых граней – треугольников, проведенные из вершины пирамиды, равны и лежат на соответствующих боковых гранях;

в) двугранные углы при основании пирамиды равны.

Утверждение 2. Следующие три предложения равносильны:

а) ортогональная проекция вершины пирамиды на плоскость основания равноудалена от прямых, содержащих стороны основания пирамиды;

б) высоты боковых граней – треугольников, проведенные из вершины пирамиды, равны;

в) плоскости боковых граней образуют равные углы с плоскостью основания.

Задача 1. В основании пирамиды, все плоскости боковых граней которого наклонены к плоскости основания под углом , лежит правильный треугольник со стороной а. Найти объем пирамиды.

Решение. Следует отметить, что неопределенность решения возникает в связи с различным положением ортогональной плоскости. Пусть SABC – данная пирамида, О – ортогональная проекция вершины S на плоскость основания АВС. Согласно утверждению 3, точка О равноудалена от прямых АВ, АС и ВС. Не ограничивая общности рассуждений, имеем два случая расположения точки О:

Вершина тетраэдра проектируется в центр вписанной окружности.

Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abcРис .1. S Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc

Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc, Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc, Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc, Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc

h B Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc,

A О  M Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc.

Вершина тетраэдра проектируется в центр вневписанной окружности.

Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abcS А

Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc

Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc, Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc, Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc, Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc

Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc.

Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc.

Ответ: 1) Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc; 2) Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc.

Задача 2. Следует отметить, что если решать задачу в привычной формулировке, используемой в школьном учебнике: «Длины сторон основания треугольной пирамиды равны a, b и c. Боковые грани с основанием пирамиды составляют угол  . Вычислить объем пирамиды», то задача будет иметь только одно решение: на основании утверждения 1. вершина пирамиды проектируется в центр окружности, вписанной в основание пирамиды.

«Длины сторон основания треугольной пирамиды равны a, b и c. Плоскости боковых граней с плоскостью основания пирамиды составляют угол  . Вычислить объем пирамиды»

В такой формулировке условию задачи соответствуют четыре пирамиды, имеющие общее основание и отличающиеся только высотами: Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc, Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc, Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc, Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc.

После преобразований получаем Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc, Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc, Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc, Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc.

Очевидно, что, если треугольник, лежащий в основании пирамиды разносторонний, имеем четыре различных значения искомого объема пирамиды, если треугольник равнобедренный – три, правильный – два.

Процесс решения таких задач вполне доступен, если предварительно познакомиться с понятием вневписанной окружности.

В заключение мы еще раз хотим сказать, что геометрия начинается с треугольника. Треугольник неисчерпаем. Две с половиной тысячи лет постоянно открываются его новые свойства. Чтобы рассказать обо всех известных, необходим том, сравнимый по объему с томом Большой энциклопедии.

А изящество и красота применения окружности создают ощущение ее элитарности. К сожалению, в школьной программе этой фигуре уделяется незначительное время и внимание. А про вневписанную окружность и не упоминается.

В своей работе мы проиллюстрировали связь вневписанной окружности с основными элементами треугольника и показали применение этих свойств к решению задач различного типа.

На наш взгляд данная работа может быть использована на уроках геометрии в 8-11 классах, на занятиях математического кружка, факультативах и при решении конкурсных задач.

Задания для самостоятельной работы

1. Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc

2. Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc

3. Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc

4. Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc, где Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc— угол А треугольника АВС

5. Четырехугольник ABCD обладает тем свойством, что существует окружность, вписанная в угол BAD и касающаяся продолжений сторон ВС и CD . Докажите, что Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc.

6. Дан параллелограмм ABCD . Вневписанная окружность треугольника ABD касается продолжений сторон AD и AB в точках M и N . Докажите, что точки пересечения отрезка M N с BC и CD лежат на вписанной окружности треугольника BCD .

7. Пусть a и b две стороны треугольника. Как подобрать третью сторону с так, чтобы точки касания вписанной и вневписанной окружностей со стороной с делили эту сторону на три равных отрезка? При каких a и b такая сторона с существует?

8. Окружность радиуса 3, вписанная в треугольник ABC , касается стороны BC в точке Е. Окружность радиуса 4 касается продолжения сторон АВ и АС и касается стороны ВС в точке D . Найдите длину отрезка ED , если Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc. Ответ: Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc.

9. С помощью циркуля и линейки постройте точку, равноудаленную от трех данных прямых. (Комментарий: рассмотрите все возможные случаи взаимного расположения трех прямых на плоскости).

10. Отрезок, соединяющий вершину А треугольника ABC с центром Q вневписанной окружности, касающейся стороны ВС, пересекает описанную окружность этого треугольника в точке D . Докажите, что треугольник BDQ – равнобедренный.

11. Докажите, что сторона ВС треугольника ABC видна из центра О вписанной окружности под углом Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc, а из центра О1 вневписанной окружности, касающейся стороны ВС, — под углом Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc.

12. Доказать, что для любого треугольника отрезок, соединяющий центры вписанной и вневписанной окружности, делятся описанной окружностью пополам.

13. Вписанная окружность треугольника ABC касается стороны АС в точке D ; DM – ее диаметр. Прямая BM пересекает сторону АС в точке К. Докажите, что АК= DC .

14. Сторона правильного треугольника равна а. Найдите радиус вневписанной окружности.

15. Найдите радиусы вписанной и вневписанной окружностей треугольника со сторонами 5, 12, 13.

16. В треугольнике PQR величина угла QRP равна 60º. Найдите расстояние между точками касания со стороной QR окружности радиуса 2, вписанной в треугольник, и окружности радиуса 3, касающейся продолжений сторон PQ и PR .

17. Докажите, что если Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc, где Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc— стороны треугольника, Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc— соответственно радиус описанной, вписанной и одной вневписанной окружностей, то треугольник прямоугольный (подсказка: воспользуйтесь формулами Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc).

18. Сторона квадрата ABCD равна 1. На сторонах AB и А D выбраны точки P и Q так, что периметр треугольника APQ равен 2. Докажите, что Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc(подсказка: рассмотрите вневписанную окружность треугольника APQ ).

19. В треугольнике ABC с периметром величина острого угла BAC равна α. Окружность с центром в точке О касается стороны ВС и продолжения сторон АВ и АС в точках K , L и M соответственно. Точка D лежит внутри отрезка АК, AD = а. Найдите площадь треугольника DOK .

20. Пусть R — радиус описанной окружности треугольника ABC , Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc— радиус вневписанной окружности, касающейся стороны ВС. Докажите, что квадрат расстояния между центрами этих окружностей равен Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc.

21. С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по центрам описанной и одной из вневписанных окружностей (подсказка: описанная окружность треугольника делит пополам отрезок, соединяющий центры вписанной и вневписанной окружностей).

22. Докажите, что если радиус вневписанной окружности равен полупериметру треугольника, то этот треугольник прямоугольный.

23. Через данную точку проведите прямую, отсекающую от данного угла треугольник наименьшего возможного периметра.

24. В основании пирамиды лежит правильный треугольник со стороной а. Двугранные углы между основанием и плоскостями боковых граней равны α. Найдите угол между боковыми гранями.

Решение некоторых задач из приложения

1. Доказать, что: Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc

Доказательство: так как Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abcа Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc, то Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc, ч.т.д.

2. Доказать, что: Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc.

1) Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc,

так как Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc;

2) Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc; Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc

Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc, ч.т.д.

3. Доказать, что: Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc.

Доказательство: Так как Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc, то Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc. Тогда Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc(с использованием формул Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc).

Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abcи Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc. Таким образом, Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc.

9. С помощью циркуля и линейки постройте точку, равноудаленную от трех данных прямых. (Комментарий: рассмотрите все возможные случаи взаимного расположения трех прямых на плоскости).

1) Если все три прямые параллельны, то решений нет.

2) Если все три прямые пересекаются в одной точке, то эта точка является искомой.

3) Если две параллельные прямые пересекаются третьей, то задача имеет два решения.

Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abca

4) Если прямые попарно пересекаются, то при пересечении они образуют треугольник и задача имеет четыре решения. В этом случае искомые точки – это центры вписанной в треугольник окружности и трех его вневписанных окружностей.

13. Вписанная окружность треугольника ABC касается стороны АС в точке D ; DM – ее диаметр. Прямая BM пересекает сторону АС в точке К. Докажите, что АК= DC .

Решение: Рассмотрим гомотетию с центром в точке В, переводящую вписанную окружность треугольника ABC в его вневписанную окружность, касающейся стороны АС.

Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc

Диаметр вневписанной окружности, соответствующий диаметру DM вписанной окружности касается стороны АС в точке К. Если Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc, F – точка касания вневписанной окружности с лучом ВА, то Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abcи Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc. Следовательно Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc.

14. Сторона правильного треугольника равна а. Найдите радиус его вневписанной окружности.

Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc C

Так как треугольник АВС равносторонний, то радиусы всех трех его вневписанных окружностей будут равны. Пусть Ос — центр вневписанной окружности, касающейся стороны АВ треугольника в точке М (середина АВ) и продолжений сторон АС и СВ в точках L и K соответственно.

Так как Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc, Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc, Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc, то Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc. Ответ: Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc.

15. Найдите радиусы вписанной и вневписанной окружностей треугольника со сторонами 5, 12, 13.

Решение: Если a и b – катеты прямоугольного треугольника, а с – его гипотенуза, то искомые радиусы будут равны: Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc. Таким образом Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc. По-другому: Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc

Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc

a r Ответ: Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc

16. В треугольнике PQR величина угла QRP равна 60º. Найдите расстояние между точками касания со стороной QR окружности радиуса 2, вписанной в треугольник, и окружности радиуса 3, касающейся продолжений сторон PQ и PR .

Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc

Пусть О1 и О2 – центры окружностей радиусов 2 и 3 соответственно, M и N точки касания окружностей со стороной RQ . Тогда Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc,Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc. ПоэтомуТочки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc. Ответ: Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc.

19. В треугольнике ABC с периметром величина острого угла BAC равна α. Окружность с центром в точке О касается стороны ВС и продолжения сторон АВ и АС в точках K , L и M соответственно. Точка D лежит внутри отрезка АК, AD = а. Найдите площадь треугольника DOK .

Решение: Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc

A D B K По теореме 2:Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc, Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc, Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc, так как Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc. Отсюда следует, что Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc.

Ответ: Точки ia и ic центры вневписанных окружностей треугольника abc.

Гнеденко Б.В. Энциклопедический словарь юного математика. М.: «Педагогика», 1989.

Н.Ф. Шарыгин, В.И. Голубев. Факультативный курс по математике: Решение задач. Учеб пособие для 11 кл. сред. шк. – М.: Просвещение, 1991, с. 138-140.

Андреев П.П., Шувалова Э.З. Геометрия.

Прасолов В.В. Задачи по планиметрии. Ч. I М.: Наука, 1986.

Никольская И.Л. Факультативный курс по математике: учебн. Пособие для 7-9 классов ср. школы. — М.: Просвещение, 1991, с.88-91.

Фетисов А.М. Геометрия: учебн. Пособие по программе старших классов. М.: Издательство Академии педагогических наук РСФСР, 1963, 20-21.

Березин В.И. и др. Сборник задач для факультативных и внеклассных занятий по математике. Книга для учителя. — М.: Просвещение, 1985.

Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф.. С.Б. Кадомцев, Киселева Л.С., Позняк Э.Г. Геометрия. Учебник для 10-11 классов средней школы, 9 издание. — М.: Просвещение, 2000.

Энциклопедия для детей т.11. Математика/Глав.ред. М.Д. Аксенова.-М.: Аванта+, 2000.-с. 283

М.Г. Гохидзе «Вневписанная окружность», «Математика в школе», №3, 1989. с. 59

М.Г. Гохидзе «О вневписанной окружности в задачах по стереометрии», «Математика в школе», №5, 1987. с. 54.

«О свойствах центра вневписанной окружности», «Квант», №2, 2001, стр.38.

«Биссектрисы вписанной и вневписанной окружности треугольника», «Квант», №7, 1987.

Моденов П.С. Сборник задач по специальному курсу элементарной математики.- М.: советская наука, 1957.

Васильев Н.Б. и др. Заочные математические олимпиады. – М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1981.

📽️ Видео

#207. Окружность девяти точек | лемма о трезубце | ортотреугольник | прямая ЭйлераСкачать

#207. Окружность девяти точек | лемма о трезубце | ортотреугольник | прямая Эйлера

2038 центр окружности описанной около треугольника ABC лежит на стороне ABСкачать

2038 центр окружности описанной около треугольника ABC лежит на стороне AB

Треугольник ABC вписан в окружность с центром O Угол BAC равен 32°Скачать

Треугольник ABC вписан в окружность с центром O  Угол BAC равен 32°

№17 Лемма о трезубце | Вписанная и вневписанная окружности | Это будет на ЕГЭ 2024 по математикеСкачать

№17 Лемма о трезубце | Вписанная и вневписанная окружности | Это будет на ЕГЭ 2024 по математике

Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Построить описанную окружность (Задача 1)Скачать

Построить описанную окружность (Задача 1)

Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминанияСкачать

Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминания

Это будет на ЕГЭ 2020 по математике. Вписанная и вневписанная окружности.Скачать

Это будет на ЕГЭ 2020 по математике. Вписанная и вневписанная окружности.

ВАЖНЫЕ УГЛЫ в Геометрии — Центральный и Вписанный УголСкачать

ВАЖНЫЕ УГЛЫ в Геометрии — Центральный и Вписанный Угол

Точка O – центр окружности, на которой лежат точки ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Точка O – центр окружности, на которой лежат точки ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРА

ОГЭ Задание 25 Демонстрационный вариант 2022, математикаСкачать

ОГЭ Задание 25 Демонстрационный вариант 2022, математика

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

Геометрия-7 Окружность и прямая Эйлера, точки ФейербахаСкачать

Геометрия-7 Окружность и прямая Эйлера, точки Фейербаха

Центр описанной окружности.Скачать

Центр описанной окружности.

ЧТО НАДО ГОВОРИТЬ ЕСЛИ НЕ СДЕЛАЛ ДОМАШКУ!Скачать

ЧТО НАДО ГОВОРИТЬ ЕСЛИ НЕ СДЕЛАЛ ДОМАШКУ!

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

6.31.1. Планиметрия. Гордин Р.К.Скачать

6.31.1. Планиметрия. Гордин Р.К.

Точка O центр окружности описанной около остроугольного треугольникаСкачать

Точка O центр окружности описанной около остроугольного треугольника
Поделиться или сохранить к себе: