Теорема стюарта для треугольника (8 видео)

Теорема Стюарта: формулировка и пример с решением

В данной публикации мы рассмотрим одну из основных теорем евклидовой геометрии – теорему Стюарта, получившую такое название в честь английского математика М. Стюарта, доказавшего ее. Также подробно разберем пример решения задачи для закрепления представленного материала.

Содержание

Формулировка теоремы
Применение теоремы
Пример задачи
теорема Стюарта
Скачать:
Подписи к слайдам:
База знаний студента. Реферат, курсовая, контрольная, диплом на заказ
Теорема Стюарта — Математика
💡 Видео

Видео:Теорема Стюарта | формулы для биссектрисы треугольника и медианыСкачать

Формулировка теоремы

Дан треугольнике ABC. На его стороне AC взята точка D, которая соединена с вершиной B. Примем следующие обозначения:

Для данного треугольника справедливо равенство:

Видео:8-класс. Занятие "Теорема Стюарта"Скачать

Применение теоремы

Из теоремы Стюарта можно вывести формулы для нахождения медиан и биссектрис треугольника:

1. Длина биссектрисы

Пусть l_c – это биссектриса, проведенная к стороне c , которая делится на отрезки x и y . Две другие стороны треугольника примем за a и b . В этом случае:

2. Длина медианы

Пусть m_c – это медиана, опущенная на сторону c . Две другие стороны треугольника обозначим как a и b . Тогда:

Видео:Математика. Теорема СтюартаСкачать

Пример задачи

Дан треугольник ABC. На стороне AC, равной 9 см, взята точка D, которая делит сторону так, что AD в два раза длиннее DC. Длина отрезка, соединяющего вершину B и точку D, составляет 5 см. При этом образованный треугольник ABD является равнобедренным. Найдите оставшиеся стороны треугольника ABC.

Решение

Изобразим условия задачи в виде чертежа.

AC = AD + DC = 9 см. Отрезок AD длиннее DC в два раза, т.е. AD = 2DC.
Следовательно, 2DC + DC = 3DC = 9 см. Значит, DC = 3 см, AD = 6 см.

Т.к. треугольник ABD – равнобедренный, и сторона AD равна 6 см, значит равными являются AB и BD, т.е. AB = 5 см.

Остается только найти BC, выведя формулу из теоремы Стюарта:

Подставляем в данное выражение известные нам значения:

Таким образом, BC = √‎ 52 ≈ 7,21 см.

Видео:Лекція 28. Теорема Стюарта.Скачать

теорема Стюарта

применение теоремы Стюарта при решении задач ЕГЭ и ОГэ

Видео:ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Тригонометрия | МатематикаСкачать

Скачать:

Вложение	Размер
primenenie_teoremy_styuarta_i_sledstviy_iz_neyo_pri_reshenii_zadach.pptx	359.19 КБ

Предварительный просмотр:

Видео:Теорема СтюартаСкачать

Подписи к слайдам:

Проектно –исследовательская работа : « Полезные формулы для вычисления чевиан треугольника » Номинация: Геометрическая миниатюра Работу выполнили: Уртаев Эдуард Плиева Камилла ученики 8 класса МКОУ СОШ с. Н.Батако Научный руководитель: Гагиева А.О.

Цели исследования: Сбор и систематизация общих формул для нахождения замечательных элементов треугольника. Сведение результатов таблицу. Актуальность исследования: Полученные формулы можно применять при решении любых заданий школьного курса, прикладных задач, в том числе при сдаче ЕГЭ и ОГЭ. Предмет исследования широко применяется во многих научных дисциплинах: физике, черчении, моделировании и т.д.

ВВЕДЕНИЕ Геометрия начинается с треугольника. В школьном курсе ученик получает знания, позволяющие ему из трёх известных элементов треугольника найти оставшиеся три – «решить» треугольник. Однако полученных знаний порой не хватает для рационального решения задач не только в дальнейшей школьной программе, но на экзаменах ОГЭ и ЕГЭ , не говоря уже о собственных научных проектах учащихся, например по физике. В задачах на метрические соотношения в треугольнике часто приходится одну из вершин треугольника соединять с некоторой точкой противоположной стороны или её продолжением и вычислять длину отрезка, соединяющего вершину треугольника с этой точкой. Для всех подобных задач можно указать очень простой и в то же время общий способ решения, основанный на предложении, содержащем одно из самых общих свойств треугольника. Это предложение известно под названием теоремы Стюарта. Эта теорема значительно упрощает решение многих задач на вычисление сторон, медиан и биссектрис треугольника. Мы решили собрать формулы для нахождения элементов треугольника, часто встречающихся в задачах, таких как расстояние между ними, медиана, биссектриса, высота или любая другая чевиана .

Содержание: 1. Формулы высоты треугольника 2. Формулы высоты из прямого угла в прямоугольном треугольнике 3. Формулы высоты, медианы, биссектрисы равнобедренного треугольника 4. Теорема Стюарта 4.1 Длина биссектрисы, проведенной из прямого угла на гипотенузу. 4.2 Длина биссектрисы, проведенной из острого угла на катет 4.3 Формулы биссектрисы в произвольном треугольнике 4.4 Формулы медианы произвольного треугольника 4.5 Формулы медианы прямоугольного треугольника 4.6 Задачи Заключение Использованная литература

Чевиана — это любой отрезок в треугольнике, один конец которого является вершиной треугольника, а другой конец лежит на противоположной вершине стороне. Медианы, высоты и биссектрисы являются специальными случаями чевиан . а,в,с — чевианы треугольника MNK в а с M N K

Формулы высоты треугольника H — высота треугольника a — сторона, основание b , c — стороны β , γ — углы при основании p — полупериметр, p= ( a+b+c )/2 R — радиус описанной окружности S — площадь треугольника Формула длины высоты через сторону и угол Формула длины высоты через стороны и радиус, описанной окружности Формула длины высоты через стороны

Формулы высоты из прямого угла в прямоугольном треугольнике H — высота из прямого угла a , b — катеты с — гипотенуза c 1 , c 2 — отрезки полученные от деления гипотенузы, высотой α , β — углы при гипотенузе Формула длины высоты через стороны Формула длины высоты через гипотенузу и острые углы Формула длины высоты через катет и угол

Формулы высоты, медианы, биссектрисы равнобедренного треугольника L — высота = биссектриса = медиана a — равные стороны треугольника b — основание α — равные углы при основании β — угол образованный равными сторонами

Теорема Стюарта: Квадрат любой чевианы равен отношению суммы произведения квадратов боковых сторон на несмежные с ними отрезки основания к длине основания без произведения этих отрезков

Теорема Стюарта Если даны треугольник ABC и на его основании BC точка D , лежащая между точками B и C , то имеет место равенство:

Длина биссектрисы, проведенной из прямого угла на гипотенузу: L — биссектриса, отрезок ME , исходящий из прямого угла (90 град) a , b — катеты прямоугольного треугольника с — гипотенуза α — угол прилежащий к гипотенузе Формула длины биссектрисы через катеты, ( L ): Формула длины биссектрисы через гипотенузу и угол, ( L ):

Длина биссектрисы, проведенной из острого угла на катет: L — биссектриса, отрезок ME , исходящий из острого угла a , b — катеты прямоугольного треугольника с — гипотенуза α, β — углы прилежащие к гипотенузе Формулы длины биссектрисы через катет и угол, ( L ): Формула длины биссектрисы через катет и гипотенузу, ( L ):

Формулы биссектрисы в произвольном треугольнике L — биссектриса a , b — стороны треугольника с — сторона, на которую опущена биссектриса d , e — отрезки полученные делением биссектрисы γ — угол ABC , разделенный биссектрисой пополам p — полупериметр, p = ( a+b+c )/2 Длина биссектрисы через две стороны и угол между ними Длина биссектрисы через полупериметр и стороны Длина биссектрисы через три стороны Длина биссектрисы через стороны и отрезки d , e

Формулы медианы произвольного треугольника M — медиана, отрезок |AO| c — сторона на которую ложится медиана a , b — стороны треугольника γ — угол CAB Формула длины медианы через три стороны Формула длины медианы через две стороны и угол между ними

Формулы медианы прямоугольного треугольника M — медиана R — радиус описанной окружности O — центр описанной окружности с — гипотенуза a , b — катеты α — острый угол CAB Формула длины через катеты Формула длины через катет и острый угол

Задача №1 В равнобедренном треугольнике основание и боковая сторона равны соответственно 5 см и 20 см. Найдите биссектрису угла при основании. Решение: Длину биссектрисы найдем по формуле: а=с=20см, в=5см, р= (20+20+5):2=22,5см в=5 с=20 а=20 L

Задача №2 В равнобедренном треугольнике с боковой стороной 4 см, проведена медиана к боковой стороне. Найдите основание, если медиана равна 3 см. Решение: Применим теорему Стюарта: 3 4 m 2 2

Задача №3 Основание треугольника равно 20 см, медианы боковых сторон равны 18 и 24 см. Найти площадь треугольника. Решение: Применим 20 18 24 А В С Д Р

Задача №4 . Сторона AB треугольника ABC равна 3, BC =2 AC , E — точка пересечения продолжения биссектрисы CD данного треугольника с описанной около него окружностью, DE =1. Найти сторону AC . Решение:

Вывод: Теорема Стюарта расширяет возможности решения задач по нахождению элементов треугольника, даёт возможность творчества при решении задач, учит видеть и находить связь между элементами треугольника.

Заключение Исследовательская работа была интересной и в будущем мы хотим продолжить эту работу , чтобы найти другие формулу для упрощения вычислительной работы при решении геометрических задач.

Видео:Найти основания трапеции. Теорема Стюарта. ШОТЛАНДСКИЙ СЛЕД!Скачать

База знаний студента. Реферат, курсовая, контрольная, диплом на заказ

Видео:Теорема ЧевыСкачать

Теорема Стюарта — Математика

МОУ Яркульская СОШ

Проектная работа по математике

Выполнила: Сосунова Татьяна, 10 класс

Руководитель: Галошина В. И.

Содержание:

1) Теорема Стюарта

2) Вычисление медиан треугольника

3) Вычисление биссектрис треугольника

4) Решение задач

Список использованной литературы

Введение:

У меня есть некоторые проблемы в умении доказывать теоремы и выводить формулы. Поэтому я с удовольствием приняла предложение моего учителя по математике изучить теорему Стюарта. Во всех источниках была дана только формулировка теоремы и формула, а так же в справочниках есть формулы для вычисления медианы и биссектрисы треугольника. Доказывать и выводить формулы мне пришлось самостоятельно. Теорема Стюарта названа по имени доказавшего её английского математика М. Стюарта и опубликовавшего её в труде «Некоторые общие теоремы» (1746, Эдинбург). Теорему сообщил Стюарту его учитель Р. Симсон, который опубликовал эту теорему лишь в 1749 г. Теорема Стюарта применяется для нахождения медиан и биссектрис треугольников.

1. Расширить круг изучаемых в школе теорем

2. Научиться применять теорему для решения задач

1. Изучить и доказать теорему Стюарта

2. Получить формулы для вычисления длин медиан и биссектрис треугольника

3. Рассмотреть применение теоремы Стюарта для решения задач на нахождение длин замечательных линий треугольника

Теорема Стюарта

Произведение квадрата расстояния от точки, лежащей на стороне треугольника, до противоположной вершины на длину этой стороны равно сумме квадратов оставшихся сторон на несмежные с ними отрезки первой стороны без произведения этих отрезков на длину основания.

AD 2 *BC = AB 2 *CD + AC 2 *BD – BC*BD*CD

Дано:

ABC

DЄBC

AD 2 *BC = AB 2 *CD + +AC 2 *BD – BC*BD*CD