Теорема угол с вершиной вне окружности

Теорема с доказательством. Угол, вершина которого находится вне кру­га, а стороны пересекают окружность, измеряется полу­разностью дуг, которые данный угол высекает из окруж­ности.

Теорема 3. Угол, вершина которого находится вне кру­га, а стороны пересекают окружность, измеряется полу­разностью дуг, которые данный угол высекает из окруж­ности.

Доказательство. Пусть вершина К угла MKN находится вне круга, его сторона КМ пересекает окружность в точках М и М1 а сторона KN в точках N и Nl (рис. 11). Докажем, что

В соответствии с теоремой 1 истинны утверждения

Видео:11 класс, 42 урок, Углы с вершинами внутри и вне кругаСкачать

11 класс, 42 урок, Углы с вершинами внутри и вне круга

Углы в окружности

Рассмотрим углы в окружности и углы, связанные с окружностью.

  • Угол с вершиной в центре окружности.
  • Угол с вершиной на окружности (его стороны пересекают окружность).
  • Угол с вершиной внутри окружности (не в центре).
  • Угол с вершиной вне окружности, стороны которого пересекают окружность.

I. Угол с вершиной в центре окружности называется центральным углом.

Стороны центрального угла разбивают окружность на две части. Дугой, соответствующей данному центральному углу, называется та часть, которая содержится внутри угла.

Теорема угол с вершиной вне окружностиНапример, центральному углу AOC соответствует дуга AC (или дуга AFC. Обычно дугу называют двумя буквами. Но, поскольку любую из двух, на которые точки A и C делят окружность, можно назвать AC, то третью, дополнительную букву, иногда используют для уточнения выбранной дуги).

Градусная мера дуги окружности равна градусной мере соответствующего центрального угла:

Теорема угол с вершиной вне окружностиII. Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом.

Стороны вписанного угла также разбивают окружность на две дуги. Говорят, что вписанный угол опирается на лугу, которая лежит внутри него.

Например, вписанный угол ABC опирается на дугу AC (или дугу AFC).

Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается:

Теорема угол с вершиной вне окружности

Есть другой вариант формулировки свойства вписанного угла.

Теорема угол с вершиной вне окружностиВписанный угол равен половине соответствующего ему центрального угла:

Теорема угол с вершиной вне окружности

Теорема угол с вершиной вне окружности

Теорема угол с вершиной вне окружностиВписанный угол, опирающийся на полуокружность — прямой.

И наоборот: любой прямой вписанный угол опирается на полуокружность.

Другая формулировка этого утверждения:

(обратно: Если вписанный угол прямой, то он опирается на диаметр).

III. Угол, вершина которого лежит в окружности — это угол между пересекающимися хордами.

Угол между пересекающимися хордами равен полусумме дуг, заключённых между его сторонами и сторонами вертикального ему угла.

Теорема угол с вершиной вне окружности

Теорема угол с вершиной вне окружности

IV. Угол с вершиной вне окружности, обе стороны которого пересекают окружность — это угол между секущими, которые пересекаются вне окружности.

Угол между секущими, пересекающимися вне окружности, измеряется полуразностью большей и меньшей дуг, заключенных между его сторонами.

Видео:Углы с вершиной внутри и вне окружности.Скачать

Углы с вершиной внутри и вне окружности.

Углы, связанные с окружностью

Теорема угол с вершиной вне окружностиВписанные и центральные углы
Теорема угол с вершиной вне окружностиУглы, образованные хордами, касательными и секущими
Теорема угол с вершиной вне окружностиДоказательства теорем об углах, связанных с окружностью

Видео:Угол с вершиной вне кругаСкачать

Угол с вершиной вне круга

Вписанные и центральные углы

Определение 1 . Центральным углом называют угол, вершина которого совпадает с центром окружности, а стороны являются радиусами радиусами (рис. 1).

Теорема угол с вершиной вне окружности

Определение 2 . Вписанным углом называют угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны являются хордами хордами (рис. 2).

Теорема угол с вершиной вне окружности

Напомним, что углы можно измерять в градусах и в радианах. Дуги окружности также можно измерять в градусах и в радианах, что вытекает из следующего определения.

Определение 3 . Угловой мерой (угловой величиной) дуги окружности является величина центрального угла, опирающегося на эту дугу.

Видео:Теорема об измерении угла с вершиной вне круга ДоказательствоСкачать

Теорема об измерении угла с вершиной вне круга Доказательство

Теоремы о вписанных и центральных углах

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
около этого треугольника окружности.

ФигураРисунокТеорема
Вписанный уголТеорема угол с вершиной вне окружности
Вписанный уголТеорема угол с вершиной вне окружностиВписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.
Вписанный уголТеорема угол с вершиной вне окружностиВписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды
Вписанный уголТеорема угол с вершиной вне окружностиДва вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды
Вписанный уголТеорема угол с вершиной вне окружностиВписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр
Окружность, описанная около прямоугольного треугольникаТеорема угол с вершиной вне окружности

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Теорема угол с вершиной вне окружности

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.

Теорема угол с вершиной вне окружности

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды

Теорема угол с вершиной вне окружности

Два вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды

Теорема угол с вершиной вне окружности

Вписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр

Теорема угол с вершиной вне окружности

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
около этого треугольника окружности.

Теорема угол с вершиной вне окружности

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Теоремы об углах, образованных хордами, касательными и секущими

Вписанный угол
Окружность, описанная около прямоугольного треугольника

Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

ФигураРисунокТеоремаФормула
Угол, образованный пересекающимися хордамиТеорема угол с вершиной вне окружностиТеорема угол с вершиной вне окружности
Угол, образованный секущими, которые пересекаются вне кругаТеорема угол с вершиной вне окружностиТеорема угол с вершиной вне окружности
Угол, образованный касательной и хордой, проходящей через точку касанияТеорема угол с вершиной вне окружностиТеорема угол с вершиной вне окружности
Угол, образованный касательной и секущейТеорема угол с вершиной вне окружностиТеорема угол с вершиной вне окружности
Угол, образованный двумя касательными к окружностиТеорема угол с вершиной вне окружностиТеорема угол с вершиной вне окружности

Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Теорема угол с вершиной вне окружности

Теорема угол с вершиной вне окружности

Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

Теорема угол с вершиной вне окружности

Теорема угол с вершиной вне окружности

Теорема угол с вершиной вне окружности

Теорема угол с вершиной вне окружности

Угол, образованный пересекающимися хордами хордами
Теорема угол с вершиной вне окружности
Формула: Теорема угол с вершиной вне окружности
Угол, образованный секущими секущими , которые пересекаются вне круга
Формула: Теорема угол с вершиной вне окружности

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Угол, образованный касательной и хордой хордой , проходящей через точку касания
Теорема угол с вершиной вне окружности
Формула: Теорема угол с вершиной вне окружности
Угол, образованный касательной и секущей касательной и секущей
Формула: Теорема угол с вершиной вне окружности

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Угол, образованный двумя касательными касательными к окружности
Формулы: Теорема угол с вершиной вне окружности

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Видео:Углы с вершинами внутри и вне кругаСкачать

Углы с вершинами внутри и вне круга

Доказательства теорем об углах, связанных с окружностью

Теорема 1 . Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Доказательство . Рассмотрим сначала вписанный угол ABC , сторона BC которого является диаметром окружности диаметром окружности , и центральный угол AOC (рис. 5).

Теорема угол с вершиной вне окружности

Теорема угол с вершиной вне окружности

Теорема угол с вершиной вне окружности

Теорема угол с вершиной вне окружности

Таким образом, в случае, когда одна из сторон вписанного угла проходит через центр окружности, теорема 1 доказана.

Теперь рассмотрим случай, когда центр окружности лежит внутри вписанного угла (рис. 6).

Теорема угол с вершиной вне окружности

В этом случае справедливы равенства

Теорема угол с вершиной вне окружности

Теорема угол с вершиной вне окружности

Теорема угол с вершиной вне окружности

и теорема 1 в этом случае доказана.

Осталось рассмотреть случай, когда центр окружности лежит вне вписанного угла (рис. 7).

Теорема угол с вершиной вне окружности

В этом случае справедливы равенства

Теорема угол с вершиной вне окружности

Теорема угол с вершиной вне окружности

Теорема угол с вершиной вне окружности

что и завершает доказательство теоремы 1.

Теорема 2 . Величина угла, образованного пересекающимися хордами хордами , равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 8.

Теорема угол с вершиной вне окружности

Нас интересует величина угла AED , образованного пересекающимися в точке E хордами AB и CD . Поскольку угол AED – внешний угол треугольника BED , а углы CDB и ABD являются вписанными углами, то справедливы равенства

Теорема угол с вершиной вне окружности

Теорема угол с вершиной вне окружности

что и требовалось доказать.

Теорема 3 . Величина угла, образованного секущими секущими , пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

Теорема угол с вершиной вне окружности

Теорема угол с вершиной вне окружности

Нас интересует величина угла BED , образованного пересекающимися в точке E секущими AB и CD . Поскольку угол ADC – внешний угол треугольника ADE , а углы ADC , DCB и DAB являются вписанными углами, то справедливы равенства

Теорема угол с вершиной вне окружности

Теорема угол с вершиной вне окружности

что и требовалось доказать.

Теорема 4 . Величина угла, образованного касательной и хордой касательной и хордой , проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 10.

Теорема угол с вершиной вне окружности

Теорема угол с вершиной вне окружности

Нас интересует величина угла BAC , образованного касательной AB и хордой AC . Поскольку AD – диаметр диаметр , проходящий через точку касания, а угол ACD – вписанный угол, опирающийся на диаметр, то углы DAB и DCA – прямые. Поэтому справедливы равенства

Теорема угол с вершиной вне окружности

Теорема угол с вершиной вне окружности

что и требовалось доказать

Теорема 5 . Величина угла, образованного касательной и секущей касательной и секущей , равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 11.

Теорема угол с вершиной вне окружности

Теорема угол с вершиной вне окружности

Нас интересует величина угла BED , образованного касательной AB и секущей CD . Заметим, что угол BDC – внешний угол треугольника DBE , а углы BDC и BCD являются вписанными углами. Кроме того, углы DBE и DCB , в силу теоремы 4, равны. Поэтому справедливы равенства

Теорема угол с вершиной вне окружности

Теорема угол с вершиной вне окружности

что и требовалось доказать.

Теорема 6 .Величина угла, образованного двумя касательными к окружности касательными к окружности , равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 12.

Теорема угол с вершиной вне окружности

Теорема угол с вершиной вне окружности

Нас интересует величина угла BED , образованного касательными AB и CD . Заметим, что углы BOD и BED в сумме составляют π радиан. Поэтому справедливо равенство

🎬 Видео

Углы, связанные с окружностьюСкачать

Углы, связанные с окружностью

Теорема об измерении угла с вершиной внутри круга ДоказательствоСкачать

Теорема об измерении угла с вершиной внутри круга Доказательство

❓ Угол между двумя секущими (внутри окружности)Скачать

❓ Угол между двумя секущими (внутри окружности)

Угол между секущимиСкачать

Угол между секущими

❓ Угол между секущими (вне окружности)Скачать

❓ Угол между секущими (вне окружности)

8 класс, 34 урок, Теорема о вписанном углеСкачать

8 класс, 34 урок, Теорема о вписанном угле

Геометрия 8 класс (Урок№27 - Теорема о вписанном угле.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№27 - Теорема о вписанном угле.)

Окружность..Угол между произвольными хордами.Скачать

Окружность..Угол между произвольными хордами.

Геометрия Докажите что если вершина угла лежит вне окружности а угол опирается на диаметр окружностиСкачать

Геометрия Докажите что если вершина угла лежит вне окружности а угол опирается на диаметр окружности

ЕГЭ. Задачи на окружность. ХордаСкачать

ЕГЭ. Задачи на окружность. Хорда

Секретная теорема из учебника геометрииСкачать

Секретная теорема из учебника геометрии

Геометрия. Теорема о вписанном углеСкачать

Геометрия. Теорема о вписанном угле

Вписанный угол равен половине центрального углаСкачать

Вписанный угол равен половине центрального угла

Теоремы об отрезках, связанных с окружностью. Урок 22. Геометрия 11 классСкачать

Теоремы об отрезках, связанных с окружностью. Урок 22. Геометрия 11 класс
Поделиться или сохранить к себе: