Теорема синусов для треугольников

Теорема синусов

Теорема синусов для треугольников

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Видео:ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Тригонометрия | МатематикаСкачать

ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Тригонометрия | Математика

Доказательство теоремы синусов

Теорема синусов звучит так: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Нарисуем стандартный треугольник и запишем теорему формулой:

Теорема синусов для треугольников

Формула теоремы синусов:

Теорема синусов для треугольников

Докажем теорему с помощью формулы площади треугольника через синус его угла.

Теорема синусов для треугольников

Из этой формулы мы получаем два соотношения:


    Теорема синусов для треугольников

Теорема синусов для треугольников
На b сокращаем, синусы переносим в знаменатели:
Теорема синусов для треугольников

  • Теорема синусов для треугольников
    bc sinα = ca sinβ
    Теорема синусов для треугольников
  • Из этих двух соотношений получаем:

    Теорема синусов для треугольников

    Теорема синусов для треугольника доказана.

    Эта теорема пригодится, чтобы найти:

    • Стороны треугольника, если даны два угла и одна сторона.
    • Углы треугольника, если даны две стороны и один прилежащий угол.

    Видео:Теорема синусов – просто и красиво // Vital MathСкачать

    Теорема синусов – просто и красиво // Vital Math

    Доказательство следствия из теоремы синусов

    У теоремы синусов есть важное следствие. Нарисуем треугольник, опишем вокруг него окружность и рассмотрим следствие через радиус.

    Теорема синусов для треугольников

    Теорема синусов для треугольников

    где R — радиус описанной около треугольника окружности.

    Так образовались три формулы радиуса описанной окружности:

    Теорема синусов для треугольников

    Основной смысл следствия из теоремы синусов заключен в этой формуле:

    Теорема синусов для треугольников

    Радиус описанной окружности не зависит от углов α, β, γ. Удвоенный радиус описанной окружности равен отношению стороны треугольника к синусу противолежащего угла.

    Для доказательства следствия теоремы синусов рассмотрим три случая.

    1. Угол ∠А = α — острый в треугольнике АВС.

    Теорема синусов для треугольников

    Проведем диаметр BA1. В этом случае точка А и точка А1 лежат в одной полуплоскости от прямой ВС.

    Используем теорему о вписанном угле и видим, что ∠А = ∠А1 = α. Треугольник BA1C — прямоугольный, в нём ∠ BCA1 = 90°, так как он опирается на диаметр BA1.

    Чтобы найти катет a в треугольнике BA1C, нужно умножить гипотенузу BA1 на синус противолежащего угла.

    BA1 = 2R, где R — радиус окружности

    Следовательно: R = α/2 sinα

    Для острого треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

    2. Угол ∠А = α — тупой в треугольнике АВС.

    Проведем диаметр окружности BA1. Точки А и A1 по разные стороны от прямой ВС. Четырёхугольник ACA1B вписан в окружность, и его основное свойство в том, что сумма противолежащих углов равна 180°.

    Следовательно, ∠А1 = 180° — α.

    Теорема синусов для треугольников

    Вспомним свойство вписанного в окружность четырёхугольника:

    Теорема синусов для треугольников

    Также известно, что sin(180° — α) = sinα.

    В треугольнике BCA1 угол при вершине С равен 90°, потому что он опирается на диаметр. Следовательно, катет а мы находим таким образом:

    α = 2R sin (180° — α) = 2R sinα

    Следовательно: R = α/2 sinα

    Для тупого треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

    Часто используемые тупые углы:

    • sin120° = sin(180° — 60°) = sin60° = 3/√2;
    • sin150° = sin(180° — 30°) = sin30° = 1/2;
    • sin135° = sin(180° — 45°) = sin45° = 2/√2.

    3. Угол ∠А = 90°.

    Теорема синусов для треугольников

    В прямоугольнике АВС угол А прямой, а противоположная сторона BC = α = 2R, где R — это радиус описанной окружности.

    Теорема синусов для треугольников

    Для прямоугольного треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

    Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курсы по профильной математике.

    Видео:9 класс, 13 урок, Теорема синусовСкачать

    9 класс, 13 урок, Теорема синусов

    Теорема о вписанном в окружность угле

    Из теоремы синусов и ее следствия можно сделать любопытный вывод: если известна одна сторона треугольника и синус противолежащего угла — можно найти и радиус описанной окружности. Но треугольник не задаётся только этими величинами. Это значит, что если треугольник еще не задан, найти радиус описанной окружности возможно.

    Раскроем эту тему на примере теоремы о вписанном в окружность угле и следствиях из нее.

    Теорема о вписанном угле: вписанный в окружность угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

    Теорема синусов для треугольников

    ∠А = α опирается на дугу ВС. Дуга ВС содержит столько же градусов, сколько ее центральный угол ∠BOC.

    Формула теоремы о вписанном угле:

    Теорема синусов для треугольников

    Следствие 1 из теоремы о вписанном в окружность угле

    Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.

    Теорема синусов для треугольников

    ∠А = ∠BAC опирается на дугу ВС. Поэтому ∠A = 1/2(∠COB).

    Если мы возьмём точки A1, А2. Аn и проведём от них лучи, которые опираются на одну и ту же дугу, то получим:

    Теорема синусов для треугольников

    На рисунке изображено множество треугольников, у которых есть общая сторона СВ и одинаковый противолежащий угол. Треугольники являются подобными, и их объединяет одинаковый радиус описанной окружности.

    Следствие 2 из теоремы о вписанном в окружность угле

    Вписанные углы, которые опираются на диаметр, равны 90°, то есть прямые.

    Теорема синусов для треугольников

    ВС — диаметр описанной окружности, следовательно ∠COB = 180°.

    Теорема синусов для треугольников

    Следствие 3 из теоремы о вписанном в окружность угле

    Сумма противоположных углов вписанного в окружность четырёхугольника равна 180°. Это значит, что:

    Теорема синусов для треугольников

    Угол ∠А = α опирается на дугу DCB. Поэтому DCB = 2α по теореме о вписанном угле.

    Угол ∠С = γ опирается на дугу DAB. Поэтому DAB = 2γ.

    Но так как 2α и 2γ — это вся окружность, то 2α + 2γ = 360°.

    Следовательно: α + γ = 180°.

    Поэтому: ∠A + ∠C = 180°.

    Следствие 4 из теоремы о вписанном в окружность угле

    Синусы противоположных углов вписанного четырехугольника равны. То есть:

    sinγ = sin(180° — α)

    Так как sin(180° — α) = sinα, то sinγ = sin(180° — α) = sinα

    Видео:Решение задачи с применением теоремы синусовСкачать

    Решение задачи с применением теоремы синусов

    Примеры решения задач

    Теорема синусов и следствия из неё активно используются при решении задач. Рассмотрим несколько примеров, чтобы закрепить материал.

    Пример 1. В треугольнике ABC ∠A = 45°,∠C = 15°, BC = 4√6. Найти AC.

      Согласно теореме о сумме углов треугольника:

    ∠B = 180° — 45° — 15° = 120°

  • Сторону AC найдем по теореме синусов:
    Теорема синусов для треугольников
  • Пример 2. Гипотенуза и один из катетов прямоугольного треугольника равны 10 и 8 см. Найти угол, который расположен напротив данного катета.

    В этой статье мы узнали, что в прямоугольном треугольнике напротив гипотенузы располагается угол, равный 90°. Примем неизвестный угол за x. Тогда соотношение сторон выглядит так:

    Теорема синусов для треугольников

    Теорема синусов для треугольников

    Значит x = sin (4/5) ≈ 53,1°.

    Ответ: угол составляет примерно 53,1°.

    Видео:Теоремы синусов и косинусов | Ботай со мной #029 | Борис ТрушинСкачать

    Теоремы синусов и косинусов | Ботай со мной #029 | Борис Трушин

    Запоминаем

    Обычная теорема: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

    >
    Теорема синусов для треугольников

    Расширенная теорема: в произвольном треугольнике справедливо следующее соотношение:

    Видео:Теорема синусов с доказательствомСкачать

    Теорема синусов с доказательством

    Теорема синусов. Доказательство

    Теорема 1 (теорема синусов). Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов:

    Теорема синусов для треугольников.(a)

    Доказательство. Пусть задан треугольник ABC. Проведем высоту hb из вершины B на сторону b (Рис.1).

    Теорема синусов для треугольников

    Из определения синуса (см. страницу Синус и косинус. Онлайн калькулятор) следует, что синус угла α равен hb если предполагать, что c=1. Но поскольку c может иметь любое значение, то имеем

    Теорема синусов для треугольников

    Аналогично можем записать:

    Теорема синусов для треугольников
    Теорема синусов для треугольников
    Теорема синусов для треугольников(1)

    Далее, для высоты hc, опущенной из вершины C на сторону c, имеем:

    Теорема синусов для треугольников, Теорема синусов для треугольников.
    Теорема синусов для треугольников
    Теорема синусов для треугольников.(2)

    Из (1) и (2) получим:

    Теорема синусов для треугольников.

    Теорема 2 (расширенная теорема синусов). Для произвольного треугольника справедливо следующее равенство:

    Теорема синусов для треугольников,(b)

    где a, b, c стороны треугольника, а α, β, γ противолежащие им углы, соответственно, R− радиус описанной около треугольника окружности.

    Доказательство. Пусть задан треугольник ABC и описанная окружность с радиусом R, проходящей через вершины треугольника.

    Теорема синусов для треугольников

    В теореме 1 мы доказали справедливость равенства (a). Для доказательства (b) достаточно показать, что

    Теорема синусов для треугольников.(3)

    Проведем через вершину C диаметр CD описанной окружности и соединим точки D и B.

    1. Пусть точки D и A лежат по одну сторону от BC (Рис.2). Полученный треугольник BCD являестся прямоугольным треугольником с прямым углом B, поскольку его одна сторона совпадает с диаметром окружности. А для этого прямоугольного треугольника справедливо равенство:

    Теорема синусов для треугольников.

    Но Теорема синусов для треугольниковпоскольку обе эти углы опираются на дугу BC. Отсюда следует справедливость равенства (3).

    2. Пусть точки D и A лежат в разные стороны от BC (Рис.3).

    Теорема синусов для треугольников.

    Поскольку BCD прямоугольный треугольник, то справедливо следующее равенство:

    Теорема синусов для треугольников.(4)

    Покажем, что Теорема синусов для треугольников. Действительно. Так как вписанный угол измеряется половиной дуги, на которой он упирается, то имеем:

    Теорема синусов для треугольников, Теорема синусов для треугольников.(5)
    Теорема синусов для треугольников.(6)

    Тогда из (5) и (6) получим:

    Теорема синусов для треугольниковТеорема синусов для треугольников.
    Теорема синусов для треугольниковТеорема синусов для треугольников.(7)

    Учитывая (7), уравнение (4) можно записать так:

    Теорема синусов для треугольников.(8)

    Но Теорема синусов для треугольников. Тогда из (8) получим равенство (3).

    Видео:Геометрия 9 класс (Урок№15 - Теорема синусов.)Скачать

    Геометрия 9 класс (Урок№15 - Теорема синусов.)

    Примеры и решения

    Задание 1. В треугольнике ABC a=8, c=10, угол α=30°. Найти сторону b (Рис.4).

    Теорема синусов для треугольников

    Решение. Из теоремы синусов, имеем:

    Теорема синусов для треугольников
    Теорема синусов для треугольниковТеорема синусов для треугольников
    Теорема синусов для треугольников.

    Поскольку сумма всех углов треугольника равна 180°, то β=180°−30°−36.68°=113.32°.

    Далее, из теоремы синусов:

    Теорема синусов для треугольников,
    Теорема синусов для треугольниковТеорема синусов для треугольников

    Задание 2. В треугольнике ABC c=16, α=30°, β=45°. Найти стороны a, b (Рис.5).

    Видео:Теорема синусов и теорема косинусовСкачать

    Теорема синусов и теорема косинусов

    Теорема синусов. Доказательство теоремы синусов.

    Теорема синусов для треугольников

    Теорема синусов — теорема, которая устанавливает зависимость: стороны треугольника — противолежащие им углы.

    Теорема синусов: Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

    Есть 2 подвида теоремы: обычная и расширенная теорема синусов.

    Обычная теорема синусов:

    Стороны треугольника пропорциональны sin противоположных углов.

    Теорема синусов для треугольников

    Расширенная теорема синусов для произвольного треугольника:

    Теорема синусов для треугольников

    где a, b, c — стороны треугольника, Теорема синусов для треугольников, β, γ — противолежащие этим сторонам углы, а R — радиус окружности, которая описана вокруг треугольника.

    Видео:ЗАДАЧА НА ТЕОРЕМУ СИНУСОВ 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэСкачать

    ЗАДАЧА НА ТЕОРЕМУ СИНУСОВ 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэ

    Доказательство теоремы синусов.

    Пусть есть треугольник, вписанный в окружность. Обозначим его как ABC.

    Что бы доказать всю теорему, так как треугольник имеет произвольные размеры, можно доказать только то, что соотношение 1-ной произвольной стороны к противолежащему углу соответствует 2R. Допустим, это будет 2R = a/sin Теорема синусов для треугольников, т.е. если смотреть по чертежу 2R = BC / sin A.

    Теорема синусов для треугольников

    Проведем диаметр |BG| для описанной окружности. Из свойства углов, которые вписаны в окружность, угол GCB будет прямым, а угол CGB равен либо Теорема синусов для треугольников, когда точки A и G находятся по одну сторону от прямой BC, или Теорема синусов для треугольниковТеорема синусов для треугольников в противоположном варианте. Так как sin(Теорема синусов для треугольниковТеорема синусов для треугольников)=sinТеорема синусов для треугольников, в обоих случаях получаем:

    a=2R sin Теорема синусов для треугольников

    Повторяем это же рассуждение для оставшихся сторон треугольника:

    🎦 Видео

    Теорема косинусов #shortsСкачать

    Теорема косинусов #shorts

    Теорема СинусовСкачать

    Теорема Синусов

    9 класс, 15 урок, Решение треугольниковСкачать

    9 класс, 15 урок, Решение треугольников

    Теорема синусов и теорема косинусов а также РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВСкачать

    Теорема синусов и теорема косинусов а также РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

    Теорема синусовСкачать

    Теорема синусов

    ТЕОРЕМА СИНУСОВ 9 класс геометрия Атанасян решение треугольниковСкачать

    ТЕОРЕМА СИНУСОВ 9 класс геометрия Атанасян решение треугольников

    9 класс. Геометрия. Теорема синусовСкачать

    9 класс. Геометрия. Теорема синусов

    Теорема синусов. 9 класс. Геометрия. Решение задачСкачать

    Теорема синусов. 9 класс. Геометрия. Решение задач

    9 класс. Геометрия. Решение треугольников. Применение теоремы синусовСкачать

    9 класс. Геометрия. Решение треугольников. Применение теоремы синусов

    ЛУЧШЕЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО теоремы СинусовСкачать

    ЛУЧШЕЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО теоремы Синусов

    ВСЁ ПРО ТЕОРЕМУ СИНУСОВ. ВАЖНАЯ ТЕОРЕМА ДЛЯ ЕГЭ ПО ПРОФИЛЮСкачать

    ВСЁ ПРО ТЕОРЕМУ СИНУСОВ. ВАЖНАЯ ТЕОРЕМА ДЛЯ ЕГЭ ПО ПРОФИЛЮ
    Поделиться или сохранить к себе: