О чем эта статья:
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Видео:ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Тригонометрия | МатематикаСкачать
Доказательство теоремы синусов
Теорема синусов звучит так: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.
Нарисуем стандартный треугольник и запишем теорему формулой:
Формула теоремы синусов:
Докажем теорему с помощью формулы площади треугольника через синус его угла.
Из этой формулы мы получаем два соотношения:
На b сокращаем, синусы переносим в знаменатели:
bc sinα = ca sinβ
Из этих двух соотношений получаем:
Теорема синусов для треугольника доказана.
Эта теорема пригодится, чтобы найти:
- Стороны треугольника, если даны два угла и одна сторона.
- Углы треугольника, если даны две стороны и один прилежащий угол.
Видео:Теорема синусов – просто и красиво // Vital MathСкачать
Доказательство следствия из теоремы синусов
У теоремы синусов есть важное следствие. Нарисуем треугольник, опишем вокруг него окружность и рассмотрим следствие через радиус.
где R — радиус описанной около треугольника окружности.
Так образовались три формулы радиуса описанной окружности:
Основной смысл следствия из теоремы синусов заключен в этой формуле:
Радиус описанной окружности не зависит от углов α, β, γ. Удвоенный радиус описанной окружности равен отношению стороны треугольника к синусу противолежащего угла.
Для доказательства следствия теоремы синусов рассмотрим три случая.
1. Угол ∠А = α — острый в треугольнике АВС.
Проведем диаметр BA1. В этом случае точка А и точка А1 лежат в одной полуплоскости от прямой ВС.
Используем теорему о вписанном угле и видим, что ∠А = ∠А1 = α. Треугольник BA1C — прямоугольный, в нём ∠ BCA1 = 90°, так как он опирается на диаметр BA1.
Чтобы найти катет a в треугольнике BA1C, нужно умножить гипотенузу BA1 на синус противолежащего угла.
BA1 = 2R, где R — радиус окружности
Следовательно: R = α/2 sinα
Для острого треугольника с описанной окружностью теорема доказана.
2. Угол ∠А = α — тупой в треугольнике АВС.
Проведем диаметр окружности BA1. Точки А и A1 по разные стороны от прямой ВС. Четырёхугольник ACA1B вписан в окружность, и его основное свойство в том, что сумма противолежащих углов равна 180°.
Следовательно, ∠А1 = 180° — α.
Вспомним свойство вписанного в окружность четырёхугольника:
Также известно, что sin(180° — α) = sinα.
В треугольнике BCA1 угол при вершине С равен 90°, потому что он опирается на диаметр. Следовательно, катет а мы находим таким образом:
α = 2R sin (180° — α) = 2R sinα
Следовательно: R = α/2 sinα
Для тупого треугольника с описанной окружностью теорема доказана.
Часто используемые тупые углы:
- sin120° = sin(180° — 60°) = sin60° = 3/√2;
- sin150° = sin(180° — 30°) = sin30° = 1/2;
- sin135° = sin(180° — 45°) = sin45° = 2/√2.
3. Угол ∠А = 90°.
В прямоугольнике АВС угол А прямой, а противоположная сторона BC = α = 2R, где R — это радиус описанной окружности.
Для прямоугольного треугольника с описанной окружностью теорема доказана.
Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курсы по профильной математике.
Видео:9 класс, 13 урок, Теорема синусовСкачать
Теорема о вписанном в окружность угле
Из теоремы синусов и ее следствия можно сделать любопытный вывод: если известна одна сторона треугольника и синус противолежащего угла — можно найти и радиус описанной окружности. Но треугольник не задаётся только этими величинами. Это значит, что если треугольник еще не задан, найти радиус описанной окружности возможно.
Раскроем эту тему на примере теоремы о вписанном в окружность угле и следствиях из нее.
Теорема о вписанном угле: вписанный в окружность угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.
∠А = α опирается на дугу ВС. Дуга ВС содержит столько же градусов, сколько ее центральный угол ∠BOC.
Формула теоремы о вписанном угле:
Следствие 1 из теоремы о вписанном в окружность угле
Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.
∠А = ∠BAC опирается на дугу ВС. Поэтому ∠A = 1/2(∠COB).
Если мы возьмём точки A1, А2. Аn и проведём от них лучи, которые опираются на одну и ту же дугу, то получим:
На рисунке изображено множество треугольников, у которых есть общая сторона СВ и одинаковый противолежащий угол. Треугольники являются подобными, и их объединяет одинаковый радиус описанной окружности.
Следствие 2 из теоремы о вписанном в окружность угле
Вписанные углы, которые опираются на диаметр, равны 90°, то есть прямые.
ВС — диаметр описанной окружности, следовательно ∠COB = 180°.
Следствие 3 из теоремы о вписанном в окружность угле
Сумма противоположных углов вписанного в окружность четырёхугольника равна 180°. Это значит, что:
Угол ∠А = α опирается на дугу DCB. Поэтому DCB = 2α по теореме о вписанном угле.
Угол ∠С = γ опирается на дугу DAB. Поэтому DAB = 2γ.
Но так как 2α и 2γ — это вся окружность, то 2α + 2γ = 360°.
Следовательно: α + γ = 180°.
Поэтому: ∠A + ∠C = 180°.
Следствие 4 из теоремы о вписанном в окружность угле
Синусы противоположных углов вписанного четырехугольника равны. То есть:
sinγ = sin(180° — α)
Так как sin(180° — α) = sinα, то sinγ = sin(180° — α) = sinα
Видео:Решение задачи с применением теоремы синусовСкачать
Примеры решения задач
Теорема синусов и следствия из неё активно используются при решении задач. Рассмотрим несколько примеров, чтобы закрепить материал.
Пример 1. В треугольнике ABC ∠A = 45°,∠C = 15°, BC = 4√6. Найти AC.
- Согласно теореме о сумме углов треугольника:
∠B = 180° — 45° — 15° = 120°
Пример 2. Гипотенуза и один из катетов прямоугольного треугольника равны 10 и 8 см. Найти угол, который расположен напротив данного катета.
В этой статье мы узнали, что в прямоугольном треугольнике напротив гипотенузы располагается угол, равный 90°. Примем неизвестный угол за x. Тогда соотношение сторон выглядит так:
Значит x = sin (4/5) ≈ 53,1°.
Ответ: угол составляет примерно 53,1°.
Видео:Теоремы синусов и косинусов | Ботай со мной #029 | Борис ТрушинСкачать
Запоминаем
Обычная теорема: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.
>
. | (a) |
Доказательство. Пусть задан треугольник ABC. Проведем высоту hb из вершины B на сторону b (Рис.1).
Из определения синуса (см. страницу Синус и косинус. Онлайн калькулятор) следует, что синус угла α равен hb если предполагать, что c=1. Но поскольку c может иметь любое значение, то имеем
Аналогично можем записать:
(1) |
Далее, для высоты hc, опущенной из вершины C на сторону c, имеем:
, . |
. | (2) |
Из (1) и (2) получим:
. |
Теорема 2 (расширенная теорема синусов). Для произвольного треугольника справедливо следующее равенство:
, | (b) |
где a, b, c стороны треугольника, а α, β, γ противолежащие им углы, соответственно, R− радиус описанной около треугольника окружности.
Доказательство. Пусть задан треугольник ABC и описанная окружность с радиусом R, проходящей через вершины треугольника.
В теореме 1 мы доказали справедливость равенства (a). Для доказательства (b) достаточно показать, что
. | (3) |
Проведем через вершину C диаметр CD описанной окружности и соединим точки D и B.
1. Пусть точки D и A лежат по одну сторону от BC (Рис.2). Полученный треугольник BCD являестся прямоугольным треугольником с прямым углом B, поскольку его одна сторона совпадает с диаметром окружности. А для этого прямоугольного треугольника справедливо равенство:
. |
Но поскольку обе эти углы опираются на дугу BC. Отсюда следует справедливость равенства (3).
2. Пусть точки D и A лежат в разные стороны от BC (Рис.3).
. |
Поскольку BCD прямоугольный треугольник, то справедливо следующее равенство:
. | (4) |
Покажем, что . Действительно. Так как вписанный угол измеряется половиной дуги, на которой он упирается, то имеем:
, . | (5) |
. | (6) |
Тогда из (5) и (6) получим:
. |
. | (7) |
Учитывая (7), уравнение (4) можно записать так:
. | (8) |
Но . Тогда из (8) получим равенство (3).
Видео:Геометрия 9 класс (Урок№15 - Теорема синусов.)Скачать
Примеры и решения
Задание 1. В треугольнике ABC a=8, c=10, угол α=30°. Найти сторону b (Рис.4).
Решение. Из теоремы синусов, имеем:
. |
Поскольку сумма всех углов треугольника равна 180°, то β=180°−30°−36.68°=113.32°.
Далее, из теоремы синусов:
, |
Задание 2. В треугольнике ABC c=16, α=30°, β=45°. Найти стороны a, b (Рис.5).
Видео:Теорема синусов и теорема косинусовСкачать
Теорема синусов. Доказательство теоремы синусов.
Теорема синусов — теорема, которая устанавливает зависимость: стороны треугольника — противолежащие им углы.
Теорема синусов: Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.
Есть 2 подвида теоремы: обычная и расширенная теорема синусов.
Обычная теорема синусов:
Стороны треугольника пропорциональны sin противоположных углов.
Расширенная теорема синусов для произвольного треугольника:
где a, b, c — стороны треугольника, , β, γ — противолежащие этим сторонам углы, а R — радиус окружности, которая описана вокруг треугольника.
Видео:ЗАДАЧА НА ТЕОРЕМУ СИНУСОВ 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэСкачать
Доказательство теоремы синусов.
Пусть есть треугольник, вписанный в окружность. Обозначим его как ABC.
Что бы доказать всю теорему, так как треугольник имеет произвольные размеры, можно доказать только то, что соотношение 1-ной произвольной стороны к противолежащему углу соответствует 2R. Допустим, это будет 2R = a/sin , т.е. если смотреть по чертежу 2R = BC / sin A.
Проведем диаметр |BG| для описанной окружности. Из свойства углов, которые вписаны в окружность, угол GCB будет прямым, а угол CGB равен либо , когда точки A и G находятся по одну сторону от прямой BC, или − в противоположном варианте. Так как sin(−)=sin, в обоих случаях получаем:
a=2R sin
Повторяем это же рассуждение для оставшихся сторон треугольника:
🎦 Видео
Теорема косинусов #shortsСкачать
Теорема СинусовСкачать
9 класс, 15 урок, Решение треугольниковСкачать
Теорема синусов и теорема косинусов а также РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВСкачать
Теорема синусовСкачать
ТЕОРЕМА СИНУСОВ 9 класс геометрия Атанасян решение треугольниковСкачать
9 класс. Геометрия. Теорема синусовСкачать
Теорема синусов. 9 класс. Геометрия. Решение задачСкачать
9 класс. Геометрия. Решение треугольников. Применение теоремы синусовСкачать
ЛУЧШЕЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО теоремы СинусовСкачать
ВСЁ ПРО ТЕОРЕМУ СИНУСОВ. ВАЖНАЯ ТЕОРЕМА ДЛЯ ЕГЭ ПО ПРОФИЛЮСкачать