Tgx меньше 1 на окружности

Значения тангенса и котангенса на тригонометрическом круге

В прошлой статье мы познакомились с тригонометрическим кругом и научились находить значения синуса и косинуса основных углов.

Как же быть с тангенсом и котангенсом ? Об этом и поговорим сегодня.

Где же на тригонометрическом круге оси тангенсов и котангенсов?

Ось тангенсов параллельна оси синусов (имеет тоже направление, что ось синусов) и проходит через точку (1; 0).

Ось котангенсов параллельна оси косинусов (имеет тоже направление, что ось косинусов) и проходит через точку (0; 1).

На каждой из осей располагается вот такая цепочка основных значений тангенса и котангенса: Tgx меньше 1 на окружностиПочему так?

Я думаю, вы легко сообразите и сами. 🙂 Можно по-разному рассуждать. Можете, например, использовать тот факт, что Tgx меньше 1 на окружностии Tgx меньше 1 на окружности

Tgx меньше 1 на окружности

Собственно, картинка за себя сама говорит.

Если не очень все же понятно, разберем примеры:

Пример 1.

Вычислить Tgx меньше 1 на окружности

Находим на круге Tgx меньше 1 на окружности. Эту точку соединяем с точкой (0;0) лучом (начало – точка (0;0)) и смотрим, где этот луч пересекает ось тангенсов. Видим, что Tgx меньше 1 на окружности

Ответ: Tgx меньше 1 на окружности

Пример 2.

Вычислить Tgx меньше 1 на окружности

Находим на круге Tgx меньше 1 на окружности. Точку (0;0) соединяем с указанной точкой лучом. И видим, что луч никогда не пересечет ось тангенсов.

Tgx меньше 1 на окружностине существует.

Ответ: не существует

Пример 3.

Вычислить Tgx меньше 1 на окружности

Tgx меньше 1 на окружности

Находим на круге точку Tgx меньше 1 на окружности(это та же точка, что и Tgx меньше 1 на окружности) и от нее по часовой стрелке (знак минус!) откладываем Tgx меньше 1 на окружности(Tgx меньше 1 на окружности). Куда попадаем? Мы окажемся в точке, что на круге у нас (см. рис.) названа как Tgx меньше 1 на окружности. Эту точку соединяем с точкой (0;0) лучом. Вышли на ось тангенсов в значение Tgx меньше 1 на окружности.

Так значит, Tgx меньше 1 на окружности

Ответ: Tgx меньше 1 на окружности

Пример 4.

Вычислить Tgx меньше 1 на окружности

Tgx меньше 1 на окружности

Поэтому от точки Tgx меньше 1 на окружности(именно там будет Tgx меньше 1 на окружности) откладываем против часовой стрелки Tgx меньше 1 на окружности.

Выходим на ось котангенсов, получаем, что Tgx меньше 1 на окружности

Ответ: Tgx меньше 1 на окружности

Пример 5.

Вычислить Tgx меньше 1 на окружности

Находим на круге Tgx меньше 1 на окружности. Эту точку соединяем с точкой (0; 0). Выходим на ось котангенсов. Видим, что Tgx меньше 1 на окружности

Ответ: Tgx меньше 1 на окружности

Tgx меньше 1 на окружностиТеперь, умея находить по тригонометрическому кругу значения тригонометрических функций (а я надеюсь, что статья, где мы начинали знакомство с кругом и учились вычислять значения синусов и косинусов, вами прочитана…), вы можете пройт и тест по теме «Нахождение значений косинуса, синуса, тангенса и котангенса различных углов».

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

Видео:Решить неравенство tg xСкачать

Решить неравенство tg x

Узнать ещё

Знание — сила. Познавательная информация

Видео:Как решать тригонометрические неравенства?Скачать

Как решать тригонометрические неравенства?

a»>tgx>a

Рассмотрим решение тригонометрических неравенств вида tgx>a и tgx

Для решения нам потребуется чертеж единичной окружности и линия тангенсов . Радиус единичной окружности равен 1, поэтому, откладывая на линии тангенсов отрезки, длина которых равна радиусу, получаем соответственно точки, в которых тангенс равен 1, 2, 3 и т.д., а вниз — -1,-2,-3 и т.д.

1) tgx>a

На линии тангенсов значениям тангенсов, большим a, соответствует часть, расположенная выше точки а. Заштриховываем соответствующий луч. Теперь проводим прямую через точку О — начало отсчета- и точку а на линии тангенсов. Она пересекает окружность в точке arctg a. Соответственно, на окружности решению неравенства tgx>a соответствует дуга от точки arctg a до п/2. Чтобы учесть все решения (а их с учетом периодичности тангенса — бесконечное множество), к каждому концу интервала прибавляем пn, где n — целое число (n принадлежит Z).

Для решения неравенства tgx>a вполне достаточно полуокружности от -п/2 до п/2. Но если требуется найти, к примеру, решение системы неравенств с тангенсом и синусом, то нужна вся окружность.

Если неравенство нестрогое, точку с arctg a включаем в ответ (на рисунке ее заштриховываем, в ответ записываем с квадратной скобкой). Точка п/2 в ответ никогда не включается, поскольку не входит в область определения тангенса (точка выколотая, скобка круглая).

2) tgx>-a

Чтобы решить неравенство tgx>-a, рассуждаем так же как и для неравенства tgx>a. Поскольку arctg (-a)=-arctg a, только этим и отличается ответ.

Tgx меньше 1 на окружности

В этом случае решению неравенства tgx

4) tgx Светлана Иванова, 17 Окт 2012

Видео:Как видеть тангенс? Тангенс угла с помощью единичного круга.Скачать

Как видеть тангенс? Тангенс угла с помощью единичного круга.

Функция y = tg x, её свойства и график

п.1. Развертка тангенса движения точки по числовой окружности в функцию от угла

При движении точки по числовой окружности на вертикальной касательной, проведенной через точку (1;0), отображаются значения тангенсов соответствующих углов (см. §3 данного справочника).

Рассмотрим, как изменяется тангенс, если точка описывает полный круг, и угол x изменяется в пределах: 0≤x≤2π и построим график y=tgx на этом отрезке.

Tgx меньше 1 на окружности

Если мы продолжим движение по окружности для углов x > 2π, кривые продолжатся вправо; если будем обходить числовую окружность в отрицательном направлении (по часовой стрелке) для углов x тангенцоидой .
Часть тангенцоиды c (-fracpi2lt xlt fracpi2) называют главной ветвью тангенцоиды .

п.2. Свойства функции y=tgx

1. Область определения (xnefracpi2+pi k) — множество действительных чисел, кроме точек, в которых (cosx=0) .

2. Функция не ограничена сверху и снизу. Область значений (yinmathbb)

3. Функция нечётная $$ tg(-x)=-tgx $$

4. Функция периодическая с периодом π $$ tg(x+pi k)=tgx $$

5. Функция стремится к (+infty) при приближении слева к точкам (x=fracpi2+pi k) .
Приближение к точке a слева записывается как (xrightarrow a-0) $$ lim_ tgx=+infty $$ Функция стремится к (-infty) при приближении справа к точкам (x=fracpi2+pi k) .
Приближение к точке a справа записывается как (xrightarrow a+0) $$ lim_ tgx=-infty $$ Нули функции (y_=0) достигаются в точках (x_0=pi k)

6. Функция возрастает на всей области определения.

7. Функция имеет разрывы в точках (x=fracpi2+pi k) , через эти точки проходят вертикальные асимптоты. На интервалах между асимптотами (left(-fracpi2+pi k; fracpi2+pi kright)) функция непрерывна.

п.3. Примеры

Пример 1. Найдите наименьшее и наибольшее значение функции y=tgx на заданном промежутке:
Tgx меньше 1 на окружности
a) (left[frac; fracright)) $$ y_=tgleft(fracright)=-sqrt, y_=lim_<xrightarrowfrac-0>tgx=+infty $$ б) (left(frac; piright]) $$ y_=lim_<xrightarrowfrac+0>tgx=-infty, y_=tg(pi)=0 $$ в) (left[frac; fracright]) $$ y_=tgleft(fracright)=-1, y_=tgleft(fracright)=frac<sqrt> $$

Пример 2. Решите уравнение:
a) (tgx=-sqrt)
Бесконечное множество решений: (x=frac+pi k, kinmathbb)

б) (tgleft(x-fracpi2right)=0)
(x-fracpi2=pi k)
Бесконечное множество решений: (x=frac+pi k, kinmathbb)

в) (tg(2x)=1)
(2x=fracpi4+pi k)
Бесконечное множество решений: (x=frac+frac, kinmathbb)

Пример 3. Определите чётность функции: a) (y(x)=4tgx+5sinx)
$$ y(-x)=4tg(-x)+5sin(-x)=-4tgx-5sinx=-(4tgx+5sinx)=-y(x) $$ Функция нечётная.

б) (y(x)=tgx-2cosx)
$$ y(-x)=tg(-x)-2cos(-x)=-tgx-2cosx=-(tgx+2cosx)ne left[ begin -y(x)\ y(x) end right. $$ Функция ни чётная, ни нечётная.

в) (y(x)=tg^2x+cos5x)
$$ y(-x)=tg^2(-x)+cos(-5x)=(-tgx)^2+cos5x=tg^2x+cos5x)=y(x) $$ Функция чётная.

г) (y(x)=x^2-tgx)
$$ y(-x)=(-x)^2-tg(-x)=x^2+tgxne left[ begin -y(x)\ y(x) end right. $$ Функция ни чётная, ни нечётная.

Пример 4. Если (tg(7pi-x)=frac34), то чему равны (tgx, ctgx)?
Т.к. период тангенса равен π, получаем: begin tg(7pi-x)=tg(-x)=-tgx=frac34Rightarrow tgx=-frac34\ ctgx=frac=-frac43 end Ответ: (-frac34, -frac43)

💡 Видео

Алгебра 10 класс. 2 октября. Тангенс и котангенс на окружностиСкачать

Алгебра 10 класс. 2 октября. Тангенс и котангенс на окружности

Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ | Математика TutorOnlineСкачать

Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ | Математика TutorOnline

§165 Решение неравенств с tgXСкачать

§165 Решение неравенств с tgX

Решение тригонометрических неравенств. 10 класс.Скачать

Решение тригонометрических неравенств. 10 класс.

10 класс, 22 урок, Простейшие тригонометрические уравнения неравенстваСкачать

10 класс, 22 урок, Простейшие тригонометрические уравнения неравенства

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА содержащие ctg xСкачать

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА содержащие ctg x

Решение неравенства cos t меньше 1/2Скачать

Решение неравенства cos t меньше 1/2

10 класс, 20 урок, Функции y=tgx, y=ctgx, их свойства и графикиСкачать

10 класс, 20 урок, Функции y=tgx, y=ctgx, их свойства и графики

Тригонометрические уравнения с помощью окружности. tg x =aСкачать

Тригонометрические уравнения с помощью окружности. tg x =a

Решение простейших тригонометрических уравнений tgx=a и ctgx=aСкачать

Решение простейших тригонометрических уравнений tgx=a и ctgx=a

ТРИГОНОМЕТРИЯ ЗА 10 МИНУТ — Arcsin, Arccos, Arctg, Arcсtg // Обратные тригонометрические функцииСкачать

ТРИГОНОМЕТРИЯ ЗА 10 МИНУТ —  Arcsin, Arccos, Arctg, Arcсtg // Обратные тригонометрические функции

Решение уравнений вида tg x = a и ctg x = aСкачать

Решение уравнений вида tg x = a и ctg x = a

Решение тригонометрических неравенств. 10 класс.Скачать

Решение тригонометрических неравенств. 10 класс.

Решение неравенства ctg t меньше √3Скачать

Решение неравенства ctg t меньше √3

Решение неравенства tg t ≤ 1Скачать

Решение неравенства tg t ≤ 1

Решить тригонометрические неравенства sinxСкачать

Решить тригонометрические неравенства sinx

Решение тригонометрических неравенств. 10 класс.Скачать

Решение тригонометрических неравенств. 10 класс.
Поделиться или сохранить к себе: